Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебное пособие 1733

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
30.04.2022
Размер:
1.92 Mб
Скачать

26. x2 + y2 =1, вокруг оси Oy.

416

27.y = sin x, x = 0, y = 2 x, вокруг оси Ox.

p

28.ìíx = t; y = 4, вокруг оси Oy.

îy = 2t 2 ,

29.x2 - y2 = 9, x = ±6, вокруг оси Ox.

ìx = 2cos3 t;

ï

30.í вокруг оси Oy.

ïy = 2sin 3 t,

Задача 17. Вычислите несобственные интегралы 1 рода или исследуйте их на сходимость.

¥cos3x

1.ò1 x3 + 2x -1 dx

¥2 + arcsin 1

3. ò

 

 

 

3

+ x

3

 

x dx

2

 

 

 

 

 

 

x

¥

 

 

 

arctgx

 

 

 

5. ò

 

 

 

 

dx

 

 

 

3

 

0

 

(9 + x2 )

2

 

 

¥

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

7. ò

 

 

 

 

 

 

dx

 

9x

4

+1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. òxe- x dx

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

x

 

 

 

 

11. ò

 

 

 

 

 

 

dx

x2

- 4x + 7

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

sin x

 

 

 

 

 

 

13. ò

 

 

 

 

 

dx

x

2

+1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

ln x

 

2. ò 3

 

 

 

dx

x

2

 

- 3x + 7

 

 

e

 

 

 

 

 

 

¥

x

 

 

4.

ò

dx

 

x2 -1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

sin x

 

6. ò

 

 

x

 

x

2

-1

 

 

 

2

 

 

 

 

¥

 

 

 

1

 

 

 

 

 

8. ò

 

 

 

 

 

 

 

dx

(3 + x )ln 2 (3 + x )

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

x

 

10. ò

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x3 + x2 + x

 

 

¥

 

 

x

 

 

 

 

12.

ò

 

 

 

 

dx

 

1 8 + x2

¥1

14.òe x3 ln x

221

 

¥

 

 

 

 

 

 

dx

5 dx

 

15.

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

(3 + x2 )

 

 

¥

 

 

1

1

 

 

 

17.

pò

 

 

sin

 

dx

 

x2

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

19.

ò

 

 

 

 

 

 

dx

 

x(3 + ln x)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

òe- x 2 xdx

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

x

 

23.

ò

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

x 2 - 3 x + 7

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

1

 

 

 

 

25.

ò

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

e

2

 

 

ln x -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

ln x

 

 

 

 

 

27.

ò

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

3

x +1

 

29.

ò

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

x4 + x2 + 2x +1

¥

16. òx cos 2xdx

p

2

¥ arctg 4x

18.ò0 16x2 +1 dx

¥ 1

20.ò2 x2 - 4x + 5 dx

¥ x2 +1

22.ò x2 1 + x2 dx1

¥

 

 

x4

 

24. ò

 

 

 

0

 

 

(8 + x2 )3 dx

¥

 

arctg

1

 

 

 

x

 

26. ò

 

x

2 3

 

dx

1

 

 

x + 7

 

¥

 

 

cos x

 

28. ò

 

 

dx

5 + 3sin x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

30. òx3e- x 2 dx

0

Задача 18. Вычислите несобственные интегралы 2 рода или исследуйте их на сходимость.

1

 

 

3x

 

 

1

 

1. ò

 

 

dx

2. òln xdx

 

x

2

-1

-1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

1

arcsin x

3. 1ò,5

 

dx

4. ò0

(1 - x)-1 dx

(2 - x)ln 2 2( - x)

222

eln(x +1)

5.ò0 (1 + x4 )32 -1 dx

0

 

 

 

 

 

 

x

 

7. ò1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

81x4 -18x2 +1

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

-

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. ò0

 

e

 

 

dx

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

11. ò 3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

0

 

8 - x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

13. ò

 

(

 

dx

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x 2x3 + x2 + x )

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

15. ò 5

 

 

dx

 

 

 

0

 

arctgx

 

1 cos 2x

17. ò dx

0 x

p

4 tg3x

19. ò0 x x dx

21

21.1ò,5 (3 - x)3 ln 2 (3 - x) dx

e1

23.ò1 x4 ln x dx

3

 

2x + 3

25. ò

 

 

 

dx

x2

+ x -12

2

 

 

 

