1.8. Диэлектрики в электростатическом поле

Поляризация диэлектрика. Диэлектриком называют вещество, которое не проводит электрический ток, следовательно, в этом веществе отсутствуют свободные заряды (или их ничтожно мало). Тем не менее, в присутствии диэлектрика происходит ослабление электрического поля. Это свидетельствует о том, что при помещении диэлектрика в электрическое поле в объеме и на поверхности появляются макроскопические заряды. Указанные заряды возникают в результате поляризации диэлектрика – смещении связанных зарядов отдельных молекул или кристаллической решетки друг относительно друга. При поляризации средний дипольный момент молекул становится отличным от нуля, и возникает дипольный момент объема диэлектрика. Вне поля суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю.

Поляризованность. В общем случае любую молекулу можно рассматривать как электрический диполь (рис. 3). Степень поляризации в данной точке диэлектрика характеризуют поляризованностью Р, определенной как суммарный дипольный момент молекул в расчете на единицу объема:

Р = ∑р_i/∆V = n∙<p>,

где n – концентрация молекул, <p> - средний дипольный момент. В СИ единицей измерения поляризованности служит Кл/м².

Внешнее электрическое поле ориентирует диполь вдоль поля. При этом дипольный момент р стремится, чтобы его направление совпадало с направлением вектора напряженности Е внешнего поля. Во внешнем поле на диполь действует вращающая пара сил и момент электрических сил устанавливает дипольный момент по направлению внешнего поля (рис. 9):

М = [L, F] = [p, E].

В ориентированном положении потенциальная энергия диполя W_п минимальна. В общем случае потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна W_п = - (p, Е), где знак «-» означает, что устойчивым равновесием является ориентация дипольного момента вдоль поля.

Механизмы поляризации. Различают три механизма поляризации диэлектриков.

1. Ориентационный механизм поляризации полярных диэлектриков. Молекулы полярного диэлектрика (полярные молекулы – жесткие диполи) обладают постоянным дипольным моментом р₀ в отсутствие внешнего поля (Н₂О, НСl, CO, NH и др.). В результате конкуренции ориентирующего действия внешнего поля и теплового движения возникает средний дипольный момент <p>, который в слабом поле пропорционален Е и убывает с ростом температуры.

2. Электронный (деформационный ) механизм поляризации неполярных диэлектриков. В отсутствие внешнего поля дипольный момент неполярной молекулы (симметричной молекулы) равен нулю (Н₂, О₂, N₂ и т. д.), то есть центр отрицательного заряда (электронного облака) совпадает с центром положительного. При включении внешнего поля центры положительного и отрицательного зарядов смещаются и возникает квазиупругая сила, пропорциональная смещению L, стремящаяся вернуть их в положение равновесия:

F = - β∙L.

В положении равновесия, для которого q∙E = β∙L, возникающий под действием поля индуцированный дипольный момент (упругий диполь) p = q₀∙L оказывается пропорциональным напряженности поля:

р = α∙ε₀∙Е,

где α – поляризуемость молекулы.

3. Ионная поляризация в твердых диэлектриках, обладающих кристаллической решеткой. Под действием поля подрешетка положительных ионов смещается целиком в одну сторону, а подрешетка отрицательных ионов – в другую.

Поле в диэлектрике. Результирующее поле в диэлектрике Е является суперпозицией внешнего электростатического поля Е₀ (или поля, создаваемого сторонними или свободными зарядами q в вакууме) и внутреннего поля Е’ (или поля связанных зарядов q’ в диэлектрике). Напряженность суммарного поля внутри диэлектрика равна Е = Е₀ + Е’. Механизм образования макроскопических связанных зарядов проще всего представить в случае однородной поляризации изотропного диэлектрика, для которого Р = const (рис. 10).

Поляризованность Р в данной точке однородного изотропного диэлектрика возникает под воздействием электростатического поля в диэлектрике и определяется его напряженностью Е. Для не очень сильных полей Р зависит от Е линейно, Р параллельно Е и равно:

Р = ε₀∙æ∙Е,

где ε₀ – электрическая постоянная, æ (капа) – диэлектрическая восприимчивость вещества, зависящая от строения вещества и температуры, величина безразмерная (в системе СИ Р измеряется в Кл/м², Е – в В/м, ε₀ – в Ф/м или в Кл/В∙м). Диэлектрическая восприимчивость æ характеризует диэлектрические свойства вещества, так же как и относительная диэлектрическая проницаемость среды ε, с которой она связана соотношениями:

ε = 1 + æ (в СИ) .

