Методическое пособие 449

divFdV FndS

V S

ВВЕДЕНИЕ

Изучение высшей математики студентами технических специальностей связано с необходимостью освоения математического аппарата, используемого в большинстве курсов по специальности.

Интенсивная компьютеризация образовательной, а в последующем, и профессиональной деятельности невозможна без твердых знаний разделов высшей математики, отсутствие которых сделает проблематичными попытки освоения новых областей знания, связанных с профессиональным ростом.

Данное пособие посвящено изучению следующих разделов высшей математики: начала математического анализа, дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют вопросы для самопроверки и примеры решения типовых задач различной степени трудности.

Пособие рекомендовано студентам бакалаврам, обучающимся по направлениям 150700.62 «Машиностроение» и 151900.62 «Кон- структорско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» в помощь к изучению курса высшей математики.

3

1.ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1. Понятие множества и операции над множествами

Множеством называется совокупность объектов произвольной природы, объединенных по определенному признаку. Например, множество книг в библиотеке, множество определенным образом подобранных векторов, множество функций определенного вида. Множество считается заданным, если известны все элементы, из которых оно состоит, т.е. известен закон или правило, по которому можно определить все элементы множества. Множество может содержать конечное или бесконечное число элементов. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а входящие

вних элементы – строчными буквами. Принадлежность элемента

xмножеству X обозначается символом ( x X ), если же элемент не принадлежит множеству, то используется символ .

Над множествами могут производиться операции сравнения.

Множества A и B называются равными или эквивалентными, если они состоят из одинаковых элементов ( A B ). Если все элементы

множества A содержатся во множестве B , то множество A является подмножеством множества B ( A B ). Если ни один элемент множества A не содержится в B , то это обозначается следующим образом: A B .

Вматематике используется понятие пустого множества, обо-

значаемого символом . Это множество, в котором не содержится ни одного элемента, и потому оно является подмножеством любого множества.

Над множествами A и B может производиться операция сложения или объединения. Суммой, или объединением, множеств A и B называется совокупность элементов, входящих как во множество A , так и во множество B (обладающих либо свойством множества A , либо свойством множества B ). Сумма этих множеств обозначается A B . Добавление пустого множества к любому множеству A не меняет этого множества, т.е. A A.

Пересечением или произведением множеств A и B (или их общей частью) является совокупность элементов, входящих как во множество A , так и во множество B ; это множество обозначается A B . Одновременное отсутствие элементов со свойствами мно-

4

жеств A и B означает, что пересечение этих множеств представляет собой пустое множество .

Разностью множеств A и B называется множество C , содержащее все элементы множества A , не содержащиеся во множестве B ; эта разность обозначается C A \ B .

При записи математических выражений целесообразно употреблять логическую символику. Вместо выражений «любое x из множества X » употребляют запись x X , где перевернутая латинская буква (квантор общности) взята от начала английского слова Any – любой. Аналогично вместо выражений «существует

элемент x из множества X » кратко пишут: x X , где перевернутая латинская буква (квантор существования) является начальной

ванглийском слове Existence – существование.

Внастоящем пособии рассматривается множество действительных чисел, а также подмножества натуральных и рациональных чисел.

1.2.Понятие функции

Пусть X и Y – некоторые числовые множества. Если существует правило f или закон, согласно которому каждому элементу x X поставлен в соответствие один элемент y Y , то говорят,

что определена функциональная зависимость или однозначная функция y от x по закону y f x . При этом x называют незави-

симой переменной (аргументом), y – зависимой переменной, множество X - областью определения функции, множество Y – областью значения функции.

Если же каждому элементу x X поставлены в соответствие

1.3. Способы задания функций

Существует три основных способа задания функций: таблич-

ный, аналитический и графический.

5

Табличный способ. Этот способ широко используется при экспериментальных измерениях различных величин в науке и технике. В таблицах одну из переменных принимают за независимую переменную или аргумент (например, время), тогда другие величины будут функциями от этого аргумента. Табличный способ задания функциональной зависимости широко используется в различных базах данных.

