Учебное пособие 1733
.pdf
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
+ C = |
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + bt 2 |
|
|
|
|
|
ax2 + b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
д) Заменяем ex = t, dx = |
dt |
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (t -3) |
|
|
||||
ò |
|
|
ex dx |
|
= ò |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
dt |
|
= ò |
|
|
= |
||||||||||||
e |
2 x |
- 6e |
x |
+13 |
t |
2 |
- 6t |
+13 |
|
|
(t -3) |
2 |
+ 4 |
(t |
- 3) |
2 |
+ |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
arctg |
|
t -3 |
+ C = |
1 |
arctg |
|
ex -3 |
+ C. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1.4. Интегрирование по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1°. Формула интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òudv = uv - òvdu. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение следует представить в виде произведения двух множителейu и dv. За u выбирается функция, которая при дифференцировании упрощается, а за
dv выбирается такое выражение, содержащее dx, из которого посредством интегрирования можно найти v.
По этой формуле отыскание интеграла отudv сводится к отысканию интеграла от vdu, причем применять ее следует в тех случаях, если интеграл от vdu проще исходного интеграла
2°. Есть целые классы интегралов, например:
ò xn ln xdx, òxneaxdx, òxn sin bxdx,
ò xn cos bxdx, òxn arcsin bxdx, òxnarctg bxdx,
òeax sin bxdx, òeax cos bxdx
ит.д ., которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно и в некоторых случаях получают выражение, из которого определяется исходный интеграл. Так последние два интеграла могут быть найдены по формулам
21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òe |
ax |
cosbxdx = |
b sin bx + a cos bx |
|
e |
ax |
+C ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
+ b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òe |
ax |
sinbxdx |
= |
|
a sin bx - b cos bx |
e |
ax |
+C . |
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
+ b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Интегрируя |
|
по |
|
|
|
частям, можно |
|
вывести |
|
|
формулы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"понижения степени" для интегралов |
|
|
|
n -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òsinn xdx = - |
1 |
|
cos x sin n -1 x + |
|
òsin n -2 xdx, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
òcos |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n -1 |
òcos |
n-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx = |
|
|
sin x cos |
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx. |
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4.1. Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ò xe |
|
dx; б) ò x arctg xdx; |
в) òln xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ò x2 sin xdx; |
д) ò |
|
|
xdx |
; е) |
òarcsin xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Решение. а) Положим x = u и e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
dx = dv, |
|
|
тогда du = dx и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v = 2e |
2 |
. Запишем |
по |
|
формуле |
|
|
|
|
|
интегрирования |
|
по |
|
|
частям |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграл в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ò xe |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
- 2òe |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
(x - 2)+ C. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
dx = 2xe |
2 |
2 |
dx = 2xe |
2 |
- 4e |
2 |
+ C = 2e |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) Положим arctg x = u, |
|
|
xdx = dv, |
|
тогда du = |
|
dx |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
||||
v = |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
. По формуле (1) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò x arctg xdx = |
x2 |
|
|
arctg x - |
|
1 |
|
ò |
|
x2 dx |
|
|
= |
|
|
x2 |
|
arctg x - |
|
1 |
ò |
|
|
(x2 |
+1 -1)dx |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
x |
2 |
+1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
arctg x - |
|
|
|
òdx + |
|
|
|
ò |
|
|
= |
|
|
|
|
(x |
|
arctg x - x + arctg x )+ C. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
x2 +1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
Положим |
|
ln x = u, dx = dv, |
|
|
|
|
|
|
тогда du = |
dx |
, |
v = x. |
|
|
По |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
формуле (1) имеем
22
òln xdx = x ln x - ò x dxx = x (ln x -1)+ C.
г) Положим x2 = u, sin xdx = dv, тогда du = 2xdx, v = -cos x. По формуле (1) имеем
ò x2 sin xdx = -x2 cos x + 2òx cos xdx.
Применим еще раз формулу интегрирования по частям, положив x = u и cos xdx = dv, тогда получим
òx2 sin xdx = -x2 cos x + 2 (x sin x - òsin xdx )=
=(2 - x2 )cos x + 2x sin x + C.