Относительная диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме Е₀ больше, чем в диэлектрике Е:

ε = .

Диэлектрическая проницаемость вакуума равна единице (ε = 1).

В результате поляризации на гранях диэлектрика, площадь которых, предположим, равна ∆S, заряды на концах молекулярных диполей оказываются нескомпенсированными соседними диполями, как это происходит внутри диэлектрика. Это приводит к тому, что на одной его поверхности создаются положительные связанные заряды (+q') с поверхностной плотностью (+σ'), а на другой – отрицательные (-q') с поверхностной плотностью (-σ'). Расстояние между зарядами пусть равно L. Эти электрические заряды называются связанными, так как принадлежат молекулам диэлектрика и не могут быть удалены с его поверхности. Выделенный объем диэлектрика можно рассматривать как макроскопический диполь, образованный зарядами:

(+q') = (+σ')∙∆S и

(-q') = (-σ')∙∆S,

находящимися на расстоянии L, суммарный дипольный момент которого равен:

Р∙∆V = q'∙L =>

Р∙L∙∆S = σ'∙∆S∙L =>

σ = P = ε₀∙æ∙Е.

В общем случае поверхностная плотность связанных зарядов σ' численно равна проекции поляризованности диэлектрика Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:

σ' = P_n = ε₀∙æ∙Е_n.

Электрическое смещение. Расчет электрических полей при наличии в них диэлектрика затруднен, так как в результате поляризации диэлектрика появляется дополнительное поле связанных зарядов. На границах раздела двух сред, например, вакуум – диэлектрик – вакуум, вектор напряженности будет изменяться скачкообразно пропорционально относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика ε, то есть при переходе из вакуума в диэлектрик напряженность поля будет уменьшаться в ε раз, а при переходе из диэлектрика в вакуум – увеличиваться в ε раз. Аналогичным образом будет изменяться и поток вектора напряженности.

Теорема Остроградского – Гаусса относительно вектора Е применима только для электрического поля в вакууме. Скачкообразное изменение вектора электростатического поля на границе раздела двух сред создает трудности при расчете полей, поэтому вводится понятие электрического смещения:

D = ε ε₀ E.

Единица измерения электрического смещения – (Кл / м²).

Электрическое смещение, создаваемое в данной точке поля электрических зарядов, равно геометрической сумме векторов электрического смещения, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности D = ∑D_i.

Поле вектора D графически изображается линиями электрического смещения так же, как поле Е изображается силовыми линиями. Линии электрического смещения – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения D. Линии вектора D в отличие от силовых линий вектора Е всюду непрерывны, что упрощает расчеты полей. При этом, если в какой-либо точке найден вектор D, то всегда можно определить вектор Е = D/(ε·ε₀).

При рассмотрении входящей в теорему Остроградского – Гаусса замкнутой поверхности S, в которой заключен малый объем на границе раздела двух сред вакуум – диэлектрик, напряженность поля определяется как связанными q’, так и сторонними (свободными) зарядами q:

Е∙dS = + ,

где q и q’ - заряды, охваченные замкнутой поверхностью S, dS = n∙dS – вектор, направленный в сторону внешнего пространства по нормали n.

При поляризации диэлектрика в результате смещения друг относительно друга положительных и отрицательных связанных зарядов на расстояние L, через произвольную поверхность ∆S в объеме диэлектрика в направлении нормали к данной поверхности проходит заряд

∆q = n(∆S∙L∙cosφ)q₀,

где n – концентрация молекул, q₀ – величина противоположных зарядов в молекуле, (∆S∙L∙cosφ) – объем тонкого цилиндрического слоя диэлектрика, молекулы которого при поляризации пересекают эту поверхность. Можно упрощенно считать, что все молекулы имеют одинаковый дипольный момент <р> = Р/n = q₀∙L (рис. 11).

Проинтегрировав по любой замкнутой поверхности, найдем полный связанный заряд, вышедший из объема, охваченного замкнутой поверхностью, что означает появление внутри объема связанного заряда со знаком «-» равного:

q’ = - Р∙dS

После подстановки и преобразований получается следующее соотношение:

ε₀∙Е∙dS = q - Р∙dS =>

q = ε₀∙Е∙dS + Р∙dS =>

q = (ε₀∙Е + Р)dS = D∙dS,

где D = ε₀∙Е + Р = ε ε₀ E – вектор электрического смещения.

Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрике (для вектора электрического смещения D) формулируется следующим образом: поток вектора электрического смещения D сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме сторонних (свободных) зарядов q, заключенных внутри этой поверхности:

D∙dS = q .