Учебное пособие 1733
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A |
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B |
Cx + D |
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= |
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+ |
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+ |
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x2 (x2 + 4) |
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x |
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x2 |
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x2 + 4 |
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Откуда |
1 = Ax3 + 4 Ax + Bx2 + 4B + Cx3 + Dx2 . |
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Составляем |
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систему |
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x3 |
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0 = A + C, |
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x2 |
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0 = B + D, |
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x |
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0 = 4 A, |
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x0 |
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1 = 4B. |
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Из решения системы имеем: |
A = 0, B = |
1 |
, C = 0, D = - |
1 |
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4 |
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Таким образом |
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dx |
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1 |
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dx |
1 |
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dx |
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ò |
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ò |
ò |
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= |
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- |
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= |
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x4 + 4x2 |
4 |
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x2 |
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4 |
x2 + 4 |
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x |
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1 æ 1 |
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x |
ö |
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= - |
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- |
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arctg |
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+ C = - |
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ç |
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+ |
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arctg |
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÷+ C. |
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4x |
8 |
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2 |
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2 |
2 |
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4 è x |
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ø |
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д) Поскольку один корень действительный, а два |
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комплексные, то |
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подынтегральная |
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функция |
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может быть |
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представлена в виде |
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2x +1 |
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A |
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Bx + C |
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= |
+ |
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(x |
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1) |
( |
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) |
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x |
2 + |
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x -1 |
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x2 +1 |
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- |
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Откуда |
2x +1 = Ax2 + A + Bx2 + Cx - Bx -C. |
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Приравнивая |
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коэффициенты, имеем |
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x2 |
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0 = A + B, |
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x |
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2 = C - B, |
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x0 |
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1 = A - C. |
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Из решения |
системы находим: |
A = |
3 |
, B = - |
3 |
, C = |
1 |
. Таким |
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2 |
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2 |
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2 |
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образом
41
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ò |
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2x +1 |
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dx = |
3 |
ò |
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dx |
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- |
1 |
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ò |
3x -1 |
dx |
= |
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(x |
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1) |
( |
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2 |
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) |
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x -1 |
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x |
2 |
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x |
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2 |
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2 |
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+1 |
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- |
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+ |
1 |
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= |
3 |
ln |
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x -1 |
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- |
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3 d |
(x2 +1) |
+ |
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1 dx |
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= |
3 |
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ln |
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x -1 |
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- |
3 |
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ln |
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x |
2 |
+1 + |
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2 |
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4 x2 +1 |
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2 x2 +1 2 |
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4 |
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( |
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) |
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+ |
1 |
arctg x + C = |
3 |
ln (x -1)2 |
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+ |
1 |
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arctg x + C. |
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2 |
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4 |
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x2 +1 |
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2 |
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e) Раскладываем знаменатель подынтегральной функции |
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на множители и представим ее в виде простых дробей |
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1 |
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Ax + B |
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Cx + D |
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= |
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= |
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+ |
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. |
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x4 - x2 - 6 |
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(x2 -3)(x2 + 2) |
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x2 - 3 |
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x2 + 2 |
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Откуда |
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1 = Ax3 + 2 Ax + Bx2 + 2B + Cx3 -3Cx + Dx2 -3D. |
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Составляем систему |
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x3 |
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0 = A + C, |
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x2 |
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0 = B + D, |
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x |
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0 = 2A -3C, |
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x0 |
1 = 2B -3D. |
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Из решения системы имеем: |
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A = 0, B = |
1 |
, C = 0, D = - |
1 |
. |
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Таким образом |
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5 |
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5 |
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dx |
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dx |
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1 |
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dx |
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ò |
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= |
ò |
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ò |
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= |
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x |
4 |
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- x |
2 |
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x |
2 |
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x |
2 |
+ 2 |
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- 6 5 |
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- 3 5 |
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1 |
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æ |
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1 |
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x - |
3 |
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1 |
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x |
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ö |
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= |
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ç |
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ln |
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- |
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arctg |
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÷ + C = |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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ç |
|
|
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3 |
|
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x + |
3 |
|
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2 |
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2 |
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÷ |
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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è 2 |
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ø |
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||||||||
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1 |
|
æ |
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3 |
|
|
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|
x - |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
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|
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x |
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|
ö |
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
|
= |
|
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|
ç |
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|
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ln |
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- |
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arctg |
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÷ + C. |
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||||||||||||||||||||
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
ç |
|
|
|
6 |
|
|
|
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|
x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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6.2. Найти интегралы:
а) ò |
|
dx |
; б) ò |
4x2 - 4x + 7 |
dx. |
|
x |
4 |
+1 |
(x +1)(2x - 3)(2x + 5) |
|||
|
|
|
|
42
Решение. а) Воспользуемся разложением
x4 +1 = (x4 + 2x2 +1)- 2x2 = (x2 +1)2 - (x 2 )2 = = (x2 + x 2 +1)(x2 - x 2 +1)
и представим подынтегральную функцию в виде
1 = Ax + B + Cx + D . x4 +1 x2 + x 2 +1 x2 - x 2 +1
Отсюда имеем
1 = (Ax + B )(x2 - x 2 +1)+ (Cx + D )(x2 + x 2 +1).
