Методическое пособие 449

6.Приведите примеры алгебраической рациональной функции

иалгебраической иррациональной функции.

7.Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложной функции, содержащей две промежуточные функции.

8.Дайте определение монотонно возрастающей функции, ограниченной функции.

9.Может ли нечетная функция иметь область определения

D y : 0, ?

2.ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

2.1.Предел функции

Число A называется пределом функции y f x при x ,

стремящемся к а ( x a ), если для любого сколь угодно малого положительного ε > 0 найдется такое δ(ε) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x a выполняется неравенство

f x A . Если A есть предел функции y f x при x a , то пишут

lim f x A .

x a

Определение предела функции y f x графически иллюстрируется следующим образом (рис. 1).

10

Пример 2.1. Функция 1x будет бесконечно малой при

x , так как lim 1 0 . Действительно, из определения предела

x x

следует, что для любого наперед заданного произвольно малого положительного найдется такое число N, что для всех значений х,

x a

малая величина, и наоборот: если f x A x , где x - беско-

нечно малая величина, то lim f x A .

x a

Теорема 2. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Теорема 3. Произведение любого числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой величины и ограниченной функции есть бесконечно малая величина.

Следствие . Произведение бесконечно малой величины на константу есть бесконечно малая величина.

Функция y f x называется бесконечно большой величиной

при x a , если для любого сколь угодно большого числа M найдется такое 0, зависящее от M , что для всех x из - окрестности будет выполняться условие f x M , что записывается следующим образом

lim f x .

x a

Теорема 4. Если x является бесконечно малой величиной,

1

то есть бесконечно большая величина.

x

12

2.3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим пределы функций при x a , полагая, что результаты не изменятся и при x .

Теорема 1. Предел алгебраической суммы функций u x и v x равен алгебраической сумме пределов этих функций.

Теорема 2. Предел произведения функций u x и v x равен

(без доказательства).

Теорема 5. Если между соответствующими значениями двух функций u u(x) и v=v(x) выполняется неравенство u(x) v(x) и

13

Если при вычислении пределов алгебраической суммы, произведения или частного от деления функций сами функции стремятся к некоторым константам, не равным одновременно нулю в случае деления функций, то вычисление пределов как в предыдущем примере не вызывает затруднения. Пределы отношения бесконечно малых величин, отношения бесконечно больших величин, произведения бесконечно малой и бесконечно большой величины в зависимости от частного закона изменения рассматриваемых величин могут принимать различные значения или даже не существовать. Выраже-

стями.

14

15

Перейдем к обратным величинам, воспользовавшись свойствами неравенств,

что эта переменная величина возрастает и ограничена, и, следовательно, она должна иметь предел. Действительно,

16

При решении конкретных задач на пределы могут быть полезны модифицированные варианты записи второго замечательного предела:

Пример 2.8.

17

2.6. Раскрытие некоторых неопределенностей

из случаев неопределенности. Укажем приемы для решения таких примеров, приемы «раскрытия неопределенности».