Интегральное исчисление. практикум. Пантелеев И.Н

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

x + 2sin 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2422 23 24 > Следующая >>>

21. ò

22. ò

2sin x - 3cos x +1

sin 3 x

23. ò

24. ò

4sin x + 3cos x +1

1 + 3sin 2 x

25. ò

26. òtg 4 xdx

sin x - 3cos x

27. òtg 5 xdx

28. òsin 4 2xdx

29. ò

x -1 +1

30. ò

x +1

3 x -1

Задача 11. Вычислите определенные интегралы.

sin 2 xdx

òp

2. ò0

3cos2 x - 5sin 2 x

1 - 2cos x + 3sin x

3. ò0

4. ò0

sin x

3cos2 x - 5sin 2 x

(1 + sin x)2

sin x

cos xdx

+ cos x + sin x

p 1

+ sin x - cos x

òo

pò

4 + 7 cos x

sin 4 2x

arctg 2

sin x

9. ò

10.

2cos

x + 3

2 + sin x

211

2sin 2 xdx

11.ò0 (1 + tg 2 x )sin 2x

4dx

13.ò

04 + 5sin 2x

tg 4 x

15. ò

cos4 x

2arctg 2

17.

sin

x(1

- cos x)

2arctg 2

19.

sin

x(1

+ cos x)

12dx

21.ò0 cos4 3x

4dx

23.ò

02 + 3cos2 x

0dx

25.òp cos x(1 + cos x)

2cos x

27.ò0 (1 + cos x + sin x)2 dx

12. ò (1 + sin x + cos x)2

arctg 2

(3tgx -1)dx

14. ò

4cos

x + sin

1 + cos x

16. ò

+ cos x + sin x

2 + sin x

18. ò

2 - cos x

3dx

20.ò

0sin 2 x + 9 cos2 x

4dx

22.ò0 1 - sin 4 x

2cos xdx

24.ò0 (1 + cos x + sin x)2


arctg 2							dx
26. ò							dx
26. ò				sin	2	2x(2 + cos 2x)
	p			sin		2x(2 + cos 2x)
4
	p
		2		sin x
28. ò				sin x				dx
28. ò			5					dx
0			5	+ 3sin x
0

0sin xdx

30.òp (1 + cos x - sin x)2

212

Задача 12. Вычислите определенные интегралы.

1. òx5 x2 + 4dx

2	x2 - 3
3. ò	x4	dx
3

2dx

5.ò0 (5 - x2 )3

	8	x		2	+1dx
7.	ò	x			+1dx
	3				x
	3
4		x	2		+ 4dx
9. ò		x			+ 4dx
2					x
2
	9					dx
11. ò						dx
11. ò		(81 + x				2	)	81 + x	2
	0	(81 + x					)	81 + x
	4
13. ò		16 - x2 dx
	0
	3				dx
15.	ò				dx			3
	0			(1 + x2 )

7dx

17.ò2 x 2 + x2

2x4dx

19.ò

0 (8 - x2 )3

2. òx4 1 - x2 dx

	0
	3		dx
4.	ò		dx
4.	ò	(9			3
	0	(9	+ x2 ) 2
	5		1
6.	ò		1			dx
6.	ò		x	2	-1	dx
	2 x		x		-1

3dx

8.ò0 (4 - x2 )3

2x2dx

10.ò

0 16 - x2

12. òx2 1 - x2 dx

	4	3	dx
14.	ò		dx
14.	ò				3
	0		(64 - x2 )
	2	2	x2dx
16.	ò		x2dx
16.	ò		(16 - x	2	) 16	- x	2
	0		(16 - x		) 16	- x

18. 2ò3 4 + x2 dx x3

2dx

20.ò0 (4 - x2 ) 4 - x2

213

		1
	2							dx				3				dx
21.	ò							dx			22.	ò				dx
21.	ò			(1	- x		2	)	1 - x	2	22.	ò	x		2	4 - x			2
	0			(1	- x			)	1 - x			1	x			4 - x
	2					1						4
23.	ò					1			dx		24.	òx		2		16 - x				2	dx
23.	ò				3	x		2	dx		24.	òx				16 - x					dx
			2 x			x			-1		-4
25.	2					- 3dx					2	3				4 + x2			dx
25.	ò			(1	- x		2	)	1 - x	2	26.	ò				x	4		dx
	0			(1	- x			)	1 - x			2				x
		3										2
	2											2				x		4
27.	òx2					9 - x2 dx					28.	ò				x			3
	0											0				(1 - x2 )
	1										1,5
29.	òx4					4 - x2 dx					30.	ò		9 - x2 dx
	0											0

Задача 13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в декартовых или полярных координатах .