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
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x3 |
|
0 = A + C, |
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|
|||||||
|
|
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|
|
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x2 |
|
0 = - 2A + B + 2C + D, |
|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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x 0 = A - 2B + C + 2D, |
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|
||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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x0 |
1 = B + D. |
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||||||||
Из |
|
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|
|
|
решения |
|
|
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|
системы |
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|
уравнений |
||||||||||||||||||||||||
A = -C = |
1 |
|
|
, B = D = |
1 |
. |
|
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|
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|||||||||||
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|
2 |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||
Таким образом, решение примет вид |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
dx |
= |
1 |
|
|
x + 2 |
|
|
dx - |
1 |
|
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
|
dx = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|||||||||||||||
ò x4 +1 2 2 ò x2 + x 2 +1 |
2 2 |
|
ò x2 - x 2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
2x + 2 |
|
|
dx + |
1 |
|
|
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|
|
|
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2dx |
|
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- |
|||||||||
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|
|
ò æ |
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||
4 2 |
|
|
ò x2 + x 2 +1 |
4 2 |
|
|
2 |
|
2 ö |
2 |
æ 1 ö2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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ç x |
|
+ |
2 |
÷ |
+ |
ç |
|
|
|
÷ |
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|
||||
|
|
|
|
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|||||||||||||
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|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
è |
|
2 ø |
|
|
||||||||
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x - 2 |
|
|
dx + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dx |
|
|
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò æ |
|
|
|
|
|
|
ö2 |
æ 1 ö2 |
||||||||||||||||||
4 2 |
|
ò x2 - x 2 +1 |
4 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
ç x |
- |
2 |
|
÷ |
+ ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
è |
ø |
|
|
|
|
43
|
1 |
|
2 |
+ x 2 +1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
ln |
|
x |
|
+ |
arctg (x 2 +1)+ |
arctg (x |
2 -1)+ C. |
|||||||||||||
|
2 |
- x 2 +1 |
|
2 2 |
|||||||||||||||||
|
4 2 |
x |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
б) Представим подынтегральную функцию в виде |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4x2 - 4x + 7 |
x2 - x + 7 / 4 |
|
|
A |
|
|
B |
|
C |
, |
||||||||||
|
= |
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
||||||||||||
(x +1)(2x - 3)(2x + 5) |
(x +1)(x -3 / 2)(x + 5 / 2) |
x +1 |
x -3 / 2 |
x +5 / 2 |
откуда следует равенство
x2 - x + 7 / 4 = A(x - 3/ 2)(x + 5 / 2)+ B (x +1)(x + 5 / 2)+ C (x +1)(x -3 / 2 ).
Вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях слева и справа будем полагать в этом равенстве
последовательно |
|
x = -1, 3/ 2, |
- 5 / 2, |
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
сразу |
|
|
получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A = -1, |
B = |
1 |
, C = |
7 |
, |
|
|
|
т . к. справа |
всякий раз |
|
остается |
лишь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
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|
|
||
один член. Таким образом, |
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
4x2 - 4x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = -ò |
|
dx |
1 |
|
ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
7 |
ò |
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x +1)(2x - 3)(2 x +5) |
|
x +1 |
|
4 |
|
|
x -3 / 2 |
4 |
x +5 / 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= -ln |
|
x +1 |
|
+ |
|
1 |
|
ln |
|
x -3 / 2 |
|
+ |
|
|
7 |
ln |
|
x +5 / 2 |
|
+ C = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
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|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
ln |
(2x + 5)(2x - 3)7 |
+ C. |
|
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|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
4 |
|
|
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|
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|
256(x +1)4 |
|
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|||||||||||||||||||||||
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6.3. Найти интегралы: а) ò |
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2 -3x + x2 |
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|
dx; |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x +1)2 |
( |
x2 + x +1 |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
x |
2 |
-1 |
2 |
|
|
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|
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б) ò |
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4x |
-1 |
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dx; в) ò |
|
( |
|
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) |
|
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dx; г) ò |
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dx |
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. |
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( |
x5 |
+ x +1 2 |
(x +1) |
( |
x2 +1 |
3 |
(x -1)2 |
( |
x2 -1 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
) |
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) |
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) |
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|||||||||
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|
Решение. а) Воспользуемся методом Остроградского |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 - 3x + x2 |
|
|
é Ax2 + Bx + C ù¢ |
|
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|
|
Dx2 + Ex + F |
|
, |
|
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= ê |
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ú |
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+ |
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||||||||||||
|
(x +1)2 (x2 |
+ x +1) |
2 |
|
|
|
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
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x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ë x |
|
|
+ 2x +1û |
|
|
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|
|
|
|
+ 2x +1 |
|
|
|
44
откуда 2 - 3x + x2 = (2 Ax + B )(x3 + 2x2 + 2 x +1)-
-(Ax2 + Bx + C )(3x2 + 4x + 2)+ (Dx2 + Ex + F )(x3 + 2x2 + 2x +1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях, получим систему уравнений, из которой и определяются неопределенные коэффициенты
|
|
x5 |
0 = D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||||
|
|
x4 |
0 = 2A -3A + 2D + E, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x3 |
0 = 4A + B - 4A -3B + 2D + 2E + F , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x2 |
1 = 4 A + 2B - 2 A - 4B - 3C + D + 2E + 2F, |
||||||||||||||||||||
|
|
x -3 = 2 A + 2B - 4C - 2B + E + 2F, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x0 |
2 = B - 2C + F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
И з |
решения |
|
|
|
данной |
|
|
системы |
уравнений :получим |
||||||||||||||
A = -9, B = -20, C = -7, D = 0, E = -9, F = -2. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Интеграл примет вид |
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
|
|
2 - 3x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
9x2 + 20 x + 7 |
|
9x + 2 |
|||||||||||
I = ò |
|
|
dx = - |
|
|
|
|
- ò |
|
|
dx. |
||||||||||||
(x +1)2 (x2 + x +1)2 |
(x +1)(x2 + x +1) |
(x +1)(x2 + x +1) |
|||||||||||||||||||||
Пользуясь |
|
|
методом |
|
|
|
неопределенных |
коэффициентов, |
|||||||||||||||
представим подынтегральную функцию в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9x + 2 |
|
|
|
|
= |
A |
+ |
Bx + C |
, |
|
||||||
|
|
|
|
(x |
|
1) |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
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|||||||
|
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|
+ |
x |
2 + |
x |
+ |
|
|
x +1 x2 + x |
+1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||
откуда 9x + 2 = A(x2 + x +1)+ (Bx + C )(x +1), |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
0 = A + B, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
9 = A + B + C, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
2 = A + C. |
|
|
|
||||||||
Из |
решения |
системы |
|
имеемA = -7, B = 7, C = 9. Таким |
|||||||||||||||||||
образом, |
|
|
|
|
|
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|
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45
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|
I = - |
|
|
|
9x2 + 20x + 7 |
|
+ 7ò |
|
|
dx |
|
- ò |
|
|
7x + 9 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)(x |
2 |
+ x |
+1) |
|
|
|
|
|
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|
x |
2 |
+ x +1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x +1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
= - |
|
|
|
|
9x2 + 20x + 7 |
|
|
+ 7 ln |
|
x +1 |
|
- |
ò |
|
|
|
|
7 x + 9 |
|
|
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|
dx. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
(x +1) |
|
|
|
x2 |
+ x +1 |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
1 ö2 |
|
|
3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
( |
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|
|
) |
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ç x + |
|
|
÷ + |
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2 |
