1.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим важный частный случай линейных дифференциаль­ных уравнений второго порядка  случай, когда функции и являются постоянными величинами. Такие уравнения на­зываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

(1.42)

где р и q  действительные числа.

Теорема 8. 1) Если число k  действительный корень урав­нения

(1.43)

то функция является решением уравнения (1.42).

2) Если числа и  комплексные корни уравнения (1.43), то функции и являются решениями уравнения (1.42).

Уравнение (1.43) называется характеристическим уравнением данного уравнения (1.42).

Характеристическое уравнение (1.43) является квадратным уравне­нием и, следовательно, имеет два корня. Обозначим их и .

Теорема 9. 1) Если корни характеристического уравне­ния действительные и различные ( ), то общее решение уравне­ния (1.42) имеет вид

2) если корни характеристического уравнения действительные и равные ( = ), то общее решение имеет вид

3) если корни характеристического уравнения комплексные ( , ), то общее решение имеет вид

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни = 1, = 2 действительные и различные. Соответствующие частные решения уравнения , . Об­щее решение уравнения имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни = =1 действительные и равные. Соответствующие частные решения уравнения , . Общее решение уравнения имеет вид .

Пример 3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни комплексные. Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид .

2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вто­рого порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линей­ное неоднородное уравнение второго порядка

(1.44)

где р и q  действительные числа; непрерывная функция.

Как известно, общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы находить умеем, поэтому остается рас­смотреть вопрос о нахождении частного решения. Для нахожде­ния частного решения можно применять метод вариации произволь­ных постоянных. Однако если в правой части уравнения (1.44)  мно­гочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция или , либо линейная комбинация перечислен­ных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегри­рования.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (1.44).

1) Правая часть имеет вид где многочлен степени п.

Тогда частное решение можно искать в виде где  многочлен той же степени, что и , а r  число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 2). Так как правая часть уравнения  многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю ( ), то частное решение ищем в виде где А и В  неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя и в данное уравнение, найдем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства: , , находим: , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид а его общее решение

2) Правая часть имеет вид где  многочлен степени п. Тогда частное решение следует искать в виде где  многочлен той же степени, что и , а r  число корней характеристического уравнения равных . Если , то , т. е. имеет место случай 1).

Пример 5. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , . Значит, общее решение соответствую­щего однородного уравнения имеет вид . В правой части этого уравнения  произведение многочлена первой степени на показательную функцию при . Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень , то r = 1. В данном случае  многочлен пер­вой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде