5. Уравнение с разделяющимися переменными.
Определение 5. Уравнение вида
(1.6)
где
и
- непрерывные функции, называется
дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными.
Для
отыскания решения уравнения (1.6) нужно
разделить в нем переменные. Для этого
заменим в (1.6)
на
,
разделим обе части уравнения на
(предполагаем
)
и умножим на dx. Тогда
уравнение (1.6) принимает вид
(1.7)
В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у – только в левую (т. е. переменные разделены).
Предполагая,
что функция
является решением уравнения, и подставляя
ее в (1.7), получаем тождество. Интегрируя
тождество, получаем
или
(1.8)
где
произвольная
постоянная.
Соотношение (1.8) определяет неявным образом общее решение уравнения (1.6).
Пример
4. Решить уравнение
(сравните с примером 3).
Решение.
Данное уравнение вида (1.6), где
и
.
Разделяя переменные, получаем:
.
Интегрируя, имеем
или
Потенцируя,
находим:
,
что эквивалентно уравнению
.
Полагая
,
окончательно получаем
(1.9)
общее
решение данного уравнения, где С –
произвольная постоянная, которая может
принимать как положительные, так и
отрицательные значения, но
.
Заметим, что
также решение уравнения (оно было
потеряно при делении на у). Это
решение можно включить в (1.9), если
считать, что постоянная С принимает
и значение
.
Геометрически общее решение (1.9)
представляет собой семейство прямых,
проходящих через начало координат.
Пусть
требуется выделить из общего решения
(1.9) частное решение, удовлетворяющее
следующему начальному условию:
.
Подставляя эти значения в общее решение
(1.9) вместо х и у, получаем
,
откуда
.
Таким образом, искомое частное решение
.
6. Однородные уравнения первого порядка.
Определение 6. Уравнение
называется
однородным,
если функция
может быть представлена как функция
отношения своих аргументов:
.
Функция
,
зависящая только от отношения переменных,
называется функцией нулевой степени.
Вообще,
функция
называется однородной степени n,
если для любых x
и y
и
выполняется равенство
.
Уравнение вида
(1.10)
будет
однородным, если
и
являются однородными функциями
и
одинаковой степени однородности.
Например, уравнение
однородное, так как его можно записать в виде
.
Уравнение
вида (1.2) или (1.10) приводится к уравнению
с разделяющимися переменными подстановкой
.
Вычислив производную
и подставив в уравнение (1.2), получим
.
В
этом случае, если
,
разделяя переменные и интегрируя,
получим
(1.11)
Если
же найдутся такие значения u,
при которых
,
то каждому такому
будет отвечать решение
,
не вытекающее из общего интеграла
(1.11).
Пример
5.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
.
Решение.
Применяем подстановку
.
Получим
;
;
;
,
,
;
,
.
Таким
образом, получен общий интеграл
рассматриваемого дифференциального
уравнения. Для получения частного
решения подставим в общий интеграл
начальные данные
.
Определим постоянную
.
Частный интеграл, удовлетворяющий
заданным начальным данным, имеет вид
.
Пример
6.
Решить уравнение
.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
и положим
,
откуда
.
Подставляя в уравнение выражения
и
,
получим
;
.
Последнее
получим при условии
.
Интегрированием находим
,
;
Учитывая, что
и обозначая
получим
,
где
или
.
Заменяя
на
,
получим общий интеграл
Положим
теперь х =
0 и
.
Но х =
0 не удовлетворяет уравнению при
произвольном у.
Из второго
равенства имеем
,
.
Проверка показывает, что эти функции
являются решениями уравнения.