4 |
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|||||||||||||||||
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|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В последнем интеграле сделаем замену x + |
1 |
|
= t, |
|
dx = dt, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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2 |
|
|
|
|
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||
x = t - |
, тогда получим |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
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|
|
|
|
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|
|
7t +112 |
|
|
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|||||||||||
|
7x + 9 |
|
|
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|
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|
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|
|
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7 |
|
|
æ |
|
2 |
|
|
|
3 |
ö |
|
|
11 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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dx = |
|
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dt = |
|
|
|
|
ln çt |
|
+ |
|
|
|
÷ |
+ |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
+ C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ò æ |
|
1 |
ö |
2 |
|
|
3 |
|
ò |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
ö |
2 |
|
|
|
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|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 è |
|
|
|
|
|
ø |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç x + |
2 |
÷ |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
+ |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||
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|
2 |
|
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|
||||||||||||||||
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
= |
7 |
ln (x |
2 |
|
+ x |
+1) |
|
+ |
|
11 |
|
arctg |
|
2x +1 |
|
+ C. |
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Окончательный результат будет |
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I = - |
|
|
9x2 + 20 x +7 |
|
|
|
|
+ 7 ln |
|
x +1 |
|
- |
|
7 |
|
ln (x |
2 |
+ x |
+1)- |
|
11 |
|
arctg |
|
2 x +1 |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x +1) |
(x |
2 |
+ x |
+1) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
б) Воспользуемся методом Остроградского |
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4x |
5 |
-1 |
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æ |
|
|
Ax |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ Dx + E |
ö¢ |
|
|
|
|
|
Fx |
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+ Hx |
2 |
|
+ Ix |
+ J |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ç |
|
|
|
|
+ Bx + Cx |
|
÷ + |
|
+Gx |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x5 + x +1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
+ x +1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
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x |
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+ x +1 |
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ø |
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x5 -1 = |
|
( |
4Ax3 |
|
+ 3Bx2 + 2Cx + D |
)( |
x5 + x +1 - |
( |
Ax 4 |
+ Bx3 + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
)( |
|
|
|
|
|
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( |
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) |
|
|
|
)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||||
+Cx2 + Dx + E |
5x |
4 +1 + |
Fx4 + Gx3 + Hx 2 |
+ Ix + J |
x5 |
|
+ x +1 |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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) |
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46
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x9 |
0 = F , |
|
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|
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|
|
|
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|||||
|
|
|
|
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x8 |
0 = 4A -5A + G, |
|
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|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
x7 |
0 = 3B -5B + H , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 |
0 = 2C -5C + I , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x5 |
4 = D - 5D + J + F , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
0 = 4A + 5E - A + F + G, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
0 = 4A + 3B - B + G + H , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
0 = 3B + 2C - C + H + I , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 = 2C + D - D + I + J , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
-1 = D - E + J. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
И з решения системы A = 0, B = 0, C = 0, D = -1, E = 0, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
F = 0, G = 0, H = 0, I = 0, J = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Интеграл примет вид |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
4x5 -1 |
|
|
dx = - |
|
|
x |
|
|
+ C. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
x |
+ x +1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ x +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) Воспользуемся методом Остроградского |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
( |
x |
2 |
-1 |
2 |
|
|
|
é |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
ù¢ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ax + Bx +Cx + D |
|
|
E |
|
Fx +G |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
= |
ê |
ú |
+ |
+ |
, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
ê |
|
( |
|
2 |
|
) |
2 |
|
ú |
|
x +1 x2 +1 |
|
||||||
|
(x +1) |
x |
|
|
) |
|
|
|
ë |
|
x |
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
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|||||||
|
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|
+1 |
|
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|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x4 - 2x2 +1 = (3Ax2 + 2Bx + C )(x3 + x 2 + x +1)- 4 (Ax3 + Bx 2 +Cx + |
||||||||||||||||||||||||||||||
+D)(x2 + x )+ E (x6 + 3x4 + 3x2 +1)+ (Fx + G )(x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x +1). |
||||||||||||||||||||||||||||||
Приравнивая |
|
коэффициенты |
|
при |
|
|
одинаковых |
степенях |
неизвестных, получим
47
|
x6 |
|
|
0 = E + F , |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
|
x5 |
|
|
0 = -A + F + G, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x4 |
|
1 = -A - 2B + 3E + 2F + G, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
|