д) Положим x = u, |
dx |
|
= dv, |
тогда du = dx, v = -ctg x. |
|||||
sin2 |
|
||||||||
По формуле (1) имеем |
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
||
ò |
|
= -xctg x + òctg xdx |
= -xctg x + ln |
sin x |
+ C. |
||||
sin2 x |
|||||||||
|
|
|
е) Полагаем arcsin x
По формуле (1) имеем
òarcsin xdx =
+ 1 ò(1- x2 )-1
2
2
= u, dx = dv, |
тогда du = |
dx |
, v = x. |
|||||||
1- x2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x arcsin x - ò |
|
xdx |
|
= x arcsin x + |
|
|||||
|
1- x |
2 |
|
|||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
= x arcsin x + 1- x2 |
+ C. |
|||||||||
d 1- x2 |
|
4.2. Найти интегралы: а) ò |
x2 + k dx; б) òcos (ln x |
dx) ; |
|||
в) òe2x cos 3xdx. |
|
|
|||
Решение. а) |
Положим |
x2 + k = u, dx = dv, |
тогда |
||
du = |
xdx |
, v = x. |
По формуле (1) имеем |
|
|
|
|
||||
|
x2 + k |
|
|
|
23
ò |
x |
2 |
+ k dx = x x |
2 |
+ k - ò |
x2dx |
|
= x x |
2 |
+ k - ò |
|
x2 + k - k |
dx = |
|||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ k |
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ k |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= x x2 + k - ò x2 + k dx + k ò |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x x2 + k + k ln |
x + x x2 + k |
- ò x2 + k dx. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Перенося последний интеграл в левую часть равенства, |
|||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2ò x2 + k dx = x x2 + k + k ln |
x + x2 + k |
, |
|
|
||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
1 |
(x x2 + k + k ln |
|
|
|
|
|
|
|
)+ C. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ò x2 + k dx = |
|
x + x2 + k |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
б) Положим cos (ln x) = u, dx = dv, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
du = - |
sin (ln x) |
dx, |
v = x. По формуле (1) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òcos (ln x)dx = x cos (ln x )+ òsin (ln x )dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Положим теперь sin (ln x) = u, |
dx = dv, |
|
|
тогда du = |
cos (ln x) |
dx, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x
v = x. Применяя еще раз формулу (1), получим
òcos (ln x)dx = x cos (ln x )+ x sin (ln x )- òcos (ln x )dx.
Переносим последний интеграл в левую часть
2òcos (ln x)dx = x (cos ln x +sin ln x)
откуда
ò cos ln xdx = |
x |
(cos ln x + sin ln x )+ C. |
|
||
2 |
|
|
в) Полагаем cos 3x = u, e2 x dx = dv, тогда du = -3sin 3xdx, |
v = 1 e2 x . По формуле (1) имеем
2 |
1 |
|
3 |
|
|
òe2 x cos 3xdx = |
e2 x cos 3x + |
òe2 x sin 3xdx. |
|||
|
|
||||
2 |
2 |
|
24
Полагаем теперь sin 3x = u, e2 x dx = dv, тогда
du = 3cos 3xdx, v = 1 e2 x . Применим еще раз формулу (1) 2
òe2 x cos 3xdx = |
1 |
e2 x cos 3x + |
3 |
e2 x sin 3x - |
9 |
òe2 x cos 3 xdx. |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
||||
Переносим последний интеграл в левую часть |
|
|||||||||||||||
13 |
|
2 x |
|
1 |
|
|
2 x æ |
3 |
ö |
|
||||||
|
|
|
e |
|
|
cos 3xdx = |
|
|
e |
çcos 3x + |
|
|
|
sin 3x ÷ |
, |
|
4 ò |
|
|
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
откуда
òe |
2 x |
|
2 |
|
2 x æ |
3 |
ö |
|
|
|
cos 3xdx = |
|
|
e |
çcos 3x + |
|
sin 3x ÷ |
+ C. |
|
|
13 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
è |
ø |
|
Этот |
же |
|
результат |
|
можно |
получить, еслисразу |
|||
воспользоваться формулами (2). |
|
|
|
|
|
||||
4.3. Найти интегралы: а) òe |
x |
dx; б) ò |
x2arctg x |
dx; |
|||||
|
1+ x |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ò |
arcsin |
x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1- x |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Сделаем замену переменной x = t2 , dx = 2tdt, |
|||||||||
тогда òe |
x dx = 2òtet dt. |
|
|
|
|
|
Теперь обозначим t = u, et dt = dv, тогда du = dt, v = et . По формуле (1) будем иметь
òtet dt = tet - òet dt = et (t -1)+C.