11

6.ò0 (x -1) 1 - x2 dx

 

p

 

 

 

2

sin

3

x dx

8. ò

 

0

cos x

21

10.ò1 x2 - 4x + 4 dx

1arcsin x

12. ò0 x2 + x3 x dx

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. ò

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

x ln x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

16. ò

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

0

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

2

+1

 

 

 

18. ò 3

 

 

 

 

 

dx

 

0

 

 

x arcsin x

 

5

 

 

 

2x + 5

 

 

 

20. ò

 

 

x

 

dx

 

2

 

 

 

 

- x - 2

 

3

 

x2 - x +1

dx

 

22. ò

 

x

2

 

x

4

-1

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

24. ò

 

 

 

 

 

5

 

 

3

 

(3 - x2 )

 

 

1

 

 

 

3 x +1

 

 

26. ò

 

 

 

 

dx

 

x4 +

 

 

 

x2 + 2x

0

 

 

 

 

 

223

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

 

2

 

 

sin 2x

 

27. ò

 

 

 

2 dx

 

28. ò 5

dx

4

10x - 25

- x

 

cos

3

 

 

1

 

 

 

 

p

 

 

 

2x

 

1

 

arccos x

dx

 

 

1

 

 

1

 

 

 

dx

29. ò

x

2 3

2x + 7

 

 

30. ò

3

ex

2

-1

 

0

 

 

 

 

0

 

 

Задача 19. Вычислить силу или работу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты 1–10

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить силу, с которой вода давит на

 

 

 

 

 

 

 

 

плотину, сечение которой имеет форму

 

 

 

 

 

равнобочной трапеции (рис.4.1). Плотность

 

 

 

 

 

 

 

 

воды

 

 

r =1000

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кг, /м ускорение

 

 

 

 

 

 

 

 

свободного падения g

положить равным

 

 

 

 

 

 

 

 

10 м/с2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4.1

1.

a = 4,5 м,

b = 6,6 м,

h = 3,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

a = 4,8 м,

b = 7, 2 м,

h = 3,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

a = 5,1 м,

b = 7,8 м,

h = 3,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

a = 5, 4 м,

b = 8,4 м,

h = 3,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

a = 5,7 м,

b = 9,0 м,

h = 4,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

a = 6,0 м,

b = 9,6 м,

h = 4,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

a = 6,3 м,

b =10, 2 м,

h = 4,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

a = 6, 6 м,

b = 10,8 м,

h = 4,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

a = 6,9 м,

b =11,4 м,

h = 5,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

10. a = 7,2 м,

b =12,0 м,

h = 5,0 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

224

 

Варианты

11–20

Определить работу (в джоулях),

совершаемую при подъеме

спутника

с поверхности

Земли

на высотуH км. Масса

спутника

равна m т, радиус

Земли Rз

= 6380 км. Ускорение

свободного падения g у поверхности Земли положить равным

10 м/с2.

11.m = 7, 0 т, H = 200 км.

12.m = 7,0 т, H = 250 км.

13.m = 6,0 т, H = 300 км.

14.m = 6,0 т, H = 350 км.

15.m = 5,0 т, H = 400 км.

16.m = 5,0 т, H = 450 км.

17.m = 4,0 т, H = 500 км.

18.m = 4,0 т, H = 550 км.

19.m = 3,0 т, H = 600 км.

20.m = 3,0 т, H = 650 км.

 

 

Варианты 21–30

 

 

Цилиндр

наполнен

газом

 

атмосферным

давлением (103,3

 

кПа). Считая

газ

идеальным,

 

определить работу (в джоулях) при

 

изотермическом

 

сжатии

 

 

поршнем,

 

переместившимся

 

внутрь цилиндра на h м (рис. 4.2).

Рис.4.2

У к а з а н и е. Уравнение состояния газа

pV = const , где p

давление, V– объем.

 

 

 

21.

H = 0, 4 м,

h = 0,35 м,

R = 0,1 м.

22.

H = 0, 4 м,

h = 0,3 м,

R = 0,1 м.

 

23.

H = 0, 4 м,

h = 0, 2 м,

R = 0,1 м.

 

24.

H = 0,8 м,

h = 0,7 м,

R = 0,2 м.

 

25.

H = 0,8 м,

h = 0,6 м,

R = 0,2 м.

 

225

26.

H = 0,8 м,

h = 0, 4 м,

R = 0,2 м.

