Таким образом, окончательно имеем
Пример 6. Вычислить интеграл где:
а) АВ—прямая , соединяющая точки (0; 0) и (1;1);
б)
АВ
— парабола
,
соединяющая те же точки;
в
)
АВ—ломаная,
проходящая через точки
(0; 0), (1; 0), (1;1) (рис.
35).
Решение. По третьей формуле (3.10) имеем:
а)
б)
в)
Заметим, что взяв три различных пути, соединяющих одни и те же точки, мы получили три одинаковых результата. Это обстоятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта в п. 3.3.
Пусть гладкая кривая АВ задана параметрически уравнениями , , , причем изменению t от до соответствует движение точки по кривой от А до В (не обязательно, чтобы было меньше ). Тогда
Аналогичные формулы имеют место и для интегралов по координатам y и z.
Пример
7. Вычислить
криволинейный интеграл
где АВ
– одни виток винтовой линии
,
,
от точки
А(1,0,0)
до точки В(1,0,4).
Решение. Вдоль дуги АВ параметр t изменяется от 0 до 2. Тогда,
5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Обозначим через и углы, составляемые с осями координат направленной касательной к кривой АВ в точке М(х; у) (рис. 36); тогда получим соотношения
.
(3.11)
Заменяя
в криволинейных интегралах второго
рода
dx
и
dy
их выражениями (3.11),
преобразуем эти интегралы в криволинейные
интегралы первого рода:
(3.12)
Таким
образом, формулы
(3.12) выражают
криволинейные интегралы второго
рода через криволинейные интегралы
первого рода и устанавливают связь
между ними. При изменении направления
движения точки по кривой на противоположное
,
,
dx
и dy
меняют знак, и формулы
(3.12) остаются
в силе.
3.2. Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между криволи-нейными и двойными интегралами. Она имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.
Приведем эту формулу для замкнутой области, граница которой пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках (см. рис. 37). Для краткости будем называть такие области простыми. Предполагается, что контур, ограничивающий область, гладкий или кусочно-гладкий.
Теорема
1.
Пусть G
некоторая простая замкнутая область,
ограниченная контуром L,
и пусть функции Р(х,
у)
и Q(x,
у)
непрерывны вместе со своими частными
производными
и
в данной области. Тогда имеет место
формула
(3.13)
называемая формулой Грина.
З
а м е ч а н и е. Формула Грина остается
справедливой для всякой замкнутой
области
G,
которую можно разбить проведением
дополнительных линий на конечное число
простых замкнутых областей.
Действительно, пусть область
G
с границей
L
имеет вид, изображенный на рис.
38. Разобьем
ее на две простые области:
и
,
для каждой из которых справедлива
формула
(3.13). Напишем
отдельно формулу Грина для
и
и сложим почленно полученные равенства.
Слева будем иметь двойной интеграл по
всей области G,
а справа
криволинейный интеграл по контуру L
области
G,
так как криволинейный интеграл по
вспомогательной кривой берется дважды
в противоположных направлениях и при
суммировании взаимно уничтожается.
Пример.
С помощью формулы Грина вычислить
криволинейный интеграл
где
L
окружность
.
Решение.
Функции
,
и
непрерывны
в замкнутом круге
.
Следовательно,
по теореме
1 формула
Грина применима к данному интегралу.
Имеем
Заметим, что полученный результат легко проверить непосредственно вычислением данного интеграла.