Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1733

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

b	b

òuv	(n+1)	dx = (uv	(n )	¢	(n-1 )	n	n	v ) +
òuv		dx = (uv		-u v	+ ... + (-1	)u		v ) +
a								a	(2)
									(2)

+(-1 n)+1 òu(n+1)vdx.

Пользуясь обобщенной формулой интегрирования по частям, можно вывести ряд рекурентных формул:

1. Интегралы

sin

x dx,

cos x dx находятся

Im = ò0

= ò0

с помощью рекурентной формулы Im =

m -1

Im-2 и равны.

ì(m -1)!! p

, при m - четном,

m!!

ò02 sinm xdx = ò02 cosm xdx = í

(m -1)!!

m!!

, при m - нечетном.

2. Если т и п натуральные числа, то интеграл

ì(m -1)!!(n -1)!! p

, при m и n - четных;

(m + n)!!

ò02 sinm x cosn xdx = í

(m -1)!! (n -1)!!

, во всех других случаях.

îï

(m + n)!!

Интеграл

вида In,m = ò01 xn lnm x dx

находится

по

рекурентной формуле I

n,m

= -

n,m-1

и равен.

n +1

In,m = (-1 )

(n +1)m+1

4. Если т и п натуральные

числа, то

имеет место

следующий интеграл

n!m!

ò01 (1- x)n xm dx =

(n + m +1)!


5. Интеграл вида Im = ò02 cosm x sin mx dx находится
		1	æ 1	ö
рекурентной формуле Im	=		ç	+ Im-1 ÷	и равен
рекурентной формуле Im	=	2	ç	+ Im-1 ÷	и равен
		2	è m	ø

æ 2

2m ö

Im =

+... +

÷ .

m+1

m ø

6. Интеграл вида Im

cosm x cos mx dx равен Im

2m+1

ò0

7. Приведем еще некоторые известные соотношения:

а) ò02 cosm x cos (m + 2)x dx = 0 ;

cosm x sin (m + 2) x dx =

;

б) ò02

m +1

sin

sinm x cos (m + 2)x dx = -

;

в) ò02

m +1

cos

sinm x sin (m + 2) x dx =

г) ò02

m +1

3.1. Вычислить интегралы: а)

ò-pp x sin x dx;

по

б) ò01(x +2)e5xdx .

Решение. а) Полагаем u = x;sin x dx = dv , тогда du = dx ; v = -cos x . Пользуемся формулой (1)

ò-pp x sin x dx = -x cos x p-p + ò-pp cos x dx = = -(p cosp + p cos p )+ sin x p-p = 2p.

б) Полагаем u = x + 2; e5xdx = dv, тогда du = dx; v = 1 e5 x . 5

По формуле (1) имеем

ò01 (x + 2)e5 x dx =

ò01 e5 x dx =

(x + 2)e5 x

(

- 2

)

5 x

14e

- 9

)

25 (

3.2. Вычислить интегралы: а) ò02

cos9 x dx ;

sin5 x cos4 x dx ; в) ò01 x4 ln3 x dx ; г) ò02

sin5 x cos 7x dx .

б) ò02

Решение. а) Воспользуемся формулой

пункта 1. При

m = 9, т.е. нечетном, будем иметь

8!!

2 ×4 ×6

×8 ×

ò02 cos 9x dx =

;

0, 406 .

9!!

3×5 ×7 ×9 ×

б) По формуле пункта (2), где m = 5; n = 4, получим

4!!3!!

2 ×4 ×3

ò02 sin

x cos

xdx =

; 0, 0254 .

9!!

3×5 ×7 ×9

в) По формуле пункта 3, где п = 4,

m = 3, имеем

2 ×3

x4 ln3 xdx = (-1 3)

= -

= -0, 0096 .

ò02

(4 +1)

3+1

г) По формуле пункта 7 имеем

sin

= -

ò02

sin5 x cos 7xdx = -

2.4. Теоремы об оценке определенного интеграла

1°. ЕСЛИ функция

f (x) ³ 0

в промежутке [a, b] , то

ò f (x )dx ³ 0 .

2°. Если функции f(x) и j (x) интегрируемы в промежутке

[a, b] , причем a < b , то справедливо неравенство

		b		b
		ò f (x )dx		£ ò	f (x )dx .
		ò f (x )dx		£ ò	f (x )dx .
		a		a
4°. Теорема об оценке определенного интеграла. Если фун-
кция непрерывна		и	интегрируема			в промежутке[a,b],
причем a < b , и	если	во	всем	этом промежутке выполняется
неравенство m £ f (x) £ M , то
			b
	m (b - a) £ ò f (x )dx £ M (b - a ) ,
			a			значения f (x) в
где m и M -	наименьшее и			наибольшее		значения f (x) в

промежутке [a, b].