1.	y = 2x - x2 , y = -2x2 + 4x									2.	p = 4 cos 2j, p = 2,j ³ 2
3.	y = sin 2 x, y = 0, x =						p			4.	p2 = 3cos3j
3.	y = sin 2 x, y = 0, x =									4.	p2 = 3cos3j
						2
5.	y = e1- x , y = 0, x = 0, x = 1									6.	p = 2sin 2 2j
7.	y = x2 , x = y2									8.	p = sin j - cosj
9.	y = sin 2 x × cos x, y = 0, x =							p		10.	p = 4sin	3j	, p = 2,j ³ 2
9.	y = sin 2 x × cos x, y = 0, x =									10.	p = 4sin		, p = 2,j ³ 2
						2					2
11.		y = x2	4 - x2 , y = 0, x =1							12.	p = 2 cosj, p = cosj
13.		y = ex		-1, y = 0, x = ln 5						14.	p = 2 - cosj
15.		y =	1	, y = 0, x = e, x = e4						16.	p = 2sin 3j
		x	ln x
					2						æ				p	ö
17.		y = ln x, y = ln				x			18.	p = sin j, p = cosj,j Îç				0;		÷
17.		y = ln x, y = ln				x			18.	p = sin j, p = cosj,j Îç				0;	2	÷
											è				2	ø
19.		y = ex , y = e- x , x =1								20.	p = 3 - sin j

214

y = 2x - x

+ 3, y

= x

- 4x + 3

21.

22.

= 3cosçj -

23.

y = x2tgx, y = 0, x =

24.

p =1 + sin 2j

25.

y = 2x

-1, y =

× x(4 - x)

26.

p = 3 - sin j

p ö

27.

y = sin

, y = cos

, x

= 0

28.

p = 4 cos

2j -

29.

y = x2 , x + y = 2, x = 0

30.

p = 3sin 4j

Задача 14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

ìx = cost;

1.í

îy = 3 + sin t.

ìx = 6cost;
2. í	x = 3 3 при x ³ 3 3 .
îy =	3 sin t,

3.	ìx = 2(t - sin t );						y ³1,0 £ x £ 4p .
3.	í				y =1 при		y ³1,0 £ x £ 4p .
	îy = 2(1 - cost ),
	ì				3
4.	ïx = 2 +16 cos t;
4.	í		3		x = 4 при x ³ 4 .
	ï		3
	ï
	îy = 2sin t,
	ì				3
5.	ïx = 2	2 cos t;
5.	í				y = 2 при y ³ 2 .
	ïy = 4	2sin 3 t,
	î
6.	ìx = 3(t - sin t );
6.	í	- cost ),
	îy = 3(1	- cost ),
7.	ìx = 6cost;				y = 3 при	y	£ 3 .
7.	í				y = 3 при	y	£ 3 .
	îy = 2sin t,
	ì			2	t;
8.	ïx =16 cos				t;
8.	í	3
	ï	3	t.
	ï
	îy = sin

215

ìx = 2(t - sin t );

9. í ( )

îy = 2 1 - cost ,

	ì		3	t ;
10.	ïx = 8	2 cos
	í	3
	ï
		2 sin t
	îy =
11.	ìx = 2cost;
	í	+ 6sin t,
	îy = 3

ìïx = 2 2 cost;

12. í

ïy = 2 2 sin t,

ìx = 6(t - sin t );

13.í

îy = 6(t - cost),

y = 3 при y £ 3,0 £ x £ 4p .

x = 4 при x ³ 4 .

y = 6 при y ³ 6 .

y = 3 при y ³ 3 .

y = 0 при 0 £ x £ 12p .

