1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения  это уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений  изучение функций, являющихся решениями таких уравнений.

Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух и большего числа переменных.

Теория дифференциальных уравнений в частных производных более сложная и рассматривается в более полных или специальных курсах математики. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений изложены в данной главе. В дальнейшем, говоря о дифференциальных уравнениях, будем иметь в виду только обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Изучение теории дифференциальных уравнений начнем с наиболее простого уравнения – уравнения первого порядка.

1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.

Определение 1. Уравнение вида

(1.1)

где – х независимая переменная; у – искомая функция; - ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1.1) можно разрешить относительно , то оно принимает вид

(1.2)

и называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной. Будем рассматривать именно такие уравнения.

В некоторых случаях уравнение (1.2) удобно записать в виде или в виде , являющемся частным случаем более общего уравнения

, (1.3)

где и  известные функции. Уравнение в симметричной форме (1.3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Приведем примеры дифференциальных уравнений вида (1.2) и (1.3):

2. Решение уравнения. Задача Коши.

Определение 2. Решением дифференциального уравне-ния первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, например, функция , является решением уравнения , т.е. при подстановке в уравнение обращает его в тождество: .

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (1.2) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (1.2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 1. (теорема Коши). Если функция и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию:

при . (1.4)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (1.2) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (1.2) имеет бесконечное число различных решений.

Условие (1.4), в силу которого функция принимает заданное значение в заданной точке , называют начальным условием решения и записывают обычно так:

(1.5)

Отыскание решения уравнения (1.2), удовлетворяющего начальному условию (1.5),  одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши – значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку плоскости Оху.

Точки плоскости, через которые проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.

3. Общее и частное решение уравнения. Дадим два основных определения.

Определение 3. Общим решением уравнения (1.2) в некоторой области G плоскости Оху называется функция , зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения (1.2) при любом значении постоянной С, и если при любом начальном условии (1.5) таком, что , существует единственное значение постоянной такое, что функция удовлетворяет данному начальному условию .

Определение 4. Частным решением уравнения (1.2) в области G называется функция , которая получается из общего решения при определенном значении постоянной .

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение  одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку .

Иногда начальное условие (1.5) называют условием Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.

Пример 1. Рассмотрим уравнение .

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так как функции и определены и непрерывны на всей плоскости Оху. Легко проверить, что функция , где С – произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения во всей плоскости Оху.

Геометрически это общее решение представляет собой семейство кубических парабол. При различных значениях постоянной С получаем различные решения данного уравнения. Например, если C = 0, то если C = 1, то если C = 2, то и т. д.

Для решения какой-нибудь задачи Коши, т. е. отыскания частного решения, зададим произвольное начальное условие: , . Подставляя эти значения в общее решение вместо x и y, получаем , откуда . Таким образом, найдено частное решение . Геометрически это означает, что из семейства кубических парабол выбрана одна, проходящая через заданную точку (рис. 1).

Рис. 1

Рис. 2

Пример 2. Рассмотрим уравнение .

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Функции и непрерывны при . Следовательно, во всей плоскости Оху, кроме оси Оу, это уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши.

Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнения в областях и является функция , где С – произвольная постоянная. При различных значениях постоянной С получаем различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начальному условию . Имеем . Отсюда и искомое частное решение . Геометрически общее решение данного уравнения представляет собой семейство гипербол , каждая из которых изображает частное решение данного уравнения. Задавая начальные условия , выделяем из всего семейства ту гиперболу, которая проходит через точку (1;1) плоскости Оху (рис. 2).

Заметим, что через точки, лежащие на оси Оу, не проходит ни одна интегральная кривая, т. е. это особые точки данного уравнения.

4. Геометрический смысл уравнения. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка и пусть функция  его решение. График решения представляет собой непрерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой ее точке равен значению в этой точке правой части уравнения . Таким образом, уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к графику интегральной кривой в той же точке. Зная х и у, можно узнать направление касательной к этой интегральной кривой в точке .

Сопоставим каждой точке интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен . Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение определяет на плоскости Оху поле направлений, а решение этого уравнения – интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Построив на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

Функция не определена при , следовательно, поле направлений для данного уравнения можно построить на всей плоскости, кроме оси Оу.

В

Рис. 41

каждой точке угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен и совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и эту точку. На рис. 3 изображено поле направлений данного уравнения. Очевидно, что интегральными кривыми являются прямые у = Сх (С – произвольная постоянная).

Р ис. 3

Рассмотрим теперь методы нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка. Отметим, что общего метода нахождения решений не существует. Обычно рассматривают отдельные типы уравнений, и для каждого из них находят свой способ нахождения решения.