5°. Обобщенная теорема об оценке определенного интеграла. Если функция f (x) непрерывна в промежутке[a, b], а

j (x) ³ 0 интегрируема на [a,b], то

b		b			b
mòj (x )dx £ ò f (x )j x(			dx)	£ M òj (x )dx .
a		a			a
6°. Теорема о среднем значении. Если					f (x) непрерывна в
промежутке [a, b], то существует			такая		точкаc Î(a,b ), что
справедливо равенство
	b
	ò f (x )dx = (b - a ) f (c .)
	a
	1	b
Число f (c )=	1	ò f (x )dx	-	называется		средним
Число f (c )=		ò f (x )dx	-	называется		средним
	b - a c
значением функции	f (x) в промежутке [a, b].

7°. Обобщенная теорема о среднем. Если f (x) и j (x) ин-

тегрируемы в промежутке [a,b] , j (x) во всем промежутке не

меняют

знака j (x) ³ 0(j(x) £ 0)

и выполняется

неравенство

m £ f (x) £ M ,

то

существует

такая

точкаc Î(a,b ) , что

справедливо равенство

ò f (x )j x( dx) = f (c )òj x( dx) .

8°. Неравенство Коши-Буняковского. Если квадраты функ-

ций f 2 (x) и j2 (x) интегрируемы в промежутке [a,b] , то

æ b

(

)

( )

(

)

(

)

ç ò

f 2

x j

x dx

è a

4.1. Не вычисляя интеграла, определить их знак:

а) ò-2 x3dx ; б) ò-1 xex dx ; в) ò

x2 ln xdx .

Решение. а) Разобьем отрезок интегрирования на отрезки [-2,-1] и [-1,1]. Поскольку подынтегральная функция нечетная, то на отрезке[-1,1] интеграл равен нулю. На отрезке [-2,-1] подынтегральная функция отрицательна, следовательно, интеграл имеет знак минус.

б) Поскольку подынтегральная функция на отрезке[-1,1] положительна, то интеграл имеет знак плюс.

в) Так как логарифм приx Î	é1		ù
	ê		,1ú	отрицательный, то
		2
	ë		û

подынтегральная функция то же отрицательна, следовательно, интеграл имеет знак минус.

4.2. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из

1 1 1

интегралов больше: а) ò0 3 1+ x3 dx или ò0 xdx . б) ò0 x2 cos2 xdx

или ò0 x sin2 xdx .

Решение. а) Поскольку

на

отрезке[0,1]

выполняется

неравенство 3 1+ x3

> x, òî

ò01 3 1+ x3 dx > ò01 xdx

б) Поскольку на отрезке[0,1]

выполняется

неравенство

x2 cos2 x < x sin2 x , то ò01 x2 cos2 x dx < ò01 x sin2 x dx .

4.3. Оценить интеграл ò0

Решение.

3 + 2cos x

При

0 £ x £ 2p

имеем 1 £ 3 + 2 cos x £ 5 , т.е.

m =

, M =1. Поскольку b - a = 2p ,то по теореме 4° имеем

£ ò02p

£ 2p .

3 + 2 cos x

4.4. Оценить интеграл ò01

x (1+ x3 )dx , пользуясь: а) обоб-

щенной

теоремой

об

оценке

интеграла; б)

неравенством

Коши-Буняковского.

Решение. а) Пусть j (x) =

x ,

f (x )=

1+ x3 .

Найдем

наибольшее

наименьшее

значениеf (x)

на [0,1]:

m =1, M =

2 .

По теореме 5° имеем ò01

xdx £ ò01

x (1+ x3 )dx £

2 ò01

xdx ,

откуда

£ ò01

x (1+ x3 )dx £

б) Поскольку f 2 (x) = 1+ x3

и j2 (x) = x

интегрируемы на

[0,1], то неравенство Коши-Буняковского имеет вид

ö2

ò0

x (1+ x3 )dx

£ (ò0 (1+ x3 )dxò0 xdx )2

= ç

çx +

4.5. Найти средние значения функций на заданных проме-

жутках: a)

f (x ) = x2 , 0 £ x £ 1; б) cos3 x, 0 £ x £

Решение.

а) Находим,

что b - a = 1.

Среднее

значение

функции (6°) на отрезке [0,1] находим по формуле

1 2

f (c )=

òa

f (x )dx =

ò0 x

dx =

b - a

б) Среднее значение функции равно

2 æ

f (c )=

ò02 (1-sin

x)dsin x =

ò02 cos

xdx =

çsin x -

sin

x÷

p è

2.5. Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция f (x) интегрируема в промежутке [a,b], то она интегрируема и в промежутке[a, x], где x Î[a,b] . Заменяя верхний предел b переменной x, получим выражение

Ф (x )= ò f (t )dt ,

которое является функцией отх. Чтобы не смешивать переменную интегрирования с ее верхним пределомx, здесь она обозначена через t .

1°. Если функция непрерывна в точкеt = x , где x Î[a,b]

то в этой точке функция Ô (x) имеет производную

		(		)	æ x	(	)	ö¢		( )
	¢				ç ò			÷
Ф			x	=	è a	f t	dt	ø x	= f	x .