Переходя к переменной x, окончательно получим
òe x dx = 2e x ( x -1)+ C. |
|
|||
б) Делаем замену arctg x = t, тогда |
dx |
= dt и x2 |
= tg2t. |
|
1+ x2 |
||||
|
|
|
Интеграл примет вид
òx2arctg x dx = òt tg2tdt. 1+ x2
25
|
|
|
Полагаем |
t = u, |
tg2tdt = dv, |
|
тогда du = dt, |
v = tg t - t. По |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (1) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
òt |
tg2tdt = t (tg t - t ) |
- ò |
|
|
tg( t - t )dt = t (tg t - t )+ ln |
|
cos t |
|
+ |
t2 |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Переходя к переменной х, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ò |
x2arctg x |
dx = arctg x (x - arctg x)- |
1 |
ln (1 |
+ x |
2 |
)+ |
1 |
(arctg x ) |
2 |
+ C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + x2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= x arctg x - |
|
1 |
ln (1 + x2 )- |
1 |
(arctg x )2 + C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
|
Делаем |
|
замену arcsin |
x = t, |
|
|
|
|
тогда |
|
x = sin t, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
= 2sin tdt. Интеграл примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
arcsin x |
dx = 2òt sin tdt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- x |
|
|
|
:частямt = u, |
sin tdt = dv |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Интегрируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
|
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
du = dt, v = -cos t. Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
òt sin tdt = -t cos t + òcos tdt = -t cos t +sin t + C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ò |
arcsin |
|
x |
|
dx = -2arcsin |
|
x × |
1- x + 2 |
|
|
x + C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1- x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4.4. Найти интегралы: а) òcos7 xdx; б) òsin10 xdx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. а) Воспользуемся второй формулой (3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
òcos7 xdx = |
1 |
sin x cos6 x + |
6 |
òcos5 xdx = |
1 |
sin x cos6 x + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
6 |
æ 1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x cos |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
xdx |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
ç |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
cos |
|
÷ = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
5 ò |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
26
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 æ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
æ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
öö |
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
sin x cos |
|
x + |
|
|
|
ç |
|
|
|
sin x cos |
|
|
|
x + |
|
|
|
ç |
|
|
|
sin x cos |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
sin x |
÷÷+ C = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
ø |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
(cos |
2 |
|
|
|
+ 2) |
öö |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
sin x |
çcos |
|
|
x |
+ |
|
|
|
çcos |
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
÷÷ + C. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
б) Воспользуемся несколько раз первой формулой (3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
òsin10 xdx = - |
1 |
cos x sin9 x + |
9 |
|
|
òsin8 xdx = - |
1 |
|
cos xsin 9 x + |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
æ |
|
|
|
|
1 |
|
cos x sin |
7 |
x |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
xdx |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
cos x sin |
9 |
x + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
÷ = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 æ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
æ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
ò |
|
|
|
|
4 |
|
|
öö |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
- |
|
|
|
|
cos x sin |
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
ç- |
|
|
|
cos x sin |
|
|
x + |
|
|
|
|
sin |
|
xdx ÷÷ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
øø |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
cos x sin |
9 |
|
|
x + |
|
|
9 æ |
|
|
1 |
|
cos x sin |
7 |
x + |
7 |
|
|
æ |
|
|
|
|
1 |
|
cos x sin |
5 |
x + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
5 |
|
æ |
- |
1 |
|
cos x sin |
3 |
|
x |
+ |
|
3 |
|
|
|
sin |
2 |
xdx |
ööö |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷÷÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
øø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
cos x sin |
9 |
|
|
x + |
|
|
9 æ |
|
|
1 |
|
cos x sin |
7 |
x + |
7 |
|
|
æ |
|
|
|
|
1 |
|
cos x sin |
5 |
x + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5 |
æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
æ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ö ööö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+ |
|
|
ç |
- |
|
|
|
|
cos x sin |
|
|
x |
+ |
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
cos x sin x + |
|
|
÷÷ |
÷÷+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø ø |
øø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
1.5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен
1°. |
|
Рассмотрим интеграл вида ò |
|
|
|
|
Ax + B |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ax |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Путем |
|
|
|
выделения |
|
полного |
|
|
|
|
|
|
|
квадрата |
|
|
|
|
в |
|
квадратном |
|||||||||||||||||||||||||||||||
трехчлене |
|
|
|
и |
|
|
заменыax2 + bx + c = t, |
|
x + |
b |
|
= z |
|
|
|
|
интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
приводится к табличным (2,9,11) интегралам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
(2ax + b)+ B - |
Ab |
|
|
|
|
|
A |
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
æ |
|
|
Ab ö |
|
|
|
dz |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2a |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
