2.4.3. Оценка прочности статически неопределимых систем

После определения внутренних усилий – продольных сил в стержнях статически неопределимой системы встает задача обеспечения ее прочности.

Расчет статически неопределимых систем производится либо по упругой стадии (метод расчета по допускаемым напряжениям), либо с учетом пластических деформаций (метод расчета по предельным нагрузкам).

Расчет по допускаемым напряжениям. При расчете по допускаемым напряжениям считается, что предельное состояние конструкции наступает тогда, когда один, наиболее напряженный, стержень переходит в предельное состояние (разрушится или потечет), т.е. несущая способность конструкции отождествляется с несущей способностью наиболее нагруженного её элемента. Поэтому после определения усилий находят напряжения в стержнях и выбирают стержень, в котором действует максимальное напряжение. Из условия прочности этого наиболее напряженного стержня либо вычисляют допускаемую нагрузку, либо подбирают сечения стержней.

Следует отметить, что в большинстве статически неопределимых конструкций в результате расчета по этому методу только в одном стержне напряжения будут равны допускаемым, остальные же стержни будут недогружены. Достичь равенства напряжений во всех элементах конструкции и, следовательно, добиться их равнопрочности в общем случае невозможно.

Расчет по предельным нагрузкам. Метод расчета по предельным нагрузкам исходит из более широкого использования экспериментальных данных, анализа пластических свойств материалов и их учета. Поэтому расчет по предельным нагрузкам применим лишь для конструкций, выполненных из пластичных материалов, и только при действии статических нагрузок.

В этом методе путем расчета определяют не напряжения, а находят предельную нагрузку F _пред, при достижении которой конструкция становится непригодной к эксплуатации. За допускаемую нагрузку [F] принимается доля от предельной, т.е. [F] = F _пред / n, где n — коэффициент запаса прочности, а условие прочности в данном случае принимает вид F ≤ [F].

При определении предельной нагрузки действительную диаграмму растяжения материала заменяют идеализированной диаграммой Прандтля (рис. 3), в которой площадка текучести принимается неограниченной. Это означат, что напряжения в таком материале не могут превышать предела текучести σ _т, а его пластичность - неограничена.

σ

σ _т

ε

Рис. 3. Диаграмма Прандтля

Благодаря наличию лишних стержней в статически неопределимой системе, наступление состояния текучести в одном (наиболее напряженном) стержне еще не приводит к нарушению геометрической неизменяемости всей конструкции. Остальные стержни, оставаясь упругими, препятствуют пластическим деформациям этого стержня. Конструкция продолжает выполнять свое назначение, перейдя из упругой стадии работы в упруго-пластическую. При увеличении нагрузки в пластическую стадию работы вовлекаются все новые стержни. И только тогда, когда в системе потекут все лишние стержни и хотя бы один необходимый, конструкция превращается в механизм и не может выполнять свои функции. Это состояние и считается предельным. Таким образом, расчет по предельным нагрузкам сводится к следующему:

1) определяют, сколько стержней должно потечь, чтобы конструкция превратилась в механизм. Дальнейший расчет возможен по двум вариантам:

• если в предельном состоянии текут все стержни системы, то, составляя уравнения равновесия конструкции в предельном состоянии, находим из него значение предельной нагрузки ;

• если в предельном состоянии течет только часть стержней, то, не определяя порядка перехода стержней в пластическое состояние, рассматриваем все кинематически возможные варианты предельного состояния конструкции. Находим из уравнений равновесия предельную нагрузку для каждого варианта. Выбираем из всех вариантов минимальное значение предельной нагрузки ;

2) из условия прочности конструкции по предельным нагрузкам либо вычисляют допускаемую нагрузку, либо подбирают сечения стержней.

Отметим, что для статически определимых стержневых систем расчет по предельным нагрузкам приводит к тем же результатам, что и расчет по допускаемым напряжениям.

Совсем другие результаты мы получим, применяя метод расчета по предельным нагрузкам к статически неопределимым системам, стержни которых изготовлены из материала, обладающего способностью к большим пластическим деформациям, например из малоуглеродистой стали. Для таких систем расчет по предельным нагрузкам позволяет выявить дополнительные ресурсы прочности и спроектировать более экономичную конструкцию, чем расчет по допускаемым напряжениям. Поэтому при сравнении результатов расчета по этим двум методам площади сечений стержней, найденные из расчета по предельным нагрузкам, всегда меньше площадей сечений, полученных расчетом по допускаемым напряжениям.