3.4.Деформации балок при плоском изгибе
3.4.1. Перемещения при изгибе. Условие жесткости
При плоском изгибе ось балки искривляется в плоскости действия нагрузок. Изогнутую ось балки называют упругой линией балки.
В
результате деформации балки произвольное
сечение К
(рис. 18) получает три перемещения:
вертикальное
‒V,
горизонтальное
–
и угловое‒
.
В реальных конструкциях горизонтальное перемещение u<V и им пренебрегают. Поэтому деформацию балки при изгибе характеризуют двумя
перемещениями: прогибом сечения –V(x) и углом поворота сечения‒θ(x).
Прогиб V(x) – смещение центра тяжести сечения в направлении, перпендикулярном оси балки.
Угол поворота сечения θ(x)‒угол, на который сечение поворачивается
Рис. 18
относительно своего первоначального положения.
Прогибы считаются положительными, если они происходят в положительном направлении оси Оy. Знак угла поворота зависит от того, где находится начало отсчета х. Если начало отсчета х находится слева, как показано на рис. 18, то поворот сечения по часовой стрелке считается положительным.
Прогибы и углы поворота сечений связаны следующей дифференциальной зависимостью:
θ(x)=dV(x)/dx. (3.18)
Наибольший прогиб называют стрелой прогиба. Уравнение V = V(x), выражающее зависимость между прогибом V и координатой сечения x, называется уравнением упругой линии балки.
В некоторых случаях работоспособность изгибаемых элементов конструкций определяется не только их прочностью, но и жесткостью. Для таких элементов конструкций, кроме расчета на прочность, обязательно проводится расчет на жесткость. Задача этого расчет – обеспечить конструкции необходимую жесткость, т. е. ограничить упругие перемещения элементов конструкций, обусловленные их деформацией, определенными пределами, зависящими от назначения и условий работы конструкции.
Для балок условие жесткости, как правило, ограничивает прогиб и записывается в виде
| V | ≤ [ V ], ( 3.19)
где [
V ]
– допускаемый прогиб, который задается
в долях от длины пролета балки l
и в зависимости
от типа проектируемой конструкции может
находиться в пределах от
до
.
Из условия жесткости (3.19) выполняют такие же виды расчетов, что и из условия прочности (3.6).
3.4.2. Метод непосредственного интегрирования
Для аналитического решения задачи определения перемещений сечений балки V(x) , θ(x) используют приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки
.
(3.20)
Здесь EIz
– жесткость балки при изгибе, то есть
произведение модуля упругости на момент
инерции сечения. Предполагается, что
эта величина не меняется по длине балки;
–
изгибающий момент в произвольном сечении
балки.
Уравнение (3.4) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, путем непосредственного интегрирования которого можно получить выражения для вычисления прогибов V(x) и углов поворота θ(x) поперечных сечений балки.
Последовательно интегрируя уравнение (3.20), получают сначала выражение для углов поворота:
а затем для прогибов
В формулах (3.21), (3.22) С и D – произвольные постоянные, которые находятся из граничных условий, зависящих от условий закрепления балки. Для каждой статически определимой балки можно записать два граничных условия для определения двух произвольных постоянных.
На участках с различными аналитическими выражениями
дифференциальные уравнения упругой линии балки различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2n постоянных интегрирования. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляют условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.