ç B - |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
|
ax |
2 |
+ bx + c |
|
|
|
2a |
ò t |
|
|
|
a |
|
|
ò z |
2 |
± k |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
2a ø |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где k |
2 |
|
|
|
c |
æ |
|
b ö2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
- ç |
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
С помощью аналогичных преобразований решаются |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегралы вида |
|
|
Ax + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
dx; |
ò |
|
ax |
2 |
|
+ bx + cdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
2 |
+ bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c |
Mx + N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2°. Интегралы вида ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
сводятся к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(mx + n) |
k |
ax |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
рассмотренным |
|
выше |
интегралам |
|
|
с |
|
|
помощью |
|
|
подстановки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
mx + n = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3°. Интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
a xm + a xm-1 +... + a |
m |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
находятся |
|
|
методом |
|
|
|
выделения |
|
|
|
алгебраической |
|
части по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
a xm |
+ a xm-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
+ ... + a |
m |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
= (A0 x |
m-1 |
+... + Am-1 ) |
ax |
2 |
+ bx + c + Am ò |
dx |
, |
(1) |
|
|
|||||||
|
|
ax2 + bx + c |
|
|
|||||||||||||
где |
|
коэффициенты Ai (i = 0,1, |
... ,m) |
|
находятся |
|
|||||||||||
приравниванием коэффициентов правой и левой части при |
|
||||||||||||||||
одинаковых |
|
|
степенях |
|
|
|
неизвестныхx |
после |
|
||||||||
дифференцирования |
равенства |
|
и |
|
освобождения |
его |
от |
||||||||||
знаменателя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичным путем можно найти и интеграл |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ò(a0 xm + a1xm-1 +... + am ) |
ax2 + bx + cdx = |
dx |
|
|
|
||||||||||
= (A0 x |
m+1 |
+ A1x |
m |
+ ... |
+ Am+1 ) ax |
2 |
+ bx + c + Am+2 ò |
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|||||||||||||
Неопределенные |
коэффициенты |
|
определяются |
путем |
|
дифференцирования правой и левой части и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x .
4°. Интегралы вида |
I = ò |
(Mx + N )dx |
, |
где |
|
(x2 + px + q)n |
ax2 + bx + c |
корни трехчлена x2 + px + q мнимые, находятся подстановкой x = at + b . Интеграл в этом случае принимает вид
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
ò |
jn (t )dt |
, |
где jn |
(t ) |
— |
полином |
|
(At 2 + Bt + C )n |
A1t2 + B1t + C1 |
||||||
степени n . |
коэффициенты B и B1 |
|
|
|
|||
|
Приравнивая |
|
нулю, |
получим |
уравнения B = 2ab + p (a + b )+ 2q = 0; B1 = 2aab +b (a + b )+ 2c = 0
для определения вещественных значений a и b .
При этом интеграл представляется суммой интегралов двух видов:
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2k +1dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò (At 2 + C )n |
|
|
|
|
|
A1t2 + C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2k dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
(k = 0,1, 2, |
... ), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò (At 2 + C )n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1t2 + C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
которые интегрируются подстановками, соответственно, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A t2 |
|
+ C = u2 |
|
и A + C t -2 |
= v2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Если p = b = 0, то интеграл |
|
|
представляется |
|
|
суммой |
|
двух |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
I = M ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ N ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x2 + q)n |
|
ax2 + c |
|
(x2 + q )n |
ax2 + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
которые |
|
|
|
|
|
находятся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подстановками, соответственно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ax2 + c = u2 и a + cx-2 = v2 . |
|
|
|
|
|
( |
5x - 3 |
) |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5.1. Найти интегралы: а) |
ò |
б) ò |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- 6x - |
7 |
|
3x |
2 |
+ 4x + 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
в) ò |
|
|
xdx |
|
|
|
; г) ò |
|
|
|
x |
+ 3 |
|
dx; д) |
ò |
|
|
|
|
|
x2 + 2x -2dx; е) ò |
|
|
|
|
2x dx |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1- x - x |
2 |
|
2 |
|
+ 2x |
|
|
|
|
|
2 |
2 x |
|
x |
+ 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 4 ×2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Решение. а) Выделим в знаменателе полный квадрат |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
(5x -3)dx |
|
|
|
|
|
= ò |
|
|
(5x - 3)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 - 6x + 9 -16 |
|
|
|
(x - 3)2 -16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и сделаем замену x - 3 = t, |
dx = dt, |
x = t + 3, |
тогда получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5t +12 |
|
5 |
|
|
d (t 2 -16) |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
t -4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+12ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ln |
t |
|
-16 |
+ |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
+ C = |
|||||||||||||||||||
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
-16 |
|
2 |
|
|
|
|
-16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x - 7 |
|
|
|
2 ×4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 |
|
|
x2 - 6x - 7 |
|
3 |
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
+ |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Выделим в знаменателе полный квадрат
30