2.4. Расчет статически неопределимых стержневых систем

2.4.1. Общие сведения

Конструкции, состоящие из стержней, соединенных шарнирами, называются стержневыми системами. Стержневые системы делятся на статически определимые и статически неопределимые.

Стержни и стержневые системы, в которых внутренние усилия и реакции опор от заданной нагрузки можно определить с помощью лишь одних уравнений равновесия (уравнений статики) и метода сечений, называются статически определимыми. В отличие от них статически неопределимыми называются стержни и стержневые системы, внутренние усилия и реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия и метода сечений.

Разность между количеством неизвестных (внутренних усилий и реакций связей) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для их определения, называется степенью статической неопределимости. Различают системы один, два, …, n раз статически неопределимые.

В стержневых системах есть стержни (связи), которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции и при удалении которых система превращается в механизм. Такие стержни (связи) будем называть необходимыми. Если же при удалении некоторых стержней (связей) геометрическая неизменяемость конструкции не нарушается, то такие стержни (связи) назовем лишними (Заметим, что лишними они являются только с точки зрения геометрической неизменяемости конструкции). В статически определимой системе есть только необходимые стержни (связи), в статически неопределимой – как те, так и другие. При этом число лишних стержней (связей) определяет степень статической неопределимости системы n.

Таким образом, в статически неопределимой системе невозможно найти все неизвестные, пользуясь только уравнениями равновесия. Деформации стержней, образующих статически неопределимую систему, не могут быть независимыми, а должны подчиняться некоторым условиям, вытекающим из особенностей рассматриваемой конструкции. Аналитическая запись этих условий дает дополнительные уравнения (так называемые уравнения совместности деформаций или совместности перемещений), которые вместе с уравнениями статики позволяют определить неизвестные усилия.

Статически неопределимые системы в отличие от статически определимых обладают следующими особенностями:

1) усилия в элементах зависят от их жесткостей, а именно: чем больше жесткость элемента, тем больше усилие на него приходящееся;

2) при неточном изготовлении элементов в процессе сборки системы в ней возникают монтажные (сборочные) усилия;

3) при колебаниях температуры в элементах статически неопределимых систем возникают температурные усилия.

2.4.2. Порядок решения статически неопределимых задач

Таким образом, определение всех неизвестных усилий в статически неопределимых конструкциях (раскрытие статической неопределимости) осуществляют путем совместного решения уравнений, полученных в результате рассмотрения статической, геометрической, физической и математической сторон задачи.

Порядок определения всех неизвестных усилий в статически неопределимых конструкциях (раскрытия статической неопределимости) следующий:

1. Статическая сторона задачи. Анализируя заданную систему, определяют, что является объектом равновесия (это может быть либо какое-то жесткое тело, например балка, либо шарнирный узел, в котором соединены несколько стержней). Объект равновесия освобождают от наложенных связей. При этом стержни рассекают и, применяя формальный подход, нормальные силы направляют таким образом, чтобы все стержни были растянутыми. Классифицируют систему сил, приложенных к объекту равновесия, и составляют независимые уравнения равновесия, содержащие неизвестные усилия. Определяют степень статической неопределимости n.

2. Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливают связи между деформациями и перемещениями отдельных элементов конструкции и записывают уравнения совместности деформаций (уравнения совместности перемещений), число которых равно степени статической неопределимости n системы. При этом если из схемы деформации следует, что стержень удлинился, то изменение его длины берут со знаком «плюс». Если стержень укоротился, то изменение его длины берут со знаком «минус» ( ).

При неточном изготовлении стержней системы можно использовать уравнение совместности деформаций, составленное для точно изготовленной системы, но в этом уравнении необходимо заменить изменение длины неточно изготовленного стержня на ( , если стержень длиннее проектного размера на величину Δ, и на ( , если стержень короче проектного размера на величину Δ.

3. Физическая сторона задачи. На основании развернутого закона Гука (2.8) выражают деформации элементов конструкции через действующие в них неизвестные (пока) усилия.

4. Математическая сторона задачи (синтез). Решая совместно статические, геометрические и физические уравнения, находят неизвестные усилия.