3.6.2. Пример решения задачи № 2. Расчет двухопорной балки

Для стальной балки, расчетная схема которой приведена на рис. 25, а, требуется:

• подобрать из условия прочности по допускаемым напряжениям поперечное сечение в виде стандартного двутавра;

• для сечения, в котором действует наибольшая поперечная сила, проверить выполнение условия прочности по касательным напряжениям;

• проверить жесткость спроектированной балки, считая допускаемое значение прогиба сечения А равным 1/400 длины пролета, а при недостаточной жесткости скорректировать подбор поперечного сечения;

• определить коэффициент запаса прочности балки из расчета по предельным нагрузкам, приняв _т =240

Материал балки Ст.3, для которого E=2∙10⁵ Мпа, допускаемое напряжение на растяжение = , а допускаемое напряжение при сдвиге [τ]= . Расчетные значения нагрузок: , М=20 кН , . Размер .

а)

б)

в)

Рис. 25. Расчетная схема балки (а) , эпюры поперечной силы (б)

и изгибающего момента (в)

Решение

1. Определение вида расчета

Согласно условию задачи требуется провести проектный расчет балки, а затем выполнить проверочный расчет по касательным напряжениям и расчет на жесткость.

Из условия прочности по нормальным напряжениям проектный расчет выполняется по соотношению

.

Таким образом, для проведения расчета следует знать . Для проверки прочности по касательным напряжениям необходимо знать . Для определения и строим эпюры и .

2. Построение эпюр и

а) Определение реакций опор

Мысленно отбросив опоры, заменим их реакциями , и . Из уравнений статики определим значения реакций:

; ;

.

.

:

.

Проверка: ;

;

Таким образом, реакции найдены верно.

б) Разбиваем балку на участки

Используя правило, изложенное в разделе 2.1, разбиваем балку на три участка и нумеруем их (см. рис. 25,а).

в) Записываем аналитические выражения и по участкам и вычисляем значения и на границах участков.

Участок I:

; .

Из полученных выражений следует, что поперечная сила на первом участке постоянна во всех его сечениях и равна +20 кН, а изгибающий момент - линейная функция координаты . Определяем значения в граничных сечениях I участка:

при ;

при

Участок II: ,

Так же как и на предыдущем участке, поперечная сила - постоянна во всех сечениях второго участка и равна -36.67 кН, а изгибающий момент – линейная функция координаты . В граничных сечениях второго участка получим

при ;

.

Участок III:

На третьем участке выгоднее рассматривать отсеченную левую часть балки, на которую действует меньшее число нагрузок. Поэтому будем отсчитывать от опоры В.

При этом получим

;

Из полученных выражений следует, что – линейная функция координаты , а меняется по параболической зависимости. Определим и в граничных сечениях третьего участка:

при ;

;

при ;

.

Эпюра пересекает нулевую линию (т.к. меняет знак), следовательно, на эпюре будет локальный экстремум. Определим координату сечения, в котором принимает экстремальное значение, приравняв нулю.

, отсюда

Определяем экстремальное значение :

.

Это будет максимум.

г) По полученным данным строим эпюры и , располагая их строго под схемой балки (см. рис. 25,б и рис. 25,в).

д) Используя следствия из дифференциальных зависимостей (3.3), проводим проверку правильности построения эпюр.

Анализируя построенные эпюры с учетом следствий из дифференциальных зависимостей между М_z, Q_y и q (3.3), отмечаем:

• на участках, где отсутствует q (участки I и II) , поперечная сила Q_y постоянна, а изгибающий момент М_z изменяется по линейному закону;

• на участке III , где имеется равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, поперечная сила Q_y меняется по линейному закону, а изгибающий момент М_z – по квадратной параболе с выпуклостью навстречу действия q;

• на эпюре Q_y имеются скачки в сечениях, где приложены сосредоточенная сила F=20 кН и опорные реакции

• на эпюре М_z имеется скачок там, где приложен внешний сосредоточенный момент М=25 .

Все это позволяет сделать вывод, что эпюры построены правильно и могут быть использованы при дальнейшем решении задачи.