4.2. Переменный электрический ток

Электрический ток, основные параметры (сила тока и напряжение) которого периодически изменяются во времени по определенному закону, называется переменным током. Переменный ток также периодически изменяет свое направление в отличие от постоянного тока.

Для передачи и распределения электрической энергии преимущественно используется переменный ток, который создается синусоидальной (гармонической) ЭДС или переменным напряжением. На практике переменная ЭДС создается генератором переменного тока, работающим на электростанции, и представляющим собой устройство, в котором синусоидальная ЭДС возбуждается путем вращения магнита или электромагнита (ротора) внутри статора – неподвижной обмотки, навитой на стальной сердечник. Благодаря отсутствию гармоник (составляющих тока с частотой, отличной от его основной частоты) возможна простая трансформация (преобразование) синусоидального переменного тока почти без потерь мощности.

В простейшем и наиболее важном случае мгновенные значения напряжения u и силы i переменного тока меняются во времени по синусоидальному закону, соответственно:

u = U_mcos(ωt + φ₁), i = _mcos(ωt + φ₂),

где U_m и _m – амплитудные значения напряжения и тока, ω = 2π∙f – круговая частота, φ₁ и φ₂ – начальные фазы.

Для характеристики силы переменного тока за основу принято сопоставление среднего теплового действия переменного тока с тепловым действием постоянного тока соответствующей силы. Полученное таким путем значение силы  переменного тока называется действующим (или эффективным) значением, математически представляющим среднеквадратичное за период значение силы тока, равное:

 = ≈ 0,707∙_m.

Аналогично определяется и действующее значение напряжения:

U = ≈ 0,707∙U_m.

Из – за наличия в реальной цепи переменного тока индуктивности L и емкости С между током i и напряжением u в общем случае возникает сдвиг фаз φ = φ₁ - φ₂, зависящий от параметров цепи (R, L, C) и частоты ω (рис. 52).

Вследствие сдвига фаз средняя мощность Р переменного тока меньше произведения действующих значений тока и напряжения:

Р = U∙∙cosφ.

Входящий в это выражение множитель cosφ называют коэффициентом мощности. В технике стремятся сделать cosφ как можно большим. При малом cosφ для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большей силы, что приводит к возрастанию потерь в подводящих проводах.

В цепи переменного тока, не содержащей ни индуктивности, ни емкости, ток совпадает по фазе с напряжением и активная мощность, затрачиваемая в цепи, определяется по формуле Р = ²∙R, где R – активное сопротивление цепи.

4.3. Ток смещения. Уравнения Максвелла

Ток смещения. Из явления электромагнитной индукции вытекает, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле.

В случае не изменяющегося во времени электромагнитного поля ротор вектора напряженности Н равен в каждой точке плотности тока проводимости (см. разд. 3.8):

rot H = j.

Вектор j связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:

div j = - .

Электромагнитное поле не изменяется лишь при условии, что плотность заряда ρ и плотность тока j не зависят от времени. Тогда дивергенция j равна нулю. Поэтому линии тока (линии вектора j) не имеют источников и являются замкнутыми.

В случае изменяющихся во времени полей уравнение rot H = j перестает быть справедливым. По теореме о циркуляции вектора напряженности Н магнитного поля по замкнутому контуру L ток должен быть одинаковым для любых двух натянутых на данный контур поверхностей S₁ и S₂, а если заряд в объеме между выбранными поверхностями меняется, то это утверждение вступает в противоречие с законом сохранения заряда.

Например, при замыкании ключа К конденсатор С начинает запасать электрическую энергию в виде электрического заряда на его обкладках (точками со стрелками обозначен поток электронов в процессе накопления заряда на обкладках), по абсолютной величине равного q (рис. 53).

Квазистационарный ток  = заряда конденсатора протекает в цепи до тех пор, пока напряжение на конденсаторе U не сравняется с ЭДС источника тока Е. В этом случае говорят, что конденсатор полностью заряжен и между его обкладками возникает разность потенциалов, а следовательно, и электрическое поле внутри диэлектрика Д, находящегося между обкладками конденсатора. Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке между обкладками конденсатора, так как диэлектрик не проводит электрический ток (на рис. 53 линии тока внутри обкладок показаны штриховыми линиями). Получается, что циркуляция вектора Н по контуру L для поверхности S₁ равна силе тока , заряжающей конденсатор:

(Н, dL) = (j·dS) =  .

