2.4. Закон Джоуля - Ленца

Электрический ток, протекающий в цепи, может совершать тепловое, магнитное и химическое действия.

Закон Джоуля – Ленца в интегральной форме. Предположим, что силы электростатического поля совершают работу dA, перемещая заряд dq через поперечное сечение изотропного проводника за время dt, которая затрачивается на нагревание проводника с выделением количества теплоты

dQ = dA = U∙dq = U∙∙dt = ²∙R∙dt,

где U – падение напряжения на проводнике,  - сила тока в проводнике, R – сопротивление проводника.

Если сила тока изменяется со временем (t), то количество теплоты, выделяющееся за время t во всем проводнике, вычисляется по формуле:

Q = ²∙R∙dt.

Для участка цепи постоянного тока ( = const) количество теплоты, выделившейся во всем проводнике, равно Q = ²∙R∙t.

Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме. Выделим в проводнике элементарный объем dV в виде цилиндра (см. рис. 20) и перейдем к выражению, характеризующему выделение теплоты в различных местах проводника. Согласно закону Джоуля – Ленца за время dt в этом объеме выделится теплота

dQ = ²∙R∙dt = ρ∙ ∙(j∙dS)²∙dt,

где dS – сечение цилиндра, dL – длина цилиндра, R = ρ∙dL/dS – сопротивление цилиндра, j – плотность тока в данном месте проводника, сила тока в цилиндре равна  = j∙dS.

Разделив выражение для dQ на dV и dt, найдем количество теплоты, выделяющееся в единице объема в единицу времени, то есть удельную тепловую мощность тока

w_тепл = = ρ∙j² = σ∙E² = .

В векторном виде закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме записывается как w_тепл = j∙E. Полученные формулы справедливы и для неоднородного участка при условии, что действующие в нем сторонние силы имеют нехимическое происхождение.

2.5. Расчет разветвленной цепи. Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа позволяют рассчитывать сложные электрические цепи, то есть определять силу и направление постоянного или квазистационарного тока в любой части разветвленной (многоконтурной) системы проводников, если известны сопротивления R_i и ЭДС ε_i всех его участков.

Первый закон (правило) Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда и состоит в том, что алгебраическая сумма токов _i, сходящихся в точке разветвления проводников – узле, равна нулю:

∑_i = 0;

Узел это точка соединения не менее чем трех проводников,

Токи, притекающие к узлу, считаются положительными, вытекающие из него – отрицательными. Например, исходя из уравнения непрерывности для узла, изображенном на рис.21, через который протекают постоянные токи, имеем:

j∙ds = = 0 => ₁ + ₂ - ₃ + ₄ - ₅ = 0.

Второй закон (правило) Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, выделенном в сложной цепи проводников, алгебраическая сумма падений напряжений _i∙R_i на отдельных участках контура (R_i – сопротивление i – го участка) равна алгебраической сумме ЭДС ε_i в этом контуре:

∑(_i∙R_i) = ∑ ε_i.

При этом следует произвольно выбрать положительное направление токов и ЭДС. Например, следует считать их положительными, если направление токов совпадает с направлением обхода контура по часовой стрелке, а ЭДС повышает потенциал в направлении этого обхода, отрицательными – при противоположном направлении. Второй закон Кирхгофа получается в результате применения закона Ома к различным участкам замкнутой цепи.

Для сложной многоконтурной электрической цепи из n проводников, образующих m узлов, составляют n уравнений:

- (m - 1) уравнение для узлов на основе первого закона Кирхгофа;

- (n - m + 1) уравнений для независимых замкнутых контуров на основе второго закона Кирхгофа. Решение этой системы уравнений и дает значения искомых токов. Если при решении для какого-либо тока получается отрицательное значение, то это означает, что его направление противоположно выбранному.