1.6. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Электростатическое поле можно описать как с помощью векторной функции Е – напряженности поля, так и с помощью скалярной функции φ – потенциала поля. Естественно, что между силовой и энергетической характеристиками одной и той же точки электростатического поля существует однозначная зависимость.

Учитывая, что элементарная работа электростатических сил поля над перемещающимся пробным положительным зарядом определяется, с одной стороны, как dA = q_пр∙E_L∙dL = q_пр∙E∙dr, а с другой, как dA = - q_пр∙dφ, можно записать следующие соотношения: q_пр∙E_L∙dL = q_пр∙E∙dr = - q_пр∙dφ, откуда получаются уравнения

E_L = - , Е = - .

Зная напряженность Е(r), можно вычислить разность потенциалов и потенциал поля:

φ(r₁) - φ(r₂) = E dr, φ (r) = E dr,

где r₀ – точка, в которой потенциал принят равным нулю. Зная значение потенциала φ(r), можно найти проекцию напряженности на любое направление и, соответственно, вектор напряженности:

E = - (i· + j · + k · ) = - grad φ,

где i, j и k – единичные векторы, а величина (grad φ) (читается как “градиент фи”, или “градиент потенциала”) – это векторная величина, направленная в сторону возрастания потенциала φ, навстречу вектору напряженности поля Е, направленному в сторону убывания потенциала поля, и показывающая быстроту изменения потенциала в выбранном направлении. Понятие градиента применяется для характеристики скалярных полей. В общем случае, градиент скалярной функции – это вектор, определяющий приращение функции на элементе пути.

1.7. Проводники в электростатическом поле

По электропроводности, то есть способности проводить электрический ток, все вещества делятся на проводники, диэлектрики (изоляторы), полупроводники.

Проводником называется вещество, проводящее электрический ток и содержащее большое количество свободных зарядов (например, электроны проводимости в металлическом проводнике), которые способны перемещаться по объему проводника.

Под действием внешнего электростатического поля Е_внеш свободные электроны в металлическом проводнике смещаются, что приводит к образованию избытка отрицательного заряда - электронов на одной стороне проводника, а на другой – избытка положительного заряда (рис. 8).

В результате смещения свободных электронов внутри металлического проводника возникает внутреннее электрическое поле Е_внут (поле смещенных зарядов), направленное навстречу внешнему полю и уравновешивающее его таким образом, что напряженность результирующего поля в любой точке внутри проводника равна нулю (Е = Е_внеш + Е_внут = 0). В электростатике рассматривается состояние, в котором заряды пришли в равновесие (то есть отсутствует направленное движение зарядов – электрический ток). Это значит, что всюду в объеме проводника после установления равновесия напряженность поля Е = q/(4 r²) должна быть равна нулю, так как заряд внутри проводника отсутствует (q = 0). Внутренняя полость в замкнутом проводнике экранируется от внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита.

Из вышеизложенного следует:

• В целом нейтральный сплошной или полый проводник одинаково разрывает силовые линии внешнего электрического поля.

• Во внешнем поле начинается явление электростатической индукции (электризация незаряженного проводника, заключающаяся в разделении положительных и отрицательных зарядов) и появляются статические индуцированные заряды (смещенные заряды) на поверхности проводника, которые исчезают при удалении проводника из электростатического поля.

• Потенциал всех точек проводника имеет одинаковое значение, которое называют потенциалом проводника. Разность потенциалов между любыми точками проводника равна нулю.

• В заряженном проводнике нескомпенсированные электрические заряды располагаются только на его поверхности. Поверхность и объем проводника являются эквипотенциальными. Проводник представляет собой замкнутую эквипотенциальную область:

Е = -grad φ = 0 => (dφ/dl) = 0 => φ = const.

• Во всех точках поверхности проводника нормальная составляющая вектора напряженности результирующего поля Е = Е_n ≠ 0, а тангенциальная составляющая Е_τ = 0.

• Плотность заряда на поверхности проводника зависит от величины и направления кривизны поверхности:

- на выпуклостях (положительная кривизна) – растет;

- на вогнутостях (отрицательная кривизна) – убывает.

• Пусть поверхностная плотность заряда проводника равна σ = q/S, где q – индуцированный заряд на поверхности проводника, S - площадь поверхности проводника. С помощью теоремы Остроградского – Гаусса можно рассчитать величину напряженности Е электростатического поля вблизи поверхности проводника:

Ф_Е = E_n dS = E_n∙S = E∙S = => Е = .