3.6. Работа магнитных сил при перемещении проводника с током в поле

Под действием силы Ампера F_м проводник с током  длиной L, совершив перемещение r в магнитном поле В из положения 1 в положение 2, покроет поверхность площадью S (рис. 31).

Элементарная работа dА силы Ампера dF_м, действующей на элемент длины проводника dL (вектор dL направлен по току), при его малом перемещении dr, равна:

dА = (dF_м, dr) = (∙[dL, В], dr).

Проведя циклическую перестановку сомножителей в скалярно-векторном произведении, приведем выражение для работы dА к виду:

dА = ( [dr, dL], В) = (В,dS) = ∙dФ_м,

где dS = [dr, dL] = n∙dS – вектор элементарной площади dS, n – нормаль к поверхности, направленная по правилу векторного произведения, dФ_м = (В, dS) – магнитный поток через элементарную площадь.

Полная работа силы Ампера при перемещении проводника с током в магнитном поле из 1 в 2 вычисляется по формуле:

А = ∙dФ_м = ∙∆Ф_м ,

откуда следует, что работа, совершаемая силой Ампера над проводником с током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока ∆Ф_м через поверхность, покрываемую проводником при его движении под действием магнитной силы. Выражение справедливо для проводника любой формы, который перемещается в однородном или неоднородном магнитном поле.

Найдем работу сил Ампера при перемещении замкнутого контура с током  в магнитном поле В. Сложив элементарные работы dA' для всех элементов длины dL контура при его бесконечно малом перемещении dr, получим:

dA = ·dФ_м ' = ·dФ_м,

где dФ_м' - магнитный поток через элементарную поверхность dS, покрываемую элементом длины dL контура с током при его бесконечно малом перемещении dr под действием силы Ампера, dФ_м – полное приращение магнитного потока по всей длине контура L при его бесконечно малом перемещении dr. Полная работа сил Ампера, под действием которых контур с током перемещается из положения 1 в 2, находится интегрированием и имеет вид:

А₁₂ = ∙dФ_м = ∙(Ф₂ – Ф₁),

где Ф₁ и Ф₂ – значения магнитного потока через контур в начальном и конечном положении.

3.7. Магнитное поле в веществе. Намагниченность вещества

Вещество намагниченно, если оно создает внутри себя и в окружающем прост- ранстве магнитное поле в отсутствие токов проводимости. Источником магнитного поля намагниченного вещества (магнетика) являются магнитные моменты его атомов и молекул.

Магнетиками называются все вещества, способные намагничиваться в магнитном поле. Вещества состоят из атомов или молекул, движение электронов в которых обусловливает существование в веществе циркулирующих круговых микротоков – микроскопических молекулярных токов. Молекулярные же токи можно рассматривать как магнитные диполи р_м (см. разд. 4.4).

При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные диполи магнетиков либо отсутствуют (в диамагнетиках), либо ориентированны хаотически (в парамагнетиках), поэтому средний суммарный магнитный момент образца равен нулю (случай с ферромагнетиками, или постоянными магнитами, требует отдельного рассмотрения).

При описании собственного магнитного поля магнетика в виде образца опреде- ленной формы и объема, находящегося во внешнем магнитном поле, огромное число ориентированных микроскопических молекулярных токов можно заме- нить распределенными по поверхности и объему макроскопическими молекулярными токами. Проще всего представить себе такую замену в случае однородно намагничен- ного цилиндра сечением S и длиной L из изотропного магнетика, когда его магнитные диполи ориентированы вдоль оси цилиндра, параллельной вектору индукции В₀ внешнего магнитного поля (рис. 32).

Подобно тому, как в случае поляризации диэлектрика на его поверхности возникают нескомпенсированные поверхностные заряды, создающие внутреннее поле диэлектрика, на поверхности однородного магнетика возникают поверхностные макроскопические молекулярные токи. В объеме магнетика микромолекулярные токи компенсируют друг друга, а нескомпенсированные на поверхности микромолекулярные токи создают внутреннее собственное поле В_соб магнетика и обусловливают его намагниченность.

Намагниченность – количественная характеристика степени намагничивания вещества, векторная величина J, численно равная пределу отношения геометрической суммы магнитных моментов атомов или молекул (дипольных моментов) к объему вещества ∆V, в котором они находятся, при стремлении объема к нулю ∆V→0, то есть определяемая магнитным моментом единицы объема магнетика:

J = lim ,

где р_мi – дипольный момент i-й молекулы (атома). Приведенное определение вектора намагниченности J подразумевает то, что магнетик намагничен не однородно. Объем ∆V при переходе к пределу берется настолько малым, чтобы намагниченность в его пределах оставалась постоянной, но при этом объем должен оставаться большим по сравнению с объемом отдельной молекулы.

Вектор J однородно намагниченного магнетика определяется равенством:

J = .

Аналогично тому, как это было сделано для поляризованности диэлектрика Р = n∙<p>, намагниченность можно представить как:

J = n∙<p_м>,

где n – концентрация молекул, <p_м> - средний магнитный момент одной молекулы.

Наложение собственного поля вещества В_соб и внешнего намагничивающего поля В₀ (токов проводимости), образует результирующее поле:

В = В₀ + В_соб.

Исходя из того, что процесс намагничивания цилиндра, объем которого равен ∆V = S∙L, из однородного магнетика сопровождается появлением поверхностного макромолекулярного тока , можно записать выражение для величины собственного магнитного момента магнетика в виде (см. разд. 4.4):

Р_м = ∑р_мi = ∙S = ∙L∙S = ∙∆V = J∙∆V,

где отношение – линейная плотность поверхностного макромолекулярного тока однородного цилиндра, то есть ток приходящийся на единицу длины цилиндра, J = P_м/∆V – величина намагниченности цилиндра. Проведя аналогию между магнитным полем В_сол соленоида достаточно большой длины L, с количеством витков N, по которым течет ток i, и собственным магнитным полем В_соб намагниченного цилиндра, можно получить выражение для определения значения индукции собственного магнитного поля цилиндра в виде:

В_соб ≡ В_сол = μ₀∙n∙i = μ₀ ∙ ∙i = μ₀∙ = μ₀∙J,

где произведение n∙I количества витков n = единицы длины соленоида на величину тока i в одном витке отождествляется c поверхностным макромолекулярным током , приходящимся на единицу длины намагниченного цилиндра. В векторном виде это соотношение имеет вид:

В_соб = μ₀∙J.

Таким образом, результирующее поле внутри цилиндра из однородного магнетика станет равным:

В = В₀ + μ₀∙J.

Вещество магнетика не влияет на непрерывность силовых линий В результирующего магнитного поля, так как собственное магнитное поле магнетика В_соб, как и поле В₀ токов проводимости, не имеет магнитных источников (магнитных зарядов).