6. Линейные уравнения.

Определение 7. Уравнение вида

, (1.12)

где и - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени. Если , то уравнение (1.12) называется линейным однородным уравнением. Если , то уравнение (1.12) называется линейным неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (1.12) может быть применен метод вариации постоянной.

В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения

(1.13)

соответствующего данному неоднородному уравнению (1.12). Уравнение (1.13) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (1.13):

или (1.14)

где – произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение уравнения (1.12) в виде (1.14), где С будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от х (в этом смысл метода!), т. е. в виде

(1.15)

Чтобы найти функцию и, тем самым, решение в виде (1.15), подставим функцию (1.15) в уравнение (1.12). Получим

или

(1.16)

Итак, чтобы функция (1.15) являлась решением уравнения (1.12), функция С(х) должна удовлетворять уравнению (1.16). Интегрируя его, находим

где – произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для С(х) в соотношение (1.15), получаем общее решение линейного уравнения (1.12):

(1.17)

При решении конкретных примеров проще повторять каждый раз все приведенные выше выкладки, чем использовать громоздкую формулу (1.17).

Пример 7. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь =3, . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные и интегрируя, находим

или

Ищем общее решение данного уравнения в виде . Дифференцируя, имеем

.

Подставляя в данное уравнение выражения для у и , получаем или откуда , где – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

или

К линейным уравнениям часто приводятся уравнения более сложного вида. Рассмотрим, например, так называемое уравнение Бернулли

. (1.18)

При - это линейное уравнение, а при можно разделить переменные. При других значениях оно сводится к линейному при помощи следующего приема: делим обе части уравнения на и записываем его так:

.

Если ввести вспомогательную неизвестную функцию , то , и уравнение примет вид

.

Это линейное уравнение; решая его и переходя от снова к , мы и получим решение исходного уравнения.

7. Некоторые применения дифференциальных уравнений первого порядка.

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные физические задачи. Основную трудность при их решении представляет составление дифференциальных уравнений. Здесь не существует универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, Основанного на понимании законов физики, и умения переводить физические задачи на математический язык. Рассмотрим несколько таких задач.

З а д а ч а о р а д и о а к т и в н о м р а с п а д е. Экспери­ментальным путем установлено, что скорость распада радиоактив­ного вещества, т. е. скорость изменения его массы в зависимости от времени, прямо пропорциональна его количеству. Установим закон изменения массы т радиоактивного вещества в зависимости от времени t, считая, что начальная масса вещества при t = 0 была .

Пусть в момент времени t масса вещества есть т, в момент вре­мени масса составляет . За время распадается масса . Отношение  средняя скорость распада за время , a мгновенная скорость распада в момент времени t.