Табличный способ задания функций позволяет производить интерполяцию при вычислении не содержащихся в таблице значений функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. По данным таблицы с помощью методов аппроксимации можно приближенно установить аналитический способ задания функции.

Аналитический способ. Этот способ состоит в формульном задании связи между аргументом и функцией. При аналитическом способе задания областью определения функции называется множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Ограничения, формирующие область определения несложных функции, связаны с выполнением указанных в формуле математических операций, и, как правило, сводятся либо к требованию неотрицательности подкоренного выражения для корней четной степени, либо к требованию неравенства нулю знаменателя , либо к условию положительности выражения под знаком логарифма, а также к некоторым другим.

определяется условием x2 5x 6 0 . Решение неравенства позволяет найти область определения функции D y : x , 1 6, .

Область определения функции часто задается вместе с функ-

Существуют функции, определенные на множестве натуральных чисел. Такие функции называются числовыми последовательностями. Числовые последовательности задаются формулой общего

6

члена последовательности, записанного в фигурных скобках. На-

пример, гармоническая последовательность 1, 12 , 13 , 14 , 15 ,...обознача-

1

ется так: n .

Графический способ. При графическом способе задания функции связь между аргументом и функцией задается посредством графика. Графиком называется множество точек координатной плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами – соответствующие значения функции.

1.4. Классификация функций

Основными элементарными функциями являются постоянная функция y=const, степенная функция y x ( - любое действи-

Элементарные функции, не являющиеся простейшими, могут быть получены при помощи конечного числа алгебраических (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем, извлечение корня) и трансцендентных (возведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, вычисление значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций) операций. Алгебраическими называются элементарные функции, полученные с помощью конечного числа алгебраических операций. Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные функции. К рациональным функциям относятся целая и дробная рациональные функции. Функция вида

P x a0 xn a1xn 1 a2 xn 2 an 1x an ,

где n - натуральное число или ноль, a0 , a1 , a2 , , an - любые действительные числа (коэффициенты), называется целой рациональной

7

функцией, или алгебраическим многочленом степени n. Многочлен первой степени называется линейной функцией . Отношение двух целых рациональных функций

R x a0 xn a1xn 1 an 1x an b0 xm b1xm 1 bm 1x bm

называется дробно – рациональной функцией. Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной, называется иррациональной

функцией, например, функция f x x 2 x3/ 5 является ирра-

циональной.

Алгебраические функции, не являющиеся рациональными или иррациональными, называются трансцендентными функциями, на-

пример, функции f x cos3x e x и x 32x ctgx являются

трансцендентными.

Сложной функции или композицией функций (функция от функции) называется такая зависимость у от х, что у является функ-

пример сложной функции, где в качестве промежуточной функции

8

убывающей (невозрастающей). Функция, удовлетворяющая одному из вышеназванных определений, называется монотонной. Напри-

мер, функция y x2 2x 4 монотонно убывает на промежутке,1 и монотонно возрастает на промежутке 1, .

Функция y f x называется ограниченной сверху (снизу) в

некоторой области, если существует такое число А, что f x A ( f x A ) для любого x из этой области. Функция называется ог-

функции симметричен относительно начала координат, а четной функции – относительно оси Oy .

Функция y f x называется периодической, если существу-

Наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом. Свойство периодичности функции подразумевает наличие области определения функции, простирающейся отдо , в которой , однако, могут присутствовать периодически повторяющиеся выколотые точки или пустые промежутки.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое множество? Приведите примеры множеств и подмножеств.

2.Дайте определение суммы, произведения, разности мно-

жеств.

3.Что называется функцией? Приведите примеры функции, областью определения которой является отрезок на числовой оси, полубесконечный интервал.

4.Что является областью определения числовой последовательности?

5.Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

9