Однако, определение циркуляции вектора Н по контуру L для поверхности S₂, не пересекающей провод с током, приводит к неверному соотношению:

(Н, dL) = (j·dS) = 0.

Чтобы снять указанное противоречие, Максвелл ввел в уравнение rot H = j ток смещения и уравнение приобрело вид:

rot H = j + j_см,

где j_см - плотность тока смещения, пропорциональная скорости изменения вектора электрического смещения D (см. разд. 2.2) и равная:

j _см = ∂D/∂t .

В диэлектрической среде плотность тока смещения равна:

j_см = ε₀∙(∂E/∂t) + ∂P/∂t,

где первый член представляет собой плотность тока смещения в вакууме, который определяется изменяющимся электрическим полем; второй – плотность не реального тока носителей заряда, а обусловленного смещением связанных зарядов при изменении положения поляризованных молекул, то есть поляризованности диэлектрика Р. Если убрать воздействие индукции магнитного поля то молекулы диэлектрика возвращаются в исходное положение.

Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полного тока равна:

j_полн = j + j_см.

После подстановки для ротора вектора Н получается уравнение верное и для переменных полей:

rot H = j + ∂D/∂t.

По существу ток смещения – это изменяющееся со временем электрическое поле. Из всех физических свойств, присущих действительному току носителей заряда (току проводимости), ток смещения обладает лишь одним – способностью создавать магнитное поле. Из уравнения следует, что изменяющееся электрическое поле порождает магнитное поле.

Ток смещения имеется везде, где есть изменяющееся со временем электрическое поле. В частности, он существует и внутри проводов (проводников), по которым течет переменный электрический ток. Однако внутри проводников ток смещения обычно бывает пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости.

Для тока смещения, как и для тока проводимости, можно строить линии тока и линии полного тока оказываются всегда замкнутыми.

Уравнения Максвелла. Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую макроскопическую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла является последовательным обобщением основных законов электрических и электромагнитных явлений: теоремы Остроградского – Гаусса для потока электрического смещения (см. разд. 1.8), закона полного тока (теоремы о циркуляции векторов В и Н, см. разд. 3.5 и 3.8) и закона электромагнитной индукции (закона Фарадея, см. разд. 3.10). Являясь теорией электромагнитного поля, теория Максвелла позволяет решать задачи, связанные с отысканием усредненных электрических и магнитных полей, создаваемых заданным распределением макроскопических электрических зарядов и токов. Макроскопические заряды и токи являются совокупностями микроскопических зарядов и токов, создающих переменные электрические и магнитные поля. По теории Максвелла (теории близкодействия) скорость распространения электрических и магнитных взаимодействий равна скорости света в данной среде. Электрические и магнитные свойства среды описываются в теории Максвелла с помощью трех величин: относительной диэлектрической проницаемости ε (см. разд. 1.8), относительной магнитной проницаемости μ (см. разд. 3.8), удельной электропроводности σ (см. разд. 2.3). В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света и показывается, что электромагнитная волна может покидать источник и распространяться в пространстве самостоятельно.

Система уравнений Максвелла в вакууме. После введения тока смещения система уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид:

rot E = - ∂B/∂t (1),

rot B = μ₀∙j + μ₀∙ε₀∙ (∂E/∂t) (2),

div E = ρ / ε₀ (3),

div B = 0 (4),

а в интегральной форме записывается в следующем виде:

(E, d) = - (B, dS) (1)

B∙d= μ₀∙ j∙dS + μ₀∙ε₀∙ (E, dS) (2)

E∙dS = ∙ ρ∙Dv (3)

B∙dS = 0 (4)

Плотность заряда и тока связаны соотношением вида:

j∙dS = - ρ∙dV ,

где div j = - ∂ρ/∂t, и которое выражает закон сохранения заряда – поток заряда через замкнутую поверхность равен изменению во времени заряда внутри нее, взятому с обратным знаком, и является следствием уравнений Максвелла.

