- •Часть 2
- •Оглавление
- •Предисловие
- •После изучения дисциплины необходимо знать
- •После изучения дисциплины необходимо уметь
- •Содержание дисциплины
- •Самостоятелная работа и контроль знаний студентов
- •После изучения главы необходимо знать следующее:
- •1.1. Электрический заряд. Закон Кулона
- •1.2. Напряженность электрического поля
- •1.3. Поток вектора напряженности электростатического поля.
- •1 .4. Работа электрических сил при перемещении заряда в поле. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
- •1.5. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов
- •1.6. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
- •1.7. Проводники в электростатическом поле
- •1.8. Диэлектрики в электростатическом поле
- •1.9. Электроемкость проводников
- •1.10. Энергия электростатического поля
- •После изучения главы необходимо знать следующее:
- •2.1. Электрический ток, сила и плотность тока. Уравнение непрерывности
- •2.2. Электродвижущая сила. Напряжение
- •2.3. Закон Ома
- •2.4. Закон Джоуля - Ленца
- •2.5. Расчет разветвленной цепи. Законы Кирхгофа
- •2.6. Эквивалентные сопротивления и источники
- •После изучения главы необходимо знать следующее:
- •3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца
- •3.2. Закон Ампера
- •3.3. Закон Био – Савара - Лапласа
- •3.4. Контур с током в магнитном поле
- •3.5. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции
- •3.6. Работа магнитных сил при перемещении проводника с током в поле
- •3.7. Магнитное поле в веществе. Намагниченность вещества
- •3.8. Напряженность магнитного поля. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля
- •3.9. Магнитный момент электронов и атомов. Диа-, пара- и ферромагнетики
- •3.10. Электромагнитная индукция. Закон электромагнитной индукции
- •3.11. Самоиндукция. Индуктивность контура. Взаимная индукция
- •3.12. Энергия магнитного поля
- •После изучения главы необходимо знать следующее:
- •4.1. Электрический колебательный контур
- •4.2. Переменный электрический ток
- •4.3. Ток смещения. Уравнения Максвелла
- •4.4. Электромагнитные волны
- •В опросы для самоконтроля По теме: ”Электростатика”
- •По теме: ”Постоянный электрический ток”
- •По теме: ”Магнетизм”
- •По теме: ”Электромагнитные колебания и волны”
- •Т олковый словарь
- •З аключение
- •Б иблиографический список
- •Краткий курс физики
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
1.3. Поток вектора напряженности электростатического поля.
Теорема Остроградского - Гаусса
Поток вектора напряженности Е. Слову «поток» сквозь поверхность придается смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. Поверхность может быть замкнутой и незамкнутой.
По определению, поток вектора напряженности Е (который будем обозначать ФЕ) сквозь, например, замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, есть алгебраическая величина, определяющая число силовых линий, пересекающих данную поверхность. При этом, в месте выхода силовых линий из объема нормальная составляющая вектора Еn к данному участку поверхности dS считается положительной, то есть. Еn>0, и элементарный поток вектора напряженности через поверхность dS также положительный dФЕ > 0, а в месте входа силовых линий в объем, соответственно, Еn < 0 и dФЕ < 0. Суммарный поток поля Е через поверхность S расчитывается по формуле:
ФЕ = dФЕ = E·cosα·dS = En·dS,
где α – угол между силовой линией, пронизывающей поверхность dS, и нормалью n к поверхности S в данном месте.
Если поверхность S не окружает точечный заряд, то суммарный поток Е через любую поверхность S в поле точечного заряда равен нулю (рис. 5).
Однако, если точечный заряд находится внутри поверхности S, поток поля Е наружу не
равен нулю. Очевидно, что поток через S равен потоку через поверхность S’, которая целиком окружена поверхностью S. Пусть поверхность S’ это малая сфера с радиусом r c положительным точечным зарядом q в центре (рис. 6).
Поток вектора напряженности электростатического поля Е через сферическую поверхность S’ = 4r2, охватывающую точечный заряд q, равен q/ε0, так как значение Е повсюду на поверхности сферы радиуса r равно (q/4 r2) и направлено всегда по нормали к поверхности:
ФЕ = En∙dS = ∙ 4r2 = .
Получается, что поток ФЕ равен числу, не зависящему от радиуса сферы. Значит, и поток ФЕ наружу через произвольную поверхность S тоже равен q/ε0, и это значение не зависит от формы S до тех пор, пока заряд q находится внутри S, и равен нулю, если заряд q не охвачен замкнутой поверхностью, то есть находится снаружи S
Основной теоремой электростатики, вытекающей из закона Кулона и выражающей тот факт, что электрические заряды являются источниками электрического поля, считается теорема Остроградского - Гаусса.
Данная теорема устанавливает связь потока напряженности Е электрического поля через замкнутую поверхность S с величиной заряда q, находящегося внутри этой поверхности.
Как известно, для графического изображения полей используют силовые линии (линии напряженности) поля. Поток вектора напряженности Е пропорционален числу силовых линий, пронизывающих поверхность. Теорема Остроградского – Гаусса означает, что силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах, а в пустом пространстве непрерывны. При этом, теорема Остроградского – Гаусса и непрерывность силовых линий является следствием того, что кулоновская сила убывает с расстоянием как 1/r2.
Интегральная форма теоремы Остроградского – Гаусса формулируется следующим образом: поток ФЕ вектора напряженности Е электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов q = , деленной на электрическую постоянную ε0.
Если заряд непрерывно распределен по объему с плотностью ρ, то величина заряда равна q = ρ∙dV и поток поля равен ФЕ = ρ∙dV.
Дифференциальная форма теоремы Остроградского Гаусса. Запишем закон Остроградского – Гаусса через производные, то есть в дифференциальной форме, применив его к поверхности бесконечно малого объема с суммарным зарядом внутри:
ФЕ = En dS = => En dS = =>
En dS = => En dS) = =>
div E = ,
где = - средняя объемная плотность заряда внутри ограниченного малого объема.
Получается, что поток Е из малого объема равен дивергенции векторного поля div E, помноженной на объем dV. Отсюда следует, что дивергенция вектора Е в данной точке поля – это поток Е («истечение» Е наружу) на единицу объема, взятого в окрестности этой точки поля.
Дивергенция («расхождение» или «схождение») векторного поля Е в данной точке – это величина, численно равная количеству точек на единицу объема (плотности), в которых начинаются силовые линии Е и, в этом случае, div E > 0, а элемент объема является источником поля и в нем заключен положительный заряд; либо силовые линии оканчиваются в этих точках и тогда div E < 0, а элемент объема является стоком поля и содержит отрицательный заряд. В общем случае выражение для дивергенции Е равно:
div E = .