Решение
𝙸. Расчет диаметров поперечных сечений стержней
1. Определение вида расчета
Стержни системы испытывают растяжение или сжатие. Требуется провести проектный расчет, который из условия прочности по допускаемым напряжениям выполняется по соотношению
.
Таким образом, для расчета площадей и необходимо знать нормальные силы в поперечных сечениях стержней.
2. Статическая сторона задачи
Объектом равновесия
является брус
.
На объект равновесия наложены связи в
виде шарнирно-неподвижной опоры
и двух стержней №1 и №2. Освободим объект
равновесия – брус
от
связей. При этом стержни принимаем
растянутыми. В результате получим
следующую систему сил, приложенную к
брусу
:
,
т.е.
.
Рис. 8
Анализируя систему сил, приложенных к объекту равновесия, приходим к выводу, что к брусу приложена плоская система сил. Для этой системы можно составить три независимых уравнения статики:
или после очевидных преобразований:
Получили
систему из трех уравнений с четырьмя
неизвестными:
Таким образом, задача определения усилий
в стержнях системы является статически
неопределимой. Степень статической
неопределимости:
Дальнейшее решение ведем по плану решения статически неопределимых задач.
Рассмотрев статическую сторону задачи, переходим к третьему шагу решения задачи.
3. Геометрическая сторона задачи.
Поскольку
,
то для решения задачи в дополнение к
уравнениям статики (2.12)
(2.14) необходимо составить одно уравнение
совместности деформаций. Для этого,
рассматривая систему в исходном и
деформированном состоянии (рис. 9),
определим деформации стержней.
Поскольку упругие перемещения любых точек конструкции весьма малы по сравнению с размерами конструкции, то на схеме покажем их в очень преувеличенном виде.
Рис. 9
Под действием
внешней силы
абсолютно жесткий брус повернется
относительно опоры
.
Ввиду малости деформации будем считать,
что узлы
и
перемещаются в положение
и
по нормали к исходному положению бруса
.
(т.е.
⏊
;
⏊
).
Отрезок
характеризует удлинение стержня №1,
т.е.
.
Проектируя новое положение узла
(т.е. точка
)
на старое положение стержня №2 определим
отрезок
,
который является абсолютным удлинением
стержня №2. Таким образом,
.
Заметим, что
при составлении схемы деформаций системы
необходимо следить, чтобы знаки удлинения
стержней соответствовали принятым
направлениям усилий
.
Мы приняли усилия
растягивающими, что соответствует схеме
деформаций, где стержни №1 и №2 изображены
растянутыми. Поэтому
имеют знаки
.
Для отыскания
связи между удлинениями стержней системы
рассмотрим два подобных треугольника
Из подобия этих треугольников следует:
Учитывая, что
а из
следует, что
,
представим уравнение (4) в виде:
(2.16)
4. Физическая сторона задачи
Выразим удлинения стержней через неизвестные усилия , используя развернутый закон Гука:
(2.17)
Учитывая, что
а
,
представим равенства (2.17) в виде:
(2.18)
5. Математическая сторона задачи
Совместным
решением уравнений (2.14), (2.16) и (2.18)
определим нормальные силы
Подставляя (2.18) в уравнение (2.16),
получим
Из уравнения
(2.14) с учетом (
)
находим:
Из (
)
следует, что
6. Определим необходимые диаметры поперечных сечений стержней
Из условия прочности первого стержня получим
.
Из условия прочности второго стержня следует:
.
Отсюда следует,
что
.
Из двух значений
выбираем большее, т.е. окончательно
принимаем
,
тогда
.
Зная площади сечений, определим диаметры стержней:
,
.
Принимаем
с учетом требований ГОСТ 2590-88 (Прил. 2)
𝙸𝙸. Определение допускаемой нагрузки
В методе расчета по предельным нагрузкам принимают
где
– предельная нагрузка, при которой
конструкция становится геометрически
изменяемой, т.е. превращается в механизм.
При нагружении конструкции силой F в поперечных сечениях стержней возникают следующие напряжения:
Из полученных выражений следует, что напряжения в стержнях пропорциональны нагрузке F.
При
достижении нагрузкой F
значения Fт
напряжения в наиболее нагруженном
стержне 1 достигнут предела текучести
,
а нормальная сила в поперечных
сечениях этого стержня достигнет
предельного значения
.
Возникновение пластического течения в стержне 1 еще не означает наступление предельного состояния, так как стержень 2 деформируется упруго и конструкция остается геометрически неизменяемой. При дальнейшем возрастании нагрузки F, напряжения в стержне 1 остается равным и усилие в поперечных сечениях этого стержня остается неизменным и равным , в то же время напряжения в стержне 2 возрастают.
При
достижении напряжением
значения
стержень 2 также начинает деформироваться
пластически, и конструкция становится
геометрически изменяемой. Это состояние
системы называется предельным,
соответствующим исчерпанию её несущей
способности. При этом усилие в стержне
2 будет равным
,
а нагрузка
.
Для определения подставим в уравнение (2.14) предельные значения нормальных сил:
Тогда
допускаемая нагрузка
.
Сопоставление
показывает, что
почти в 1,5 раза больше заданной нагрузки
F.