Система уравнений Максвелла в среде в дифференциальной форме принимает вид:

rot E = - ∂B/∂t (1),

rot Н = j + ∂D/∂t (2),

div D = ρ (3),

div B = 0 (4),

а в интегральной форме записывается в следующем виде:

E∙d = - (B, dS) (1)

H∙d = j∙dS + (D, dS) (2)

D∙dS = ρ∙dV (3)

B∙dS = 0 (4)

Физический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной форме тот же, что и соответствующих уравнений в интегральной форме.

Если считать, что векторы электромагнитного поля (E, B, D, H) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов В и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объемы, можно от системы уравнений Максвелла в интегральной форме перейти к системе дифференциальных уравнений, которые характеризуют поле в каждой точке пространства и поэтому называются полевыми уравнениями.

Переход от системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме к интегральным уравнениям получается путем интегрирования, например, уравнения rot E = - ∂B/∂t по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части уравнения по теореме Стокса в интеграл по контуру L:

(E, d) = (rot E, dS),

или, таким же способом, путем интегрирования, например, дифференциальных уравнений div D = ρ и div B = 0 по произвольному объему V с последующим преобразованием левой части уравнений по теореме Остроградского - Гауссав интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V.

Поскольку число уравнений в системах меньше числа неизвестных функций, то четырех уравнений не достаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Поэтому, чтобы осуществить расчет полей, нужно дополнить уравнения Максвелла материальными уравнениями, которые в простейшем случае изотропных и однородных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, записываются в виде:

D = ε₀ ∙ ε ∙ E,

B = μ₀ ∙ μ ∙ H,

j = σ ∙ E.

Первое интегральное уравнение Максвелла, верное и в вакууме и в среде:

E∙d = - (B, dS),

читается, как: циркуляция вектора напряженности Е электрического поля вдоль замкнутого контура L (ЭДС индукции ε_i) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции В сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром, где знак минус соответствуе правилу Ленца для направления индукционного тока, и является математической формулировкой обобщенного закона Фарадея. При этом под Е понимается векторная сумма электростатического и вихревого поля.

Вторые уравнения Максвелла в интегральной форме являются обобщением закона полного тока, то есть обобщением на переменные поля эмпирического закона Био – Савара – Лапласа о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Из уравнений следует, что магнитное поле порождается не только токами проводимости, но и переменными электрическими полями dE/dt в вакууме и dD/dt в диэлектриках. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения, который возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости. Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым. Интегральная форма уравнение Максвелла (2) в вакууме (или в среде) словесно формулируется следующим образом: циркуляция вектора индукции В (вектора напряженности Н) магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора В в вакууме, или вектора Н в среде, в данной точке контура на бесконечно малый отрезок d контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

Интегральные уравнения (3) и (4) выражают теорему Остроградского - Гауссадля векторов Е, D и B, которая справедлива всегда как в динамических, так и в статических полях: поток вектора напряженности Е электрического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен заряду внутри нее, деленному на ε₀; поток вектора D электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся в объеме V, ограниченном поверхностью S; поток вектора В магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Первое дифференциальное уравнение Максвелла rot E = - ∂B/∂t – это закон Фарадея, указывающий на то, что источником электрического поля является изменяющееся во времени магнитное поле.

Уравнения (2) для rot В и rot Н показывают, что магнитное поле в вакууме и в диэлектриках соответственно возбуждается либо движущимися электрическими зарядами (токами проводимости), либо переменными электрическими полями (токами смещения).

Уравнения (3) для div E и div D указывают на то, что источниками электрического поля являются электрические заряды.

Однако, как следует из четвертого полевого уравнения div В = 0, в природе не существует никаких собственных источников магнитного поля, то есть магнитных зарядов.

Уравнения Максвелла лежат в основе электротехники и радиотехники, описывают огромную область других актуальных направлений современной физики. Уравнения Максвелла неприменимы лишь в ВЧ и СВЧ диапазонах частот электромагнитных волн, когда энергия отдельных квантов (фотонов) электромагнитного поля становится значительной и влияет на дальнейшие процессы.