3. Расчет площадей поперечных сечений стержня

Поскольку площади поперечных сечений стержня на разных его участках различны, найдем минимально необходимое значение из условия прочности каждого из участков.

1. На первом участке

Отсюда получим .

2. На втором участке

.

Отсюда следует, что .

3. На третьем участке

.

Из полученных значений A выбираем наибольшее, т.е. принимаем

.

В итоге получим

4. Построение эпюры нормальных напряжений

Построим эпюру нормальных напряжений (т.е. график ), которая позволит проверить правильность подбора площадей поперечных сечений стержня.

Нормальные напряжения в сечении стержня определяем по формуле (2.1).

Используя эту формулу, установим закономерности изменения напряжений на каждом из участков , (где i номер участка).

I участок :

II участок

Отсюда следует:

при

при

.

III участок

.

Отсюда получим:

при

при

.

По полученным данным строим эпюру (см. рис. 6, в), порядок построения которой аналогичен построению эпюры нормальных сил N(x).

Анализ построенной эпюры нормальных напряжений показывает, что лишь в одном, наиболее нагруженном сечении стержня напряжения достигают допускаемой величины, а в других поперечных сечениях напряжения меньше допускаемых. Это свидетельствует о правильности подбора площадей поперечных сечений стержня.

5. Проверка выполнения условия жесткости

где – осевое перемещение крайнего правого сечения стержня.

Согласно (2.10)

.

Используя формулы (2.8) или (2.9), определим абсолютные удлинения (укорочения) участков стержня.

I участок:

Поскольку , то используя формулу (2.9) получим

.

II участок:

Согласно (2.8) находим

III участок: тогда

Перемещение крайнего правого сечения стержня:

Проверяем выполнение условия жесткости:

Требуемая жесткость стержня обеспечена. Поэтому в качестве окончательного принимаем значение площади A, установленное из условия прочности.

Примечание. Если же условие жесткости не выполняется и превышает более чем на 5 %, то значение площади A определяют из условия жесткости. Для этого записывают в аналитическом виде и приравнивая к , находят необходимое значение площади A. Это значение будет больше того, что было получено из условия прочности, и его принимают в качестве окончательного.

2.6.2. Пример решения задачи №2.

Расчёт статически неопределимой стержневой системы

Абсолютно жесткий брус (рис. 7), нагруженный сосредоточенной силой , опирается на шарнирно-неподвижную опору и поддерживается стальными шарнирно-закрепленными стержнями круглого поперечного сечения.

Требуется:

• при известном соотношении площадей поперечных сечений стержней определить из условия прочности по допускаемым напряжениям диаметры поперечных сечений стержней, обеспечивающие прочность конструкции, приняв ;

• из условия прочности конструкции по предельным нагрузкам, определить допускаемую нагрузку и сравнить её с величиной заданной нагрузки , принимая коэффициент запаса прочности по пределу текучести , а предел текучести .

Площади поперечных сечений стержней и взять из расчета по допускаемым напряжениям.

Рис. 7. Статически неопределимая стержневая система