	ì		3	t;
14.	ïx = 8cos			t;			3 при	x	³ 3	3 .
14.	í		3		x = 3		3 при	x	³ 3	3 .
	ï		3	t,
	ï
	îy = 4sin
15.	ìx = 6cost;					y = 5	3 при	y	³ 5	3 .
15.	í					y = 5	3 при	y	³ 5	3 .
	îy =10sin t,
16.	ìx = t;				ìx = t;
16.	í				í	= 7 - t 2.
	îy = t 2 + 4;				îy	= 7 - t 2.
	ì			3	t;
17.	ïx =16cos				t;	x = 2 при x		³ 2 .
17.	í		3			x = 2 при x		³ 2 .
	ï		3	t,
	ï
	îy = 2sin
18.	ìx = 3cost;				x	= 3	при x ³		3 .
18.	í				x	= 3	при x ³		3 .
	îy = 2sin t,					2			2
	ì		3	t;
19.	ïx = 8cos			t;		= 1 при x ³ 1 .
19.	í		3		x	= 1 при x ³ 1 .
	ï		3	t,
	ï
	îy = 6sin
20.	ìx = 4(t - sin t);					y = 4 при		y	³ 4,0 £ x £ 8p .
20.	í					y = 4 при		y	³ 4,0 £ x £ 8p .
	îy = 4(1	- cost),

216

21.	ìx = 4 cost;							y = 3 при y ³ 3 .
21.	í							y = 3 при y ³ 3 .
	îy = 9sin t,
	ì			3	t;
22.	ïx = 5cos				t;
22.	í		3
	ï		3		t.
	ï
	îy = 5sin
23.	ìx = 3cost;						y = 4		3 при		y ³ 4 3 .
23.	í						y = 4		3 при		y ³ 4 3 .
	îy = 8sin t,
	ì		2 cost;
24.	ïx = 2		2 cost;
24.	í
	ï		2 sin t,
	îy = 3		2 sin t,
25.	ìx = 2 cost;							y = 3 при		y	³ 3 .
25.	í							y = 3 при		y	³ 3 .
	îy = 6sin t,
26.	ìx = 3cost;						y =1 при			y ³1.
26.	í						y =1 при			y ³1.
	îy = 2sin t,
27.	ìx = t;		ìx = t;
27.	í	2 ,	í			= 3 - t3.
	îy = t	2 ,	îy			= 3 - t3.
28.	ìx = 2 cost;						x = 1 при x ³ 1 .
28.	í						x = 1 при x ³ 1 .
	îy = 6sin t,
	ì	2 cos				3	t;
29.	ïx =	2 cos					t;		=1 при y ³1.
29.	í						3	y	=1 при y ³1.
	ï						3
	ï		2 sin t,
	îy = 2		2 sin t,
30.	ìx = 2(t - sin t);
30.	í							y =1 при y ³1,0 £ x £ 4p

îy = 2(1- cos t),

Задача 15. Вычислите длину дуги кривой.

1.y2 = 4x от ее вершины до точки M (1;2).

2.y = 2 x при 0 £ x £ 1 .

	ìx = 2(t sin t + cost);	при 0 £ t £	p
3.	í			.
			2
	îy = 2(sin t - t cost),

217

4.	p = 1 + sin j при					p	£ j £	p	.
								2
					3
	3
5.	x =	2	y		при 0 £ y £ 3 .
				2

	3

6.y = 4 - x2 между точками ее пересечения с осью Оx.

7.y = ln(x3 -1) при 2 £ x £ 3 .

8. y = ex при 1 ln £ x £ 1 ln 8 .

9.p = 3(1 - sin j) при 0 £ j £ p .