2°. Если функции j (x) и y (x) дифференцируемы в любой

точке x,

принадлежащей

промежутку [a,b] ,

(t )

непрерывна при j (a) £ t £y (b ) , то справедливо равенство

æy (x )

ö¢

(

( ))

( )

( ( ))

( )

ç ò

( ) ÷

f t dt ÷ = f y

x y

f j x j

x .

è j(x )

ø x

5.1. Найти производные следующих функций:

а) Ф (x )= ò0x

dt ; б)

Ф (x )= òxx sin

tdt .

t 2

Решение. а) Используя свойство (1°), находим

ö¢

Ф¢(x )= ç

ò0

dt ÷ =

ø x

j (x) =

б) Используя свойство (2°) и учитывая, что

x ,

y (x) = x2 , j¢(x )=

, y ¢(x )= 2x , находим

Ф¢(x )= sin (

)

-sin

x ×

x =

sin x - sin 4

x ÷ .

2 x

5.2. Найти точки экстремума функции

Ф (x )= ò0x

sin t

dt,

(x > 0) .

Решение.

функцииÔ (x)

Находим

производную

от

sin x

приравниваем

ее

нулюФ (x )=

;sin x

= 0 ,отсюда

x= p k , (k = 0,1, 2,...).

5.3.Найти производные от интегралов:

а)	d	ò0x	dt	;	б)	d	òab	1- t3 dt .
	dx		ln t			da
Решение. а)					Используя свойство (1°), имеем

d b	dt	=	1	.

da òa	ln t		ln x

б) Если изменить пределы интегрирования в определенном интеграле, то справедливы преобразования

d	òab	1- t3 dt = -	d	òba	1- t3 dt = - 1- t 3 .
da			da

2.6. Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функций называются несобственными.

1°. Если существует конечный пределlimb®¥ òab f (x )dx , то этот предел называетсянесобственным интегралом первого

рода от функции	f (x) на интервале [a, ¥]	и обозначается
¥	b
ò f (x )dx =blim®¥ ò f (x )dx.		(1)
a	a

Несобственный интеграл существует или сходится, если существует конечный предел. Если несобственный интеграл конечного предела не имеет, то интеграл расходится.

Для других бесконечных интервалов несобственные интегралы выражаются аналогичным образом

			b	b
			ò f (x )dx = alim®-¥ ò f (x )dx ;			(2)
			-¥	a
		¥	c	¥
		ò	f (x )dx = ò f (x )dx + ò f (x )dx .			(3)
		-¥	-¥	c
	С геометрической точки			зрения	определенный	интеграл
òab	f (x )dx	выражает площадь		области,	ограниченной кривой
f (x) ³ 0 ,		прямыми x = a, x = b		и осью абсцисс. Несобствен-

ный интеграл в этом смысле выражает площадь неограниченной области, ограниченной кривой y = f (x) , осью абсцисс и прямой x = a .

2°. Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке x = c , принадлежащей отрезку [a,b] и непрерывна во всех

других

точках

этого

отрезка, то

интеграл

от

функции

f (x) называется несобственным интегралом второго родаи

вычисляется по формуле

c-e

ò f (x )dx = lime ®0 ò

f (x )dx + lime ®0

f (x )dx ,

(4)

c +e

где e

- произвольная бесконечно малая величина.

Геометрически несобственный интеграл(4) есть сумма

площадей

двух

фигур,

ограниченных

графиком

функции

y = f (x) , прямыми

x = a, x = b ,

вертикальной

асимптотой

x = c и осью абсцисс.

При c = a или c = b несобственные интегралы равны

b-e

ò f (x )dx = lime ®0

f (x )dx; ò f (x )dx =lime ®0

ò f (x )dx ;

a +e

3°. Признаки сходимости и расходимости несобственных

интегралов.

Пусть

при a £ x £ ¥

имеет

место

равенство

f (x) £ j (x) , тогда

(x )dx ,

из

сходимости

òa

интеграла f

следует расходимость ò0¥j (x )dx

Если

при a £ x £ +¥ существует

конечный

предел

lim

f (x)

= k

(0 £ k £ +¥) ,

то

интегралы òa¥

f (x )dx

j (x )

òa¥j (x )dx сходятся или расходятся одновременно.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.9 Mб3Учебное пособие 1729.pdf
#
30.04.2022311.71 Кб2Учебное пособие 173.pdf
#
30.04.20221.9 Mб3Учебное пособие 1730.pdf
#
30.04.20221.92 Mб8Учебное пособие 1731.pdf
#
30.04.20221.92 Mб2Учебное пособие 1732.pdf
#
30.04.20221.92 Mб4Учебное пособие 1733.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Учебное пособие 1734.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Учебное пособие 1735.pdf
#
30.04.20221.93 Mб8Учебное пособие 1736.pdf
#
30.04.20221.93 Mб12Учебное пособие 1737.pdf
#
30.04.20221.93 Mб6Учебное пособие 1738.pdf