3.4.3. Метод начальных параметров

Метод непосредственного интегрирования позволяет решать задачи определения перемещений при любом законе изменения жесткости сечений балки. В случае, когда балка имеет постоянную жесткость (EI_z=const) и число участков большее двух, его применение становится нерациональным, так как для определения постоянных интегрирования зачастую требуется составлять и решать достаточно громоздкую систему линейных алгебраических уравнений. В этих случаях предпочтение отдают другим методам, и в частности методу начальных параметров. В этом методе для определения прогибов используют универсальное уравнение упругой линии балки, которое получают с использованием следующих правил составления и интегрирования дифференциальных уравнений упругой линии на участках балки:

1. Начало координат для всех участков должно быть единым и находиться на конце балки (левом или правом) (рис.  19).

2. При составлении выражения для изгибающего момента на каждом участке рассматриваем нагрузки, приложенные к балке с той стороны от сечения, где находится начало координат.

3. Если на балку действует распределенная нагрузка, которая обрывается в каком-то сечении балки, то ее следует продолжить до конца балки и приложить на участке, где добавлена нагрузка ‒ распределенную нагрузку той же интенсивности, но противоположного знака (рис. 19). (Конец балки всегда противоположен выбранному началу координат.)

4. Если к балке приложена сосредоточенная пара сил с моментом М, то в выражение для изгибающего момента она входит с множителем , где а – расстояние от начала координат до места приложения пары сил (рис. 19).

5. Интегрирование ведется без раскрытия скобок, то есть

.

Опуская доказательство, отметим, что при соблюдении вышеперечисленных правил постоянные интегрирования на участках соответственно равны друг другу и число их сокращается до двух: θ₀ и V₀.

При этом универсальное уравнение упругой линии балки для направлений нагрузок, показанных на рис. 19, записывается в следующем виде:

здесь V₀ и θ₀ это прогиб и угол поворота сечения, расположенного в начале координат, которые называют начальными параметрами и определяют из условий опирания балки (рис. 20), x – текущая абсцисса рассматриваемого

сечения, a ,b, c ,d – расстояния от начала координат до точки приложения сосредоточенного момента, сосредоточенной силы и начала действия распределенной нагрузки.

Рис. 19 Рис. 20

При необходимости определения углов поворота сечений методом начальных параметров уравнение (3.23) нужно продифференцировать, тогда получим

Следует отметить, что знаки слагаемых в уравнениях (3.23) и (2.24) зависят от того, положительный или отрицательный изгибающий момент создает данная нагрузка в сечении балки с абсциссой Значок «отс» над символом суммы обозначает, что суммируются только те величины, которые относятся к части балки, расположенной между началом координат и сечением, где ищутся перемещения.