3.6.1. Пример решения задачи № 1. Расчет консольной балки

Для деревянной консольной балки, расчетная схема которой дана на рис. 22, а, требуется:

• подобрать из условия прочности по допускаемым напряжениям размеры и в прямоугольного поперечного сечения (рис. 18,б), приняв в,

а =1 м, допускаемое напряжение для дерева на растяжение = 10 МПа, а допускаемое напряжение при сдвиге [τ]= 5 МПа.

• проверить жесткость спроектированной балки, считая допускаемое значение прогиба сечения А равным 1/300 её длины, а E=1∙10⁴ МПа.

Расчетные значения нагрузок: , М=25 кН , .

Решение

1. Определение вида расчета

По условию задачи требуется подобрать размеры поперечного сечения балки, т.е. требуется выполнить проектный расчет. Из условия прочности по нормальным напряжениям проектный расчет выполняется по соотношению

.

Поскольку значение допускаемого напряжения задано, то для выполнения расчета следует знать . Для проверки прочности по касательным напряжениям необходимо знать . Для определения и строим эпюры и .

Рис. 22. Расчетная схема балки (а), сечение балки (б),

эпюры поперечных сил (в) и изгибающих моментов (г)

2. Построение эпюр и

а) Определяем реакции опор

Обычно построение эпюр и начинают с определения реакций опор. В данной задаче балка консольная, поэтому нет необходимости определять реакции опор, так как эпюры и можно построить, двигаясь от свободного конца к заделке и рассматривая отсеченную правую часть, на которую не наложены связи.

б) Разбиваем балку на участки

Используя правило, изложенное в разделе 2.1, разбиваем балку на три участка.

в) Записываем аналитические выражения и по участкам

Рассекая балку на каждом из участков произвольным сечением, координаты которых обозначены и рассматривая каждый раз отсеченную правую часть балки, записываем выражения и по участкам

Участок I:

; .

Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что поперечная сила изменяется по линейной зависимости, а изгибающий момент – квадратичная функция координаты . Определим значения и в граничных сечениях I участка:

при ;

;

при ;

.

Так как поперечная сила на первом участке, меняя знак в одном из сечений (обозначим его координату ) , обращается в нуль (см. рис. 22,в), то в соответствии со следствием 3 из дифференциальных зависимостей (1.3) изгибающий момент в этом сечении будет иметь локальный экстремум. Приравнивая выражение нулю, определим координату этого сечения:

, отсюда

.

Подставляя значение в выражение , находим экстремальное значение на первом участке. Это будет локальный максимум

Переходим к рассмотрению участка II.

Участок II:

Рассматривая отсеченную правую часть, получим

Таким образом, поперечная сила во всех сечениях второго участка постоянна и равна + , а изгибающий момент – линейная функция координаты . Для построения эпюры на втором участке определим значения в граничных сечениях этого участка.

При ;

при

.

Участок III:

Рассматривая по-прежнему отсеченную правую часть, получим:

;

Как и на участке II, поперечная сила на участке III постоянна во всех его поперечных сечениях (т.к. не зависит от координаты ), а изгибающий момент – линейная функция координаты . Для построения эпюры на участке III определим значения изгибающего момента в граничных сечениях этого участка.

При

;

.

г) Строим эпюры и , располагая их строго под схемой балки (рис. 22, в, г).

Для построения эпюры проводим нулевую линию эпюры параллельно оси балки. Положительные значения откладываем выше нулевой линии, а отрицательные – ниже (рис. 22, в).

Для построения эпюры проводим нулевую линию параллельно оси балки. Положительные значения откладываем выше нулевой линии, а отрицательные – ниже (рис. 22, г).

д) Проводим проверку правильности построения эпюр и

При анализе правильности построения эпюр с учетом следствий из дифференциальных зависимостей между М_z, Q_y и q (3.3) отмечаем:

– на участках, где отсутствует q (участки II и III), поперечная сила Q_y– постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону;

– на участке, где имеется равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, поперечная сила Q_y изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, с выпуклостью направленной навстречу действия q;

– на эпюре Q_y имеются скачки в сечениях, где приложены сосредоточенная сила F=20 кН и опорная реакция заделки;

– на эпюре М_z имеются скачки там, где приложены внешний сосредоточенный момент и реактивный момент заделки.

Все это позволяет сделать вывод, что эпюры построены правильно и могут быть использованы при дальнейшем решении задачи.

3. Подбор размеров поперечного сечения

Из эпюры следует, что , следовательно,

.

Осевой момент сопротивления для прямоугольного сечения при заданном соотношении сторон ( в) определяется по формуле

.

Приравнивая найдем размер в:

; в .

Округляя в большую сторону, примем

в , .

Проверим прочность подобранного сечения по нормальным напряжениям:

.

.

Прочность по нормальным напряжениям обеспечена. Недонапряжение в 1% объясняется округлением размера сечения в в большую сторону.

4. Проверка прочности по касательным напряжениям

Поскольку балка изготовлена из дерева, то проверка прочности по касательным напряжениям является обязательной.

Для проверки прочности по касательным напряжениям используем условие (3.13):

.

Из эпюры поперечных сил (см.рис. 22, в) следует, что

.

Для прямоугольного сечения с учетом соотношения в получим в.

Наибольшие касательные напряжения для прямоугольного сечения возникают в точках, лежащих на главной и центральной оси , так как для половины сечения максимален, а в(y) = в = Const (рис. 23).

Рис. 23. Схема сечения балки

. ; ;

Таким образом, , а максимальные касательные напряжения

.

Приходим к выводу, что прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом.

Окончательно принимаем следующие размеры поперечного сечения:

в ; h= 46 см.

5. Проверка выполнения условия жесткости

Согласно условию задачи, для данной балки условие жесткости имеет вид:

Для определения воспользуемся методом начальных параметров

1. Выбираем систему координат. Начало координат помещаем в заделку, ось x направляем слева направо, ось y - вниз (рис. 24).

Рис. 24

Отбрасывая заделку, заменим ее реакциями и реактивным моментом уравнений статики определим реакции связей:

. .

Проверим правильность определения реакций:

Следовательно, реакции найдены верно.

2. Составление универсального уравнения упругой линии балки. Запишем выражение изгибающего момента для произвольного сечения участка балки, наиболее удаленного от начала координат:

Тогда универсальное уравнение упругой линии балки будет иметь вид

3. Определение начальных параметров. Для определения начальных параметров воспользуемся граничными условиями в заделке, где прогиб и угол поворота равны нулю, т.е. Таким образом, универсальное уравнение упругой линии балки приводится к виду

.

4. Вычисление прогиба сечения А. Для этого сечения x =4,5 a =4,5 м.

Подставляя в уравнение упругой линии получим:

Для подобранного прямоугольного поперечного сечения

Тогда прогиб сечения А

Знак «+» говорит о том, что сечение А перемещается по направлению оси y, т.е. вниз.

5) Проверка выполнения условия жесткости. По условию где l – длина балки. Так как l = 4,5 a = 4,5 м, то

Сравнение показывает, что V_A< следовательно, условие жесткости выполняется, что позволяет окончательно принять размеры сечения, полученные из условия прочности, т.е. принимаем