3.10. Электромагнитная индукция. Закон электромагнитной индукции

Электромагнитная индукция (наведение) – явление возникновения индукционной электродвижущей силы ε_i (ЭДС индукции) и, как следствие, индукционного электрического тока в замкнутом проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле или движущемся в постоянном магнитном поле независимо от того, проходит в контуре электрический ток проводимости или нет, до воздействия на него магнитного поля.

В постоянном магнитном поле ЭДС индукции ε_i возникает лишь в том случае, когда магнитный поток Ф_м через ограниченную контуром поверхность S изменяется во времени (dФ_м ≠ 0), то есть контур при движении или деформации должен пересекать линии магнитной индукции В (при движении вдоль линий dФ_м = 0 и ε_i не возникает).

ЭДС электромагнитной индукции ε_i равна работе сторонних сил, поддерживающих ток в контуре, роль которых играют магнитные силы (сила Лоренца). Работа сторонних сил над единичным положительным зарядом, равная по определению ЭДС, оказывается отличной от нуля. Это обстоятельство находится в кажущемся противоречии с утверждением о том, что магнитная сила, всегда направленная перпендикулярно к скорости заряженной частицы, работы над зарядом совершать не может. Противоречие устраняется, если учесть, что, например, при приведении подвижной перемычки (провода длиной L) контура без тока в движение со скоростью v с помощью некоторой внешней силы F_внеш (в случае контура с током в переменном магнитном поле роль F_внеш выполняет сила Ампера) в однородном магнитном поле В, перпендикулярном к плоскости контура и направленном за чертеж, сторонняя сила представляет собой не полную магнитную силу, действующую на носитель заряда - электрон, а лишь параллельную перемычке составляющую силы Лоренца F_ = - е·[v, В], обусловленную скоростью движения перемычки v, увлекающей за собой находящиеся в ней электроны, сообщая им скорость v, что приводит к появлению конвекционного тока, направленного противоположно направлению скорости электронов v (рис. 40).

Под действием параллельной составляющей электрон приходит в движение вдоль провода со скоростью v', в результате чего возникает перпендикулярная к проводу составляющая магнитной силы:

F_ = - е·[v', В].

Полная магнитная сила, действующая на электрон, равна:

F_м = F_ + F_,

а работа этой силы над электроном за время dt составляет величину, равную нулю:

dА = (F_, v'∙dt)+(F_, v∙dt) = F_∙v'∙dt – F_∙v∙dt = е∙v∙В·v'∙dt – е∙v'∙В∙v∙dt = 0,

где подставлены модули векторов F_ и F_, и учитывается, что направления векторов F_ и v' одинаковы, а векторов F_ и v противоположны.

Электроны под действием силы Лоренца движутся вниз и в нижней части проводящей перемычки длиной L (если контур разомкнут) будут накапливаться отрицательные заряды, а в верхней – положительные. В результате этого образуется разность потенциалов ∆φ и возникает электрическое поле напряженностью Е, которое препятствует дальнейшему перемещению электронов. Заряды перестанут перемещаться, когда электрическая сила е·Е уравновесит противоположную по направлению магнитную силу e·[v, B]:

F = е·Е – e·v·B = 0 => Е = v·B = - .

Если контур замкнут, то по нему пойдет электрический ток. Таким образом, на концах перемычки индуцируется ЭДС ε_i, численно равная:

ε_i = ∆φ = - v·B·L.

В векторном виде, учитывая что v = dr/dt, получим выражение для ЭДС индукции:

ε_i = - (В, dS)/dt = - ,

где dS = (dr, dL) = n∙dS, n – нормаль к площадке dS по направлению магнитного поля В, dФ_м – магнитный поток через приращение dS площади поверхности, охватываемую контуром, dr и dL – векторы перемещения и длины, соответственно.

При перемещении dr подвижной перемычки замкнутого контура с током , который создает источник тока Е, в постоянном магнитном поле В силы Ампера, направленные на каждом участке перпендикулярно току, совершают элементарную механическую работу (см. разд. 4.6):

dА_ = (dF_м, dr) = ([dL, В], dr) = ([dr, dL], В) = (В, dS) = ·dФ_м.

Так как полная работа силы Лоренца над любой движущейся по замкнутому контуру частицей, равна нулю, то такая же по величине, но обратная по знаку работа совершается магнитным полем (тангенциальной компонентой силы Лоренца) над движущимися по контуру свободными зарядами, что приводит к возникновению в контуре дополнительной электродвижущей силы – ЭДС индукции ε_i:

dА_ = - ·dФ_м = - ·dt∙ = ε_i·dq, где ε_i = - .

Если полное сопротивление контура равно R, то исходя из закона сохранения энергии, энергия (Е··dt) источника тока за промежуток времени dt будет расходоваться на джоулеву теплоту (²·R·dt) и энергию, равную работе (∙dФ_м) по перемещению проводника в магнитном поле:

Е∙∙dt = (²∙R∙dt) + (∙dФ_м) = >  = .

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) гласит, что ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре численно равна скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром.

Средняя ЭДС индукции за конечное время ∆t равна:

ε_{i ср} = - ,

а прошедший по контуру за это время заряд равен:

q = ∙dt = ∙dt = - ,

где R – сопротивление контура.

Если замкнутый контур содержит N последовательно соединенных витков (катушка или соленоид), то ЭДС индукции равна сумме ЭДС каждого витка:

ε_i = - N = ,

где dψ_м = N·dФ_м – потокосцепление, то есть суммарный магнитный поток сквозь N витков.

Правило Ленца. Знак минус в формуле для ЭДС индукции соответствует правилу Ленца: ЭДС индукции должна иметь такое направление, чтобы магнитное поле текущего в этом направлении индукционного тока создавало магнитный поток противоположного знака по сравнению с тем изменением потока, которое является причиной возникновения ЭДС.

Контур должен быть ориентированным: положительное направление нормали к поверхности при вычислении потока Ф и положительное направление обхода контура для определения знака ЭДС должны быть связаны правилом правого буравчика.

При возрастании магнитного потока > 0, ε_i < 0,  < 0; при уменьшении магнитного потока < 0, ε_i > 0,  > 0.

Правило Ленца тесно связано с законом сохранения энергии.

Из принципа эквивалентности Эйнштейна следует, что ЭДС индукции должна возникать и при помещении неподвижного контура в изменяющееся со временем магнитное поле. Следовательно, в переменном магнитном поле должно возникать индуцированное электрическое поле. Так как работа этого поля при обходе контура должна быть отлична от нуля, то это поле не является электростатическим: его называют вихревым электрическим полем. Силовые линии вихревого электрического поля замкнуты сами на себя и, тем самым, создают в проводнике замкнутые цепи, в которых выделяется джоулева теплота. Вихревые токи (токи Фуко) – индукционные токи, которые возникают в массивных проводниках и приводят к их нагреванию. Для уменьшения вредных потерь энергии в результате нагрева магнитные цепи электрических машин, сердечники трансформаторов изготовляют из отдельных пластин, распологаемых параллельно линиям магнитной индукции.