	y =	2 +			ex		+ e-x
10.										при 0 £ x £ 2 .
10.								2		при 0 £ x £ 2 .
								2																		8
11.	y =	1 - x2 + arccos x при 0 £ x £																								8	.
11.	y =	1 - x2 + arccos x при 0 £ x £																									.
															9
12.	y = ex + 3 при ln											8 £ x £ ln 15 .
	ì		t	cost;													p
	ïx = e			cost;								£ t					p
13.	í								при 0				£									.
13.	í		t						при 0				£		2							.
	ï		t
	ï
	îy = e sin t
14. y = ln sin x при										p	£ x £			p						.
14. y = ln sin x при											£ x £									.
								6							2										15
15.	y = arcsin x - 1 - x2												при 0 £ x £												15			.
15.	y = arcsin x - 1 - x2												при 0 £ x £															.
															16
16.	p = 2sin 3						j		при 0 £ j £										p					.
16.	p = 2sin 3								при 0 £ j £															.
							3								2
	ì						3	t;										p
	ïx = 3cos							t;										p
17.	í					3			при 0 £ t				£										.
17.	í								при 0 £ t				£										.
	ï							t							2
	ï														2
	îy = 3sin
18.	y = ln cos x при 0 £ x £														p						.
18.	y = ln cos x при 0 £ x £																				.
															2
19.	p =		3ej				при 0 £ j £						p			.
19.	p =		3ej				при 0 £ j £									.
													6

218

20. y = 1 x2 - 1 ln x при 1 £ x £ 2 .
4	2

	ì	2t	sin t;				p
	ïx = e		sin t;	£ t £			p
21.	í		при 0					.
21.	í	2t	при 0				4	.
	ï	2t	cost
	ï
	îy = e
22.	p = 3(1 - cosj) при				2p	£ j £ 2p .
22.	p = 3(1 - cosj) при					£ j £ 2p .
				3

23.y = e2 x при 0 £ x £ 1 .

24.y = ln x при 3 £ x £ 8 .

25.	y = 3 - ln sin x при					p		£ x £				p	.
25.	y = 3 - ln sin x при					3		£ x £					.
						3				2
	ì		3	t;	p					p
	ïx = 6cos			t;	p		£ t		£	p
26.	í			при							.
26.	í	3		при	4					2	.
	ï	3		t
	ï
	îy = 6sin

27.y2 = (x -1)3 от точки M (1;0) до точки N (2;-1).

28.y = ex при 0 £ x £ 1 .

29. p = 6cos3	j	при 0 £ j £	p	.

3		2

	ì		2	t;		p
	ïx = 2cos			t;	£ t £	p
30.	í			при 0			.
30.	í	2		при 0		4	.
	ï	2		t
	ï
	îy = 2sin

Задача 16. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси координат фигуры, ограниченной заданными линиями.

1.y = 2sin x, y = 0 при 0 £ x £ p , вокруг оси Ox.

2.y3 = 4x2 , y = 2 , вокруг оси Oy.

3.2 y2 = x3 , x = 4 , вокруг оси Ox.

4.y = x2 , y = 4, вокруг оси Oy.

ìx = 3cost;

5. í вокруг оси Ox.

îy = 5sin t,

219

6.y = x2 , x = y2 , вокруг оси Oy.

7.y =1 - cos 2x, y = 0, x = p , вокруг оси Ox.

8. y =1 - x2 , x + y =1, вокруг оси Oy. 2

9.y = x2 +1, x = ±2, y = 0, вокруг оси Ox.

10.xy = 4, y =1, y = 2, x = 0, вокруг оси Oy.

11.y = 2x , y = 5 + 3x , вокруг оси Ox.

12.

=1, y = ±6,

вокруг оси Oy.

13.

ïx = 3cos

вокруг оси Ox.

îy = 3sin

14.

= 4 - x, x = 0, вокруг оси Oy.

15.

y = ex , x = 0, x = ln 2, вокруг оси Ox.

16.

y = x3 , x = 0, y = 8, вокруг оси Oy.

17.

(y -1)2

= x, x = 1, вокруг оси Ox.

18.

ìx = cost;

вокруг оси Oy.

îy = 3sin t,

19.

y = x2 , x = y2 , вокруг оси Ox.

20.

= (x + 5)3 , x = 0,

вокруг оси Oy.

21.

ìx = 3(t - sin t);

= 0, 0 £ x £ 6p, вокруг оси Ox.

îy = 3(1 - cost),

22.

ïx = cos

вокруг оси Oy.

îy = sin

23.xy = 4, y = 0, x =1, x = 4, вокруг оси Ox.

24. x + y = 4, y = 0, x = 0, вокруг оси Oy.

25.y = ex , y =1, x =1, вокруг оси Ox.

220

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2422 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика