4.2. Формула Остроградского

Формула Остроградского устанавливает связь между поверх­ностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным инте­гралом по пространственной области, ограниченной этой поверх­ностью. Эта формула является аналогом формулы Грина, которая, как известно, связывает криволинейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой. Формула Остроградского имеет широкое примене­ние как в самом анализе, так и в его приложениях.

Запишем эту формулу для замкнутой пространственной области, граница которой пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках. Назовем для кратко­сти такие области простыми. При этом будем рассматривать внеш­нюю сторону поверхности, ограничивающей эту область. Предпо­лагается, что поверхность гладкая или кусочно-гладкая.

Теорема 1. Пусть V  простая замкнутая область, огра­ниченная поверхностью S и пусть функции , и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула:

(4.12)

называемая формулой Остроградского.

З а м е ч а н и е. Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей. В самом деле, применяя фор­мулу (4.12) к каждой из областей разбиения и складывая результаты, получаем в левой части равенства тройной интеграл по всей обла­сти V, а в правой  поверхностный интеграл по поверхности S, ограничивающей область V, так как поверхностные интегралы по вспомогательным поверхностям берутся дважды по противополож­ным сторонам и при суммировании взаимно уничтожаются.

С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверх­ностные интегралы по замкнутым поверхностям.

Пример 1. Вычислить интеграл где S  внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями , x = 0, y = 0, z = 0 .

Решение. Используя формулу Остроградского, получаем

Пример 2. Вычислить интеграл

где S  внешняя сторона сферы

Решение. Применяя формулу Остроградского, имеем

откуда, введя сферические координаты, получаем

Как было отмечено, формула Грина выражает пло­щадь области через криволинейный интеграл по ее границе. Точно также из формулы Остроградского можно получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S  границе этой области.

Действительно, подберем функции Р, Q и R так, чтобы Тогда получим

где v  объем, ограниченный поверхностью S. В частности, пола­гая , , , получаем для вычисления объема формулу

4.3. Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами. Подобно формулам Грина и Остро­градского, формулу Стокса широко применяют как в самом ана­лизе, так и в его приложениях.

П усть S  поверхность, заданная уравнением , где функции непрерывны в замкнутой об­ласти G  проекций S на плоскость Оху; L  контур, ограничи­вающий S, а l  его проекция на плоскость Оху, являющаяся кон­туром, ограничивающим область G. Выберем верхнюю сторону поверхности S (рис. 52). Тогда при сделанных предположениях справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если функция непрерывна вме­сте со своими частными производными первого порядка на поверх­ности S, то имеет место следующая формула:

(4.13)

где  направляющие косинусы нормали к поверхности S, а контур L пробегается в положительном направлении.

Аналогично доказывается при соответствующих условиях справедливость следующих двух формул:

(4.14)

(4.15)

Складывая равенства (4.13), (4.14), (4.15), получаем формулу

которая называется формулой Стокса.

С помощью формулы, связывающей поверхностные интегралы (4.11) из п.4.1, формулу Стокса можно переписать в следующем виде:

(4.16)

Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое в правой ее части это то же самое выражение, которое стоит под знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье получаются из него циклической перестановкой координат х, у, z и функций P, Q, R.

В частности, если поверхность S – область плоскости Oxy, ограниченная контуром L, то интегралы по и обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина.

Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов.

Пример. Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл где L – окружность, заданная уравнениями а поверхностью S служит верхняя сторона полусферы ( ) и контур L проходится в положительном направлении.

Решение. Так как

то по формуле Стокса (4.16) получаем

Из формулы Стокса следует, что если

(4.17)

то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой L равен нулю:

(4.18)

А это значит, что в данном случае криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Как и в случае плоской кривой, условия (4.17) являются необходимыми и достаточными для выполнения равенства (4.18).