Методическое пособие 449

Правило Лопиталя может быть использовано для исследования неопределенностей вида 0 , , 1 , 0 , 00 , , для чего указанные виды неопределенностей сводятся к неопреде-

Пример 4.3. Найти предел lim xtgx .

x 0

Решение.

Решение.

60

Некорректное использование правила Лопиталя может привести к неверному результату.

61

Например, предел lim x sin x вычисляется без правила Ло-

x x

питаля простым делением числителя и знаменателя на x

Однако, правило Лопиталя при вычислении этого предела дает неверный результат:

Противоречие связано с невыполнением условия правила Лопиталя, состоящего в существовании предела отношения производных бесконечно больших величин.

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте теорему Ролля. Почему между двумя точками, соответствующими нулевым значениям дифференцируемой функции, найдется значение аргумента, при котором производная обращается в нуль?

2.Сформулируйте теорему Лагранжа. Каков геометрический смысл теоремы?

3.Что такое правило Лопиталя?

5.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ

ГРАФИКА ФУНКЦИИ

5.1. Возрастание и убывание функции

Одним из простейших приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Теорема. (Необходимое условие возрастания (убывания)

функции). Если непрерывная и дифференцируемая на интервале

62

a,b функция f x возрастает (убывает), то для любой точки этого

f x x f x . В обоих случаях

так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f x дифференцируема, следовательно,

имеет производную в точке x , которая является пределом отношения

f (x x) f (x) 0,x

следовательно

убывает на интервале a,b .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что для возрастающей дифференцируемой функции касательная к графику имеет положительный угловой коэффициент и образует острые положительные углы с положительным направлением оси Ох. Для убывающей дифференцируемой функции касательная к графику функции в любой точке имеет отрицательный угловой коэффициент.

Теорема. (Достаточное условие возрастания (убывания)

функции). Если функция f x непрерывна и дифференцируема на

63

функция f x является возрастающей (убывающей) на интервале

a,b .

Доказательство.

Пусть f x 0. Возьмем точки x1 и x2 из интервала a,b , такие, что x1 < x2 . По теореме Лагранжа внутри отрезка x1, x2 найдется такая внутренняя точка , что будет выполняться равенство

что для всех значений x из этой окрестности будет выполняться неравенство

f x0 f x , ( f x0 f x ) .

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Понятие экстремума функции является локальным для функции, поскольку всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Необходимо отметить, что точки экстремумов могут быть только внутренними точками области определения. Рассмотрим необходимое условие существования экстремума функции.

64

Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если диффе-

ренцируемая функция y f x имеет в точке x x0 максимум или

минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е f x0 0 .

Доказательство. Рассмотрим случай, когда точка x0 является точкой максимума. Это означает, что в окрестности точки x0 выполняется неравенство f x0 f x или f x0 f x0 x . Но тогда

графику параллельна оси Ox .

Точки, в которых производная обращается в нуль, называются

стационарными.

Однако, можно привести ряд примеров, когда обращение в нуль производной не связано с наличием экстремума. Например, для

функции y x3 её производная y 3x2 равна нулю при x 0 , но в

начале координат функция y x3 не имеет экстремума. Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют

производной. Например, непрерывная функция y x в точке x 0

производной не имеет, но точка x 0 является точкой минимума. Можно утверждать, что непрерывная функция имеет экстремум или в точках, где производная функции равна нулю, или не существует.

Подобные точки называются критическими точками первого рода.

65

окрестности критической точки x0 и при переходе через нее слева направо производная f x меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума; если же изменение знака производной происходит с минуса на плюс, то x0 является точкой минимума.

f x в точке x0 является наибольшим на интервале x0 , x0 , что соответствует определению максимума функции в точке x0 .

Аналогичным образом можно рассмотреть случай изменения знака производной с минуса на плюс при переходе через точку x0 .

Производная непрерывной функции не существует при x1 0

Рис. 17

66

Следовательно, x1 0 является точкой максимума, причем, ymax 0 , а x2 8 является точкой минимума, ymin y 8 43 .

В некоторых задачах удобнее использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема. (Второй достаточный признак существования экстремума). Если в точке x0 первая производная функции

y f x равна нулю, а вторая производная в точке x0 существует и

функция имеет максимум.

5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Рассмотрим функцию y f x , непрерывную на отрезке a,b .

По известной теореме такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо в точках экстремумов, либо на граничных точках отрезка a,b .

67

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на a,b :

1) найти критические точки первого рода функции на интервале a,b ;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка в точках x a и x b ;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция y f x на отрезке a,b не имеет критических

точек, то в этом случае функция является монотонной, и свое наибольшее и наименьшее значения принимает на разных концах отрезка a,b . Если же функция y f x имеет лишь одну критическую

точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Пример 5.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функ-

68

5.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции y f x называется выпуклым на интервале a,b , если любая касательная на этом интервале будет располагаться выше графика функции. График функции y f x называется вогнутым на интервале a,b , если любая ка-

сательная на этом интервале будет располагаться ниже графика функции.

Точки графика непрерывной функции y f x , отделяющие

участки вогнутости и выпуклости графика, называется точками пе-

региба.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью тео-

Теорема. Если функция в любой точке интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е.

график функции в этом интервале является выпуклым. Если же вторая производная положительная в любой точке интервала a,b , то график функции является вогнутым на этом интервале.

Доказательство. Предположим, что на интервале

f x 0 . Возьмем на графике функции произвольную точку S с абсциссой x0 a,b и проведем через точку S касательную. Докажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Сравним в точке x a,b ординату кривой y f x и ординату касательной yкас x . Воспользуемся уравнением касательной

yкас f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).

Тогда

y yкас f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).

По теореме о конечных приращениях

f (x) f (x0 ) f (c)(x x0 ),

где c лежит между x и x0 . Поэтому

69