0 = 3A - 2B - 4C + 2F + 2G, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
-2 = 3A + 2B - 4C - 4D + 3E + F + 2G, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 = 2B + C - 4D + F + G, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 |
|
1 = C + E + G. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
И з решения системы: |
A = |
1 |
, B = - |
1 |
, C = |
2 |
, D = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
E = 0, F = 0, G = |
. Интеграл примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
x |
2 |
-1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 - |
x2 + |
x |
1 dx |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= |
|||||||||||||||||
(x + |
1) |
( |
|
|
2 |
|
) |
3 |
|
|
|
( |
2 |
|
) |
2 |
|
|
|
3 |
|
x2 +1 |
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ç x |
|
- |
|
x |
|
|
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ arctg x ÷ |
+ C. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
( |
x |
2 |
|
|
) |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
г) Представим подынтегральную функцию в виде
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
- |
1) |
2 |
( |
x |
2 - |
) |
3 |
(x -1)5 |
(x +1)3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
и воспользуемся методом Остроградского |
|
|
|
|||||||||||||
1 |
é Ax5 |
+ Bx4 |
+ Cx3 + Dx2 + Ex + F |
ù¢ |
|
|||||||||||
|
|
= ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú + |
|
|
(x -1)5 (x +1)3 |
|
|
|
|
|
(x -1)4 (x +1)2 |
|
||||||||
|
ê |
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|||||||
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
G |
+ |
H |
. |
|
|
||
x -1 |
x +1 |
Найдем производную, приведем к общему знаменателю и приравняем числители
48
1 = (5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2 + 2Dx + E )(x2 -1)- (Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 +
+Ex + F )(6x + |
2) |
|
+ G |
( |
x |
6 - 3x4 |
|
|
) |
|
-1)+ H |
( |
x3 - 3x2 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
3x2 -1 (x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3x -1)(x4 - 2x2 +1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x7 |
|
|
|
0 = G + H , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
0 = 5A = 6 A -G -3H , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
0 = 4B - 2A - 6B - 3G - 2H + 3H , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
0 = -5A + 3C - 2B - 6C + 3G + 6H - H , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
0 = -4B + 3D - 6D - 2C + 3G + H - 6H , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
0 = -3C + E - 2D - 6E - 3G + H , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 = -2D - 2E - 6F -G + 3H , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
1 = -E - 2F + G - H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
И з решения системы имеем: A = |
1 |
, B = - |
1 |
, C = - |
5 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||||||||||||
D = |
23 |
, E = - |
1 |
, F = - |
11 |
, G = |
1 |
, H = - |
1 |
. Таким |
|
|
|
образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
интеграл будет равен |
|
|
1 |
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
1 |
|
11 |
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
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|
x5 - |
x4 - |
|
x3 + |
x2 - |
x - |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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3 |
6 |
|
|
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36 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
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36 |
|
|
|
18 |
|
+ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
- |
|
2 |
( |
|
2 - |
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
(x -1)4 (x +1)2 |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
(x |
1) |
|
x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 dx |
|
|
|
|
1 dx |
|
|
|
|
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12x5 -6x4 - 20x3 + 23x2 - 2x -11 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
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|
ò |
|
|
- |
|
ò |
|
= |
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+ |
||||||||||||||||||||||||
6 |
x -1 |
6 |
x +1 |
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|
|
|
|
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|
(x -1)4 (x +1)2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
ln |
|
|
6x -1 |
|
+ C. |
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
x +1 |
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
6 |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
1.7. Интегралы от иррациональных функций
Интегралы от иррациональных функций берутся только в некоторых частных случаях. Основным приемом интегрирования является отыскание таких подстановок,
49
которые |
приводят |
|
подынтегральное |
выражение |
||||
рациональному виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1°. |
|
æ |
|
m1 |
|
m2 |
ö |
R — |
Интегралы вида R ç x, x n1 |
, x n2 , ...÷dx, где |
|||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
некоторая рациональная функция; m1, m2 , n1, n2 — целые числа, приводятся к интегралу от рациональной функции с
помощью подстановки x = tk , dx = ktk -1dt, |
где k — общий |
|||||||||||
знаменатель дробных показателей. |
|
|
|
|
||||||||
2°. Интегралы |
|
|
|
|
|
|
более |
|
общего |
|||
òR (x, (ax + b)a , (ax + b)b |
... )dx |
|
или |
|
|
|
|
|||||
ò |
æ |
æ ax + b öa |
|
æ ax + b öb |
|
ö |
||||||
R ç x, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, ... ÷dx |
||
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|||||||
ç |
|
|
|
|
÷ |
|||||||
|
è |
è cx + d ø |
|
è cx |
+ d ø |
|
ø |
приводятся к рациональному виду с помощью аналогичных
подстановок |
|
|
ax + b = tk , |
|
ax + b |
= tk , |
где k |
|
— |
общий |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx + d |
|
|
|
|
|
|
||||
знаменатель дробей a, b, ... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3°. Интеграл |
|
|
от |
|
|
|
|
|
дифференциального |
би |
||||||||
ò xm (a + bxn )p dx, |
где m, n, p, a, b |
|
— постоянные |
числа, |
||||||||||||||||
преобразуется |
|
с |
помощью |
|
|
подстановкиx = z |
1n |
к |
виду |
|||||||||||
1 |
ò z |
q |
(a + bz ) |
p |
dz, |
где q = |
|
m +1 |
-1 |
и |
приводится |
|
к интегралу |
|||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||
от рациональной функции в следующих трех случаях: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1. Если |
p |
— целое, то |
подстановка z = t n1 , |
где n |
— |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
знаменатель дроби q = m1 . n1
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