Согласно условию

(1.19)

где k  коэффициент пропорциональности (знак минус взят по­тому, что масса вещества убывает с течением времени, а производ­ная убывающей функции отрицательна). Получено дифференциаль­ное уравнение первого порядка, из которого надо найти зависи­мость массы от времени t. Решая уравнение, находим откуда

. (1.20)

Формула (1.20) дает зависимость массы вещества как функции времени. В данной задаче постоянная С имеет определенное значе­ние, а именно: при получаем Подставляя это значение С в формулу (1.20), получаем искомую зависимость массы радиоактивного вещества от времени:

(1.21)

Равенство (1.20) представляет собой общее решение дифферен­циального уравнения, а равенство (1.21)  частное решение, отве­чающее начальному условию данной задачи.

Коэффициент k определяется экспериментально. Например, для радия . Промежуток времени Т, за который распада­ется половина первоначальной массы радиоактивного вещества, называют периодом полураспада этого вещества. Подставляя в фор­мулу (1.21) вместо m значение , вместо k  значение 0.000447, получаем уравнение для определения периода полураспада Т радия:

откуда лет.

З а д а ч а о з а к о н е «е с т е с т в е н н о г о р о с т а». За­кон «естественного роста»  это закон, согласно которому скорость «роста» вещества прямо пропорциональна его количеству. Найдем формулу для определения изменения количества вещества у в зави­симости от времени t, считая, что в начальный момент коли­чество вещества было равно .

Здесь независимой переменной является время t, а искомой ве­личиной  количество вещества в любой момент времени. Скорость «роста» вещества есть скорость изменения величины у в зависимос­ти от переменной t. Используя, как и в предыдущей задаче, физический смысл про­изводной, можно записать закон «естественного роста» следующим образом:

(1.22)

где  коэффициент пропорциональности. Уравнение (1.22), отличающееся только знаком правой части от уравнения (1.19), опи­сывает многие процессы «размножения».

Решение уравнения (1.22), удовлетворяющее заданному началь­ному условию , , имеет вид

(1.23)

Формула (1.23) и выражает закон «естественного роста». Согласно этому закону, например, происходит «размножение» нейтронов в ядерных реакциях, размножение бактерий, рост кристаллов и т. п.

2. Дифференциальные уравнения второго порядка

1. Основные понятия.

Определение. Уравнение вида , где х  независимая переменная; у  искомая функция; у' и у"  ее производные, называется дифференциальным уравнением второ­го порядка.

Обычно изучают уравнения, которые могут быть записаны в ви­де, разрешенном относительно второй производной:

(1.24)

Так же как и для дифференциального уравнения первого поряд­ка, решением уравнения (1.24) называется функция которая при подстановке в уравнение обращает его в тож­дество. График решения называется также интегральной кривой.

Для уравнения второго порядка имеет место теорема существо­вания и единственности решения (теорема Коши), аналогичная соответствующей теореме для уравнения первого порядка.

Теорема 2 (теорема Коши). Если функция и ее частные производные и опре­делены и непрерывны в некоторой области G пространства перемен­ных , то какова бы ни была внутренняя точка области G, в некоторой окрестности точки существует единствен­ное решение уравнения , удовлетворяющее условиям

при . (1.25)

Геометрически это означает, что через заданную точку пло­скости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной в этой точке.

Условия (1.25) называют начальными условиями решения и часто записывают в виде

(1.26)

Как и для уравнения первого порядка, задачу отыскания реше­ния по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Дадим теперь определения общего и частного решений уравне­ния (1.24), удовлетворяющих условиям теоремы Коши.

Функция , зависящая от x и двух произвольных постоянных и , называется общим решением уравнения (1.24) в некоторой области G, если она является решением уравнения (1.24) при любых значениях постоянных и и если при любых началь­ных условиях (1.26) существуют единственные значения постоянных , такие, что функция удовлетво­ряет данным начальным условиям.

Любая функция , получающаяся из общего ре­шения уравнения (1.24) при определенных значениях постоянных , , называется частным решением.

Рассмотрим, например, уравнение у" = 2. Это уравнение вто­рого порядка. Так как функции = 2, = 0 и = 0 определены и непрерывны во всем пространстве переменных (х; у; у'), то оно удовлетворяет во всем пространстве требованиям теоремы Коши.