27.

H = 1, 6

м,

h =1, 4

м,

R = 0,3 м.

28.

H = 1,6

м,

h =1, 2

м,

R = 0,3 м.

29.

H =1,6 м,

h = 0,8

м,

R = 0,3 м.

30.

H = 2,0 м,

h =1,5

м,

R = 0,4 м.

226

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

 

Приступая к изучению высшей математики, необходимо

 

знать,

что

математику нельзя изучать пассивно, нужно

 

стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и

 

теорем,

пытаться

самостоятельно решать математические

 

задачи. Результатами изучения курса высшей математики

 

должны быть развитие аналитического мышления, овладение

 

навыками решения математических задач, выработка умения

 

самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать

 

методы их решения.

 

 

 

 

 

Материал

 

практикума

предоставляет

возможность

студентам

самостоятельно

освоить

основные

положения

одного из важнейших разделов в курсе высшей математики-

 

интегрального исчисления. Позволяет приобрести и закрепить

 

практические

навыки решения простых типовых задач,

 

также познакомиться с методикой построения приложений

 

определенного интеграла к задачам механики

и физики.

Наиболее эффективный результат может быть достигнут, если

 

использовать пособие как для аудиторных занятий, так и для

 

самостоятельной работы.

 

 

 

 

 

Несколько слов

ом,токак работать с этой книгой. Прежде,

 

чем

приступать

к

изучению

методов

решения,

зада

необходимо повторить основные определения и теоремы,

 

относящиеся

к данному разделу, постараться понять и

 

запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого

 

можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.

227

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

2. Кудрявцев .ЛД. Краткий курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – Альфа, 1998. Т. 1 - 687с., 1998.

Т. 2 – 584с.

3.Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.: Высш.

шк., 1999. - 695с.

4.Пискунов П.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / П.С. Пискунов. – М.: Наука, 2001. Т. 1 — 415с., 2001. Т.2 — 544с.

5.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1986.

6.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.: Наука, 1987. — 350с.

7.Щипачев B.C. Высшая математика / В.С. Щипачев. —

М.: Высш.школа, 2003. - 479 с.

8.Баврин И.И. Высшая математика / И.И. Баврин. — М.:

Высш. школа, 2001.- 616 с.

9.Гусак А.А. Высшая математика / А.А.Гусак. — Мн.:

«ТетраСистемс», 2003. Т. 1. - 543 с.

10.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. — М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003. Ч. 1, 2.

11.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. — М.: Наука, 1985.

12.Тихонов А..НВводные лекции по прикладной математике / А.Н. Тихонов, Д.П. Костромаров. М.: Наука, 1984.

228

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………..3

1.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ……………………. 4

1.1.Первообразная функция и неопределенный

интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов и простейшие примеры …………………………………………….. 4

1.2.Непосредственное интегрирование …………….. 10

1.3.Интегрирование методом замены переменной ………………………………..……… 14

1.4.Интегрирование по частям …………………..….. 21

1.5.Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен ……………………………… 28

1.6.Интегрирование рациональных дробей ………… 37

1.7.Интегралы от иррациональных функций ………. 49

1.8.Интегрирование тригонометрических функций .. 62

1.9.Интегрирование гиперболических функций …… 67

1.10.Задачи, приводящие к понятию

неопределенного интеграла ………………… 71

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ……………………..………..

73

2.1. Определение определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-

Лейбница …………………………………………. 73 2.2. Замена переменной в определенном интеграле… 77 2.3. Интегрирование по частям ….…………………… 80

2.4. Теоремы об оценке определенного интеграла….. ……

83

2.5.Определенный интеграл как функция верхнего предела…..…………………………… 87

2.6.Несобственные интегралы …………………….. 89

229

3.ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ.…100

3.1.Общая схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин….. 100

3.2.Площадь плоской фигуры ………………………… 103

3.3.Объем тела …………………………………..……. 114

3.4.Длина дуги кривой ………………………………. 126

3.5.Площадь поверхности вращения ………………. 133

3.6.Вычисление статических моментов и моментов инерции ……………………………… 140

3.7.Координаты центра тяжести ……………………… 158

3.8.Приложение определенного интеграла к задачам механики и физики ……………………. 171

3.9.Вычисление определенных интегралов численными методами …………………………… 193

4.ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА……………. …. 200

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………

227

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………

228

230