Учебное пособие 1733

2. Если

m +1

— целое, то и

m +1

-1

— тоже целое и

n

n

подстановка a + bxn = a + bz = t n1 , где n

— знаменатель дроби

1

p =

m1

.

n1

m +1

m +1

3. Если

+ p — целое число, то

p + q =

-1+ p —

тоже

n

целое

и

n

интегра

ò z

q

(a + bz )

p

dz

= z

q + p

æ a + bz öp

dz.

Интеграл

приводится

к

ç

÷

z

è

ø

интегралу

от

рациональной

функции

m1

подстановк

ax-n + b =

a + bz

= t n1 ,

где n

— знаменатель дроби p =

.

z

1

n1

4°. Интегрирование выражений вида R (x,

ax2 + bx + c ).

Подстановки Эйлера.

1. Если a > 0,

тогда

ax2 + bx + c = t - a x,

откуда

x =

t2

- c

,

ax

2

+ bx + c =

at 2 + bt + c a

,

2

at + b

2 at + b

dx = 2

at2 + bt + c

a

dt.

(2 at + b)2

2. Если c > 0,

тогда

ax2 + bx + c = xt +

c,

откуда

x =

2 at -b

,

ax

2

+ bx + c

=

ct 2 - bt + c

,

a - t

2

a -t 2

dx = 2

ct2 - bt +

ca

dt.

(a -t 2 )2

вещественные корни, т. е.

ax2 + bx + c = a (x - l )(x - m ), тогда

ax2 + bx + c = t (x - l), откуда

x =

-am + lt 2

,

ax2 + bx + c =

a (l - m)t

,

t2 - a

a (m - l )t

t 2 -a

dx =

2

dt.

(t2 - a)2

Замеча ние.

При

a > 0, c > 0,

т.

е.

в первой и второй

подстан о в к а х можно б ы л о б ы

положить, соответственно,

ax2 + bx + c = t +

a x,

ax2 + bx + c = xt -

c .

В

третьей

подстановке

ax2 + bx + c = t (x - m).

Следует

заметить, что

в

большинстве случаев подстановки Эйлера приводят к более

длинным вычислениям, чем другие методы.

5°.

Интегралы вида òR (x,

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E )dx,

где

R

—

рациональная

функция,

называемые

эллиптическими,

вообще

говоря

не

интегрируются, если

между

коэффициентами

функцииR

или

полинома

под

знаком радикала нет особых соотношений. В ряде случаев,

при наличии возвратных полиномов, интеграл находится с

помощью подстановок x +

1

= t или x -

1

= t.

x

x

7.1. Найти

интегралы:

а) ò

1+ 4

x

dx; б) ò x 3 - xdx;

x +

x

в) ò

dx

; г) ò

1

x +1

dx; д)

ò

dx

.

x

+1 +

3

x +1

x x -1

1+ x + 1+ x

Решение. а)

Общий

знаменатель

дробных показателей

степеней

равен

четырем, поэтому

делаем

замену

x = t4 , dx = 4t3dt.

1+ 4 x

1+ t

3

t 2 + t

æ

t -1 ö

dx = 4

t

dt

=

4

dt = 4

ç1+

÷dt

=

ò x + x

ò t

4

+ t

2

ò t

2

+1

ò

t

2

+

è

1 ø

æ

tdt

dt

ö

æ

1

ln (t

2

+1)- arctg t

ö

=

4çt

+

-

÷

=

4

çt +

÷ + C =

ò t

2

+

2

+

1

2

è

1 t

ø

è

ø

æ

1

ln (

x +1)- arctg 4 x

ö

= 4

ç

4

x +

÷ + C.

2

è

ø

б)

Чтобы

избавиться

от

радикала, сделаем

замену

3 - x = t 2 ,

x = 3 - t2 , dx = -2tdt, тогда получим

ò x

3 - xdx = -2ò(3 -t 2 )t 2dt =

= -2ò(3t

2

4

)dt = -2

æ

3

1

5

ö

2

(3

- x )

3/ 2

(x + 2)+ C.

- t

çt

-

t

÷

+ C = -

5

5

è

ø

в) Общий знаменатель дробных показателей равен шести,

поэтому делаем замену x +1 = t6 ; dx = 6t5dt. Отсюда

dx

t5dt

t3dt

æ

2

1

ö

= 6

= 6

= 6

çt

- t

+1-

÷dt =

òt

3

+ t

2

ò t +1

ò

ò x +1 + 3 x +1

è

t +1 ø

=

6

æ t3

-

t2

+ t - ln

t +1

ö

+ C = 6

æ

1

x +

1 -

1

3 x

+1 +

ç

÷

ç

3

2

3

2

è

ø

è

)+ C.

+6 x +1 - ln

6 x +1 +1

г)

Чтобы

избавиться

от

радикала, сделаем

замену

x +1

= t

2

;

x =

t

2 +1

;

dx = -

4tdt

,

тогда получим

x -1

t

2 -1

(

2

)

2

t

-1

1 x +1

t 2 -1 t 2

t 2dt

ò

dx = -4ò

dt = -4ò

.

x

x -1

t 2 +1

(

t2

-1

2

(t2

+1)(t 2 -1)

)

Представим подынтегральную функцию в виде

суммы

двух

более

простых

дробей

с

неопределен

коэффициентами

t 2

=

A

+

B

; t

2

=

At

2

- A + Bt

2

+ B;

(t2 +1)(t 2 -1)

t 2 +1

t2 -1

{1 = A + B, 0 = -A + B}Þ A =

1

; B =

1

, таким образом

2

2

æ 1 dt

1 dt

ö

æ

1

t -1

ö

-4 ç

+

÷

= -2

çarctg t +

ln

÷ + C =

è 2

òt 2

+1 2 ò t2 -1

ø

è

2

t

+1

ø

æ

x -1

ö

= -

ç

2 arctg

+ ln