3.5. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода

Криволинейные интегралы второго рода, так же как и первого рода, имеют широкое применение в геометрии, физике и технике. Ограничимся рассмотрением двух задач: вычислением площадей плоских фигур и определением работы силы.

1. Вычисление площади с помощью формулы Грина. Пусть G  некоторая область с границей L и s  площадь этой области. Известно, что двойной интеграл при выражает площадь области G. Поэтому, если в формуле Грина по­добрать функции и таким образом, чтобы то площадь s области G определяется формулой

Положим и ; тогда

и Полагая и , аналогично

находим а при , имеем

(3.24)

Таким образом, получены три формулы для вычисления пло­щадей плоских фигур, ограниченных контуром L.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом.

Решение. Вычислим, например, площадь по формуле (3.24). Используя параметрические уравнения эллипса имеем: и по формуле (3.24) получаем

2. Работа силы. Известно, что работа, совершаемая перемен­ной силой , направленной вдоль оси Ох, по перемещению ма­териальной точки вдоль оси Ох из точки в точку ( ) определяется с помощью определенного интеграла по формуле . Рассмотрим более общую задачу.

Пусть материальная точка под действием силы перемеща­ется вдоль непрерывной плоской кривой ВС в направлении от В к С. Сила предполагается переменной, зависящей от положения точки на кривой ВС. Вычислим работу силы при перемещении точки из В в С. Эта работа силы определяется по формуле

(3.25)

где Р и Q  координаты (или проекции на оси координат) силы .

Е сли рассмотреть данную задачу не на плоскости, а в простран­стве, то решение ее сводится к вычислению криволинейного инте­грала второго рода по пространственной кривой по формуле

Пример 2.

Вычислить работу силы при перемещении материальной точки по эллипсу в положительном направлении, если сила в каждой точке эллипса направлена к центру эл­липса и по величине равна расстоянию от точки до центра эллипса (рис. 41).

Решение. По условию, ; координаты силы таковы: , (знак “” объясняется тем, что сила направлена к точке (0;0)). По формуле (3.25) имеем

где L  эллипс . Следова-тельно,

Заметим, что из того, что интеграл оказался равным нулю, следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции.

Задачи к п. 3

Вычислить криволинейные интегралы:

1. по параболе от точки (0, 0) до точки (2, 2).

2. по параболе от точки (2, 4) до точки (1, 1).

3. по отрезку прямой от точки (0, 0) до точки (1, 2).

4. по отрезку прямой от точки (0,2) до точки (4, 0).

5. по кривой

.

6. по кривой

7. где L – контур треугольника ABO с вершинами А(1, 0), В(0,2), О(0, 0).

8. где:1) AB – прямая соединяющая точки (0,0) и (2,2); 2) AB – парабола соединяющая точки (0,0) и (2, 2); 3) AB – ломаная, проходящая через точки (0, 0), (2, 0), (2, 2).

9. где: 1) AВ – прямая, соединяющая точки (0, 0) и (4, 2); 2) АВ – ломаная, проходящая через точки (0, 0), (2, 0), (4, 2).

10. Решить задачу 9 для интеграла Почему здесь величина интеграла не зависит от пути интегрирования?

11. где L – контур треугольника, образованного прямыми (интегрирование вести в положительном направлении).

12. где L – контур прямоугольника, образованного прямыми (интегрирование вести в положительном направлении).

13. по дуге синусоиды от до x = 0.

14. по кривой от точки (0,0) до точки (2,8). 15. по кривой от точки (0,0) до точки (1,1).

16. по кривой от точки (0,0) до точки (1,1).

17. по кривой от точки (0,1) до точки (1,e).

18. по кривой от точки (0,1) до точки (1,a).

Вычислить криволинейный интегралы, взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания параметра:

19. по кривой

20. по кривой

21. по окружности

22. по эллипсу

23. по астроиде

24. по первой арке циклоиды

С помощью формулы Грина вычислить криволинейные интегралы:

25. где L – окружность

26. где L – эллипс

27. по контуру треугольника ABC с вершинами А (а,0), В(а,а), С(0,а).

28. по контуру треугольника ABC с вершинами A (1,1), B (3,2) и C(2,5).

29. где контур L ограничивает круговой сектор радиуса R с углом

30. где L – окружность

31. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от плоскости и направлена к началу координат. Вычислить работу при движении точки под действием этой силы по прямой , , от точки до точки .

32. Поле образованно силой где Р = х – у, Q = х. Построить силу в каждой вершине квадрата со сторонами и и вычислить работу при перемещении материальной точки по контуру квадрата.

33. Поле образованно силой где Построить силу в начале каждой четверти окружности и вычислить работу при перемещении материальной точки по окружности.

34. Вычислите криволинейные интегралы от векторного поля по кривой С

1) ; .

2) : С-циклоида: , , .

3) : С – виток винтовой линии , , , .

35. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру С, составленному из отрезка оси ОХ от до , отрезка прямой и отрезка прямой от А до

.

36. Проверить, что интеграл равен нулю. Подтвердить это вычислениями по замкнутому контуру, ограниченному линиями , ,

.

37. Вычислить интеграл по ломаной: ( ), (1 ≤ y ≤ 3)

.