Таким образом, окончательно имеем

Пример 6. Вычислить интеграл где:

а) АВ—прямая , соединяющая точки (0; 0) и (1;1);

б) АВ — парабола , соединяющая те же точки;

в ) АВ—ломаная, проходящая через точки (0; 0), (1; 0), (1;1) (рис. 35).

Решение. По третьей формуле (3.10) имеем:

а)

б)

в)

Заметим, что взяв три различных пути, соединяющих одни и те же точки, мы получили три одинаковых результата. Это обсто­ятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта в п. 3.3.

Пусть гладкая кривая АВ задана параметрически уравнениями , , , причем изменению t от  до  соответствует движение точки по кривой от А до В (не обязательно, чтобы  было меньше ). Тогда

Аналогичные формулы имеют место и для интегралов по координатам y и z.

Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл где АВ – одни виток винтовой линии

, , от точки А(1,0,0) до точки В(1,0,4).

Решение. Вдоль дуги АВ параметр t изменяется от 0 до 2. Тогда,

5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Обозначим через и углы, составляемые с осями координат направленной касательной к кривой АВ в точке М(х; у) (рис. 36); тогда получим соотношения

. (3.11)

Заменяя в криволинейных интегралах второго рода dx и dy их выражениями (3.11), преобразуем эти интегралы в криволинейные интегралы первого рода:

(3.12)

Таким образом, формулы (3.12) выражают криволинейные инте­гралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода и устанавливают связь между ними. При изменении направления движения точки по кривой на противоположное , , dx и dy меняют знак, и формулы (3.12) остаются в силе.

3.2. Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между криволи-нейными и двойными интегралами. Она имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.

Приведем эту формулу для замкнутой области, граница которой пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не бо­лее чем в двух точках (см. рис. 37). Для краткости будем называть такие обла­сти простыми. Предполагается, что контур, ограничивающий об­ласть, гладкий или кусочно-гладкий.

Теорема 1. Пусть G  некоторая простая замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими частными производными и в данной области. Тогда имеет место формула

(3.13)

называемая формулой Грина.

З а м е ч а н и е. Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области G, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых обла­стей. Действительно, пусть область G с границей L имеет вид, изображенный на рис. 38. Разобьем ее на две простые области: и , для каждой из которых справедлива формула (3.13). Напи­шем отдельно формулу Грина для и и сложим почленно полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по всей области G, а справа  криволинейный интеграл по контуру L области G, так как криволинейный интеграл по вспомогательной кривой берется дважды в противоположных направлениях и при суммировании взаимно уничтожается.

Пример. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл где L  окружность .

Решение. Функции , и непрерывны в замкнутом круге . Следовательно, по теореме 1 формула Грина применима к дан­ному интегралу. Имеем

Заметим, что полученный результат легко проверить непосредст­венно вычислением данного интеграла.