Общее решение данного уравнения найдем двукратным после­довательным интегрированием. Последовательно интегрируя, на­ходим сначала первую производную , а затем и общее решение: где и  произвольные постоянные. Геометрически общее ре­шение представляет собой семейство парабол, причем так как оно зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую точку плоскости проходит бесконечное множество парабол, имеющих различные касательные в этой точке. Поэтому для выделения одной параболы из полученного семейства кроме точки , через ко­торую проходит парабола, нужно задать еще угловой коэффициент касательной к параболе в этой точке.

Найдем, например, частное решение данного уравнения при начальных условиях . Подставляя эти значения в выражения для общего решения и его производной для определения и получаем си­стему уравнений

откуда находим и . Следовательно, искомым част­ным решением является функция график которой  парабола, проходящая через точку (1; 1) с угло­вым коэффициентом в этой точке, равным единице.

2. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Рассмотрим три частных случая, когда

решение уравнения (1.24) с по­мощью замены переменной сводится к решению уравнения пер­вого порядка. Такое преобразование уравнения (1.24) называется понижением порядка.

1) У р а в н е н и е в и д а Уравнение не содержит у и у'. Введем новую функцию z(х), полагая . Тогда , и уравнение превращается в уравнение первого поряд­ка: с искомой функцией z(х). Решая его, находим: . Так как , то искомое решение: где и  произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение уравнения у" = х.

Решение. Полагая , получаем уравнение первого порядка . Интегрируя его, найдем Заменяя z(х) на у' и интегрируя еще раз, находим искомое общее решение:

2) У р а в н е н и е в и д а Уравнение не содер­жит у. Положим, как и в предыдущем случае, , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно z(х): Решая его, найдем . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем искомое решение

где и  произвольные постоянные.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Полагая , получаем линейное уравнение первого порядка . Решая его, найдем . Тогда и  искомое решение.

3) У р а в н е н и е в и д а Уравнение не содер­жит х. Вводим новую функцию , полагая . Тогда

Подставляя в уравнение выражения для у' и у", получаем уравне­ние первого порядка относительно z как функции от у:

Решая его, найдем . Так как , то . Отсюда . Получено уравнение с разделяющимися пере­менными, из которого находим общее решение данного уравнения: где и  произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Полагая , и учитывая, что , полу­чаем . Это уравнение первого порядка с разделяю­щимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, имеем , откуда . Учитывая, что находим: откуда получаем искомое решение или

При сокращении на z было потеряно решение уравнения т. е. y = C = const. В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения ).

3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Ограничим­ся только основными определениями и общими замечаниями, отно­сящимися к дифференциальным уравне-ниям п-го порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид или, если оно разрешено относительно старшей производной,

(1.27)

Решением уравнения (1.27), как и уравнений первого и второго порядков, называется функция которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Теорема существования и единственности решения уравнения (1.27) аналогична соответствующим теоремам, приведенным ранее для случаев n = 1 и n = 2.

Общее решение уравнения (1.27) зависит от х и n произвольных постоянных и может быть записано в виде

.

Решения, получающиеся из общего при определенных значе­ниях постоянных называются частными решениями уравнения (1.27). Чтобы выделить частное решение уравнения из об­щего (1.27), можно задать начальные условия

(1.28)

Отыскание решения уравнения (1.27), удовлетворяющего заданным начальным условиям (1.28), называется решением задачи Коши для этого уравнения.

Простейшим уравнением вида (1.27) является уравнение, в котором правая часть зависит только от х, т. е. уравнение вида

(1.29)

Это уравнение легко решается. Действительно, интегрируя последовательно п раз, получаем

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1.30)

где  произвольные постоянные. Функция (1.27) и явля­ется общим решением уравнения (1.29).

Пример 4. Найти общее решение уравнения третьего порядка и выделить из него частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Решение. Последовательно интегрируя, находим Интегрируя еще раз, получаем общее решение данного уравнения: где  произвольные постоянные.

Подставляя в выражения для у, у', у" начальные условия, имеем: 0=1+ , 0=1+ 1=1+ откуда находим Итак,  искомое частное ре­шение.