2.6. Примеры решения задач по теме «Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении и сжатии»

2.6.1. Пример решения задачи №1. Расчет на прочность

и жесткость статически определимого ступенчатого стержня

Для стального ступенчатого стержня ( ), нагруженного сосредоточенными силами F₁=10кН и F₂=60кН, а также распределенной нагрузкой q=30 кН/м, расчетная схема которого задана (рис. 6,а), требуется:

- рассчитать из условия прочности по допускаемым напряжениям необходимые площади поперечных сечений при соблюдении заданного соотношения между площадями на различных участках, приняв допускаемое напряжение [σ]= 160 Мпа, а длину а = 0,5 м;

- построить эпюру нормальных напряжений;

- проверить жесткость стержня, если допускаемое значение перемещения крайнего свободного сечения .

Собственным весом стержня пренебречь.

Рис. 6. Расчетная схема (а), эпюры нормальных сил (б) и напряжений (в)

Решение

1. Определение вида расчета

Приложенные к стержню нагрузки направлены вдоль его оси, следовательно, он работает на растяжение и сжатие. По условию задачи требуется провести проектный расчет, который из условия прочности по допускаемым напряжениям выполняется по соотношению

Поскольку допускаемое напряжение задано, то для определения строим эпюру нормальных сил.

2. Построение эпюры нормальных сил

1) определяем реакцию связи

Отбросим связь, наложенную на стержень в крайнем левом сечении, и заменим её реакцией R, предположив, её направленной справа налево. Реакция R является единственной, поскольку все приложенные к стержню нагрузки направлены вдоль его оси, а собственным весом стержня мы пренебрегаем. В итоге получим, что на стержень действует система сил, для которой можно составить одно независимое уравнение статики. Запишем это уравнение, выбрав направление оси слева направо (как показано на рис. 6,а).

Отсюда находим

Знак «+» у реакции R означает, что выбранное нами направление соответствует истинному;

2) разбиваем стержень на три участка, руководствуясь правилом, приведенным в разделе 2.1, и нумеруем участки, начиная от заделки;

3) в пределах каждого из участков проводим произвольное поперечное сечение, положение которого определяется координатой x_i , т.е. вводим локальную систему координат на каждом из участков. Используя рабочее правило определения нормальной силы N и правило знаков, запишем аналитические выражения на каждом из участков.

I участок

Возьмем для рассмотрения левую отсеченную часть, т.к. к ней приложено меньшее количество нагрузок, а координату будем отсчитывать слева

направо. В результате получим

Как видим, на I участке нормальная сила не зависит от координаты сечения ( ), т.е. постоянна во всех сечениях I участка.

II участок

Выбирая для рассмотрения левую отсеченную часть стержня, координату будем отсчитывать от левого края II участка. В итоге получим

Из полученного выражения следует, что – это линейная функция координаты . Для построения эпюры определим значения в крайних сечениях II участка.

При .

При

III участок

На этом участке целесообразно рассмотреть отсеченную правую часть, поэтому координату будем отсчитывать справа налево. При этом получим

Так же, как и на предыдущем участке, – это линейная функция координаты .

При .

При

Используя полученные данные, строим эпюру нормальной силы N. Для построения эпюры N, проводим нулевую линию, параллельную продольной оси стержня. Перпендикулярно нулевой линии откладываем в выбранном масштабе ординаты, пропорциональные величинам нормальных сил, которые возникают в соответствующих поперечных сечениях участков стержня. При этом положительные значения N откладываем выше, а отрицательные – ниже нулевой линии. Соединяя отложенные ординаты прямыми линиями, получим график изменения N вдоль оси стержня, т.е. эпюру нормальной силы N(x) (рис. 6,б). Полученную эпюру принято штриховать линиями, перпендикулярными оси стержня. Каждый штрих в принятом масштабе представляет собой величину нормальной силы в поперечном сечении стержня, соответствующем данной точке его оси. Поэтому штриховать эпюры следует строго перпендикулярно нулевой линии (не параллельно или наклонно). Кроме того, на эпюре указывают знаки нормальной силы, которые позволяют установить растянутые и сжатые участки стержня, что особенно важно когда материал стержня по-разному сопротивляется растяжению и сжатию ( – различны).

4) используя следствия из дифференциальной зависимости, проверяем правильность построения эпюры N(x).

Анализ полученной эпюры (см. рис. 6,б) показывает, что на участке I, где отсутствует распределенная нагрузка, нормальная сила N постоянна. На участках II и III, нагруженных распределенной нагрузкой, эпюра N линейна, при этом тангенсы углов наклона прямых на этих участках различны как по знаку, так и по величине, поскольку распределенная нагрузка на этих участках имеет разную величину и направление. В местах приложения к стержню сосредоточенных сил (R, F₁ и F₂), на эпюре N имеются «скачки» (скачкообразные изменения ординаты), равные по величине приложенным силам.

Таким образом, полученная эпюра N(x) в полной мере соответствует следствиям из дифференциальной зависимости, а следовательно, построена правильно и может быть использована в дальнейшем расчете.