1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в тео­рии дифференциальных уравнений занимают важное место не толь­ко потому, что представляют собой простой и хорошо изученный тип уравнений, но и потому, что многие практические задачи фи­зики, механики, техники и особенно электротехники приводят к ре­шению этих уравнений.

1. Основные понятия.

Определение. Уравнение вида

(1.31)

где у  искомая функция, а , и  непрерывные функции на некотором интервале , называется линейным диф­ференциальным уравнением второго порядка.

Если то уравнение (1.31) называется линейным однородным уравнением. Если же то уравнение (1.31) называется линейным неоднородным уравнением.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим некоторые свойства решений линейных одно­родных уравнений.

Теорема 3. Если функции и  решения урав­нения

(1.32)

то функция при любых значениях поcто-ян­ных и также является решением, уравнения (1.32).

Итак, функция вида с произвольными постоянными , и является решением уравнения (1.29). Естественно возникает вопрос, не является ли это решение общим решением уравнения (1.32). Покажем, что при некоторых условиях функция является общим решением уравнения (1.32). Предварительно введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций и .

Функции и называются линейно зависимыми на (а, b), если существуют такие числа и из которых хотя бы одно от­лично от нуля, что для любого имеет место равенство

. (1.33)

Очевидно, что если функции и линейно зависимы, то они пропорциональны. Действительно, если причем и то . Верно и обрат­ное.

Функции и называются линейно независимыми на (а, b), если не существует таких чисел и из которых хоть одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство (1.33). Другими словами, равенство (1.33) выполняется сразу для всех , если только .

Очевидно, что если функции и линейно независимы, то их отношение , т. е. они не пропорциональны. Так, например, функции и линейно независимы на любом интервале (а, b), поскольку , а функции и линейно зависимы на любом промежутке, так как .

Предположим теперь, что функции и являются решениями уравнения (1.32). Вопрос о том, являются ли они линейно зави­симыми или линейно независимыми, решают с помощью определи­теля Вронского:

(1.34)

Определитель Вронского (или вронскиан) является функцией, опре­деленной на , и обозначается или просто W(x).

Теорема 4. Если функции и линейно зависимы на , то определитель Вронского, составленный из них, равен нулю на этом интервале.

Теорема 5. Если решения и уравнения (1.32) линейно независимы на , то определитель Вронского, состав­ленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

Итак, установлено, что если функции и являются на решениями линейного однородного уравнения (1.32), то со­ставленный из них определитель Вронского на либо равен нулю ( и линейно зависимы), либо отличен от нуля ( и линейно независимы).

Установим теперь, при каких условиях функция является общим решением линейного однородного урав­нения (1.32).

Теорема 6. Если функции и  линейно неза­висимые на (а, b) решения уравнения (1.32), то функция

(1.35)

где и  произвольные постоянные, является общим решением уравнения (1.32).

Из этой теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения (1.32) достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить выражение (1.35) с произвольными по­стоянными и .

3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вто­рого порядка. Рассмотрим теперь основные свойства решений ли­нейного неоднородного дифференциального уравнения второго по­рядка (1.31):

Имеет место следующая теорема.

Теорема 7. Общее решение уравнения (1.31) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неод­нородного уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неод­нородного уравнения. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Покажем, как можно найти частное ре­шение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего одно­родного уравнения.

Пусть  общее решение однородного уравнения (1.32). Будем искать частное решение неоднородного урав­нения (1.31) в виде

(1.36)

рассматривая и как некоторые искомые функции от х.

Про­дифференцируем последнее равенство

. (1.37)

Подберем функции и так, чтобы выполнялось равенство

. (1.38)

Тогда равенство (1.37) принимает вид

Дифференцируя это равенство, найдем у":

Подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (1.31) и группируя слагаемые, получаем

Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как и  решения однородного уравнения. Поэтому последнее ра­венство принимает вид

. (1.39)

Таким образом, функция (1.36) является решением уравнения (1.31), если функции и удовлетворяют уравнениям (1.38) и (1.39). Объединяя их, получаем систему уравнений

(1.40)

в которой и  неизвестны, а и  известны. Так как определителем этой системы является определитель Вронского

составленный из линейно независимых решений и одно­родного уравнения (1.32), то он по теореме 5 не равен нулю, а значит, система (1.40) имеет единственное решение относительно и . Решая эту систему, получаем

где и  известные функции, откуда, интегрируя, най­дем и . Под-ставляя полученные выражения для и в равенство (1.36), получаем искомое частное решение уравне­ния (1.31).

Пример. Найти частное решение уравнения у"  у = х.

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения y"  y = 0 имеет вид . Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

. (1.41)

Система (1.40) для нахождения и в данном случае имеет вид

Складывая эти уравнения, найдем . Отсюда, интег­рируя, получаем

Произвольную постоянную не пишем, так как ищем какое-нибудь частное решение. Подставляя выражение в первое из урав­нений системы, найдем , откуда, интегрируя, по­лучаем

Подставляя найденные выражения и в равенство (1.41), получаем частное решение данного неоднородного уравнения:

Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения и зная общее решение соответствующего однородного уравнения, на основании теоремы 7 можно записать общее решение дан­ного неоднородного уравнения:

где и  произвольные постоянные.