Методическое пособие 449

3. Если дробь является иррациональной, т.е. в числителе или знаменателе есть корни, то для раскрытия неопределенности вида

0 необходимо выделять в качестве множителей бесконечно ма-

0

лые величины, не содержащие радикалов, посредством умножения числителя и знаменателя на иррационально сопряженное выражение.

Пример 2.12.

ставления бесконечно малых величин в удобном виде, не содержащем иррациональности, необходимо умножить и разделить на сопряженное выражение.

20

преобразований получим уже рассмотренный случай неопределен-

0

ности .0

Пример 2.15.

21

Рис. 4

Функции y f x , определенная в точке x0 и ее окрестности, называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому

22

приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

lim y 0.

x 0

Можно дать второе определение непрерывности функции, следующее из первого. Для этого рассмотрим детальнее предыдущее

Тогда функция y f x , определенная в точке x0 и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в точке x0 , если суще-

ствует предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке x0 . Это означает, что при нахождении предела непре-

рывной функции достаточно в выражение функции f x подставить

тельных значениях аргумента х. Возьмем для произвольной точки х приращение x и найдем соответствующее приращение y :

но малая величина. Согласно определению непрерывности функция y sin x непрерывна в любой точке x R . По аналогии можно до-

23

казать непрерывность и других элементарных функций на области их определения.

Функции y f x , определенная в точке a и ее окрестности,

называется непрерывной в точке a , если предел функции y f x

го интервала a;b , то говорят, что функция непрерывна на этом

интервале. Если функция у = f (х) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,b) и непрерывна на концах интервала соответственно справа и слева, то говорят, что функция непрерывна на замк-

нутом интервале или отрезке [a,b].

24

2.9. Точки разрыва функции и их классификация

Если в точке a не выполняется хотя бы одно из условий третьего определения непрерывности функции y f x , то точка

a является точкой разрыва. Существует три типа точек разрыва: точка устранимого разрыва, точка разрыва первого рода или скачек,

то точка a называется точкой разрыва первого рода или скачком.

y

B

A

Рис. 5

25

Точки разрыва первого рода или скачки часто имеют кусочнонепрерывные функции. Например, функция

Если хотя бы один из односторонних пределов стремится к бесконечности или не существует, то имеет место точка разрыва второго рода .

26

2.10. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теоремы о непрерывности функций в точке a и ее окрестности следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.

Теорема 2. Произведение двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности, есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.

Теорема 3. Частное от деления двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности, если знаменатель в точке a не равен нулю.

Теорема 4. (Теорема о непрерывности сложной функции) Пусть y f x -сложная функция. Если функция x непре-

рывна в точке a , а функция y f непрерывна в точке a a , то сложная функция y f x , составленная из непрерывных функций, непрерывна в точке a .

2.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем зна-

чении функции на отрезке. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

y

27

Изображенная на рис. 8 функция y f x непрерывна на от-

резке a;b , принимает наибольшее значение M в точке x1 , а наи-

меньшее m - в точке x2 . Для любого x a;b имеет место нера-

венство m f x M .

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема о нуле непрерывной на отрезке функции. Если функция y f x непрерывна на отрезке a;b , и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка a;b найдет-

ся хотя бы одна точка c , в которой данная функция y f x обращается в ноль: f c 0 .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ox на другую, то он обязательно пересекает ось Ox (рис.9).

y

y f x

Рис. 9

В случае нарушения условия о непрерывности функции на отрезке вышеуказанная теорема может не выполняться(рис. 10).

y

28

Теорема Больцано-Коши. Если функция y f x непрерыв-

на на отрезке a;b , и принимает на его концах неравные значения f a A и f b B , то на этом отрезке она принимает и все про-

межуточные значения между A и B .

Геометрическая интерпретация теоремы Больцано-Коши сводится к тому, что для любого числа C , заключенного между A и B , c , что f c C , т.е. прямая y C

пересечет график функции y f x , по крайней мере, в одной точке

(рис. 11).

y

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте определение предела функции при x a и при x . Дайте геометрическую иллюстрацию определений этих пределов.

2.Что такое бесконечно малая и бесконечно большая величины? Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой величиной?

3.Каковы основные свойства бесконечно малых величин?

4.Сформулируйте основные теоремы о пределах.

5.О чем говорится в первом замечательном пределе?

6.Как записываются основные формулы второго замечательного предела?

7.Какие бесконечно малые величины называются бесконечно малыми величинами одинакового порядка малости?

8.Приведите примеры эквивалентных бесконечно малых ве-

личин.

29