Учебное пособие 1733

стная функция Du

от

переменной x ,

которая изменяется в

известном из условия задачи интервале x Î[a,b] .

б) Представим дифференциал функции du в виде произве-

дения du = f (x )dx , где f(x) - заданная из условия задачи фун-

кция от х.

дифференциал функцииdu при

в) Поскольку

dx ® 0

и

приращение

Du

есть

бесконечно

малые величины

одного

порядка

малости, то

искомая

величина

находится

интегрированием du в пределах от x = a до x = b , т.е.

b

a

1.1. Найти площадь криволинейного треугольника, ограни-

ченного

параболой y = x2 , осью

Ox

и прямой x = 1 :а)

рас-

сматривая определенный интеграл как предел интегральной

суммы; б) посредством дифференциала искомой площади.

Решение. а) Разобьем отрезок интегрирования[0,1] на п

равных

n -1

частей

точками

деления

с

абсц

0,

1

,

2

,...,

,1 и

выберем

из

полученныхчастичных

n

n

n

1

2

n -1

отрезков правые концы,

т.е. x =

, x

=

,..., x

n-1

=

, x

n

=1 .

1

n

2

n

n

Длина

каждого

из

этих

частичных

промежутков

равна

Dx

=

1

.

k

n

f (x

)= æ

1

ö2

, f (x

)=

æ 2 ö2

,..., f (x

)=

æ n ö2

2

ç

÷

n

ç

÷

1

ç

÷

è n

ø

è n ø

è n

ø

и приближенное значение каждого элемента DSk

выразится в

виде произведения

DSk =

æ k ö2 1

k 2

ç

÷

=

.

n

n

3

è n ø

Составим сумму таких произведений

n

n

2

1

Sn = åDSk

= å

k

=

(12 + 22 + 32 + ... + n2 ).

3

n

k =1

k =1 n

Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел

å k 2 = n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) ,

n

находим

k =1

6

Sn

=

1

æ

n

3

+

n

2

+

n

ö

=

1

+

1

+

1

.

ç

÷

3

2

n

è

3 2 6

ø

3 2n 6n

Искомая площадь

определяется

пределом

приDxk ® 0 ,

т.е. при n ® ¥

1

1

1

1

æ

ö

S = lim ç

+

+

÷

=

.

2

3

n®¥ è

3 2n 6n

ø

есть площадь прямоугольника со

сторонамиy и dx, т.е.

dS = ydx .

Подставляя сюда значение функции и интегрируя в задан-

ных пределах a = 0 , b =1, получим

S = ò01 x2dx =

x3

1

=

1

.

3

0

3

S = òab

f (x )dx = òab ydx .

(1)

2°. Площадь криволинейной трапеции cCDd (рис. 3.3),

прилежащей к оси Oy находится по формуле

S = òcd j ( y )dy = òcd xdy .

(2)

Рис.3.2

Рис.3.3

3°. Если фигура образована пересечением кривых так, что

любая прямая, параллельная оси Oy , пересекает ее границы

не более чем в двух точках(рис. 3.4), то ее площадь равна

разности

площадей

соответствующих

криволинейных

S =

b

(

f

2

(

x - f

(

x

dx =

b

(

y

2

- y

dx .

(3)

òa

)

1

))

òa

1 )

Рис.3.4

Рис.3.5

Если фигура образована пересечением кривых так, что лю-

бая прямая,

параллельная оси Ox , пересекает ее границы не

более, чем

в двух точках (рис. 3.5), то ее площадь

определяется по формуле

))

S =

d

j

2 (

y -j

y

dx =

d

x

2

- x

dy .

(4)

òc (

)

1 (

òc (

1 )

S = òab ydx = òaby (t )j¢ t( dt) .

(6)

2

осью ординат и прямыми y =1, y = -3 ; г) y = x2 , y2 = -x ;

д) y = x2

, y = x3

-

x2

, x = ±1; е) y = xe 2 и ее асимптотой;

ìy = x + 2;

í

= 9x.

îy2

Откуда

(x + 2)2

= 9x

или x2 - 5x + 4 = 0 . Точки

пересечения x

=

5

±

25

- 4 =

5

±

3

; x

= 4; x = 1 .

1,2

2

4

2

2

1

2

4

4

4

æ

2

3

æ x2

öö

4

S = ò1 ëé

9x -(x +2)ûùdx =3ò1

xdx -ò1

(x +2)dx = ç3

x 2

-ç

+2x ÷÷

=

3

2

è

è

øø

1

æ

3

2

ö

4

=ç

2x2 -

x

-2x÷

= 2×8-8-8-2+

1

+2 =

1

.

è

2

ø

1

2

2

1

4 dx

2

3

1

4

2

2

S = ò0

xdx + ò1

=

x 2

+ ln

x

=

+ ln 4

- ln1 =

+ 2ln 2 .

x

3

0

1

3

3

S =

1

ò-13 y2dy =

1

y3

1

1

(1+ 27) =

14

=

.

2

6

-3

6

3

0

æ

2

2

x

3

ö

0

2

1

1

S = ò-1

(

(-x) - x2 )dx = ç

-

(-x 3) -

÷

=

-

=

.

3

è

3

ø

-1

3 3 3

1

æ

x

3

x

4

ö

1

2

S = ò-1

(x2

- x3 )dx = ç

-

÷

=

.

3

è

4

ø

-1

3

y = kx + b : k = lim

y

= lim e-

x2

= 0, b = lim y = lim

x

= 0 ,

2

2

x®¥ x

x®¥

x®¥

x®¥

x

e 2

Рис.3.12

Вследствие

симметрии, достаточно

найти

половину

площади

1

¥

-

x2

b -

x2

æ

x

2

ö

S = ò0

xe 2 dx = - blim®¥

ò0 e 2 d ç

-

÷

=

2

è

2

ø

= - lim e

-

x2

b

æ

-

b2

ö

2

= - lim çe

2

-1÷ =1, S = 2.

b ®¥

b ®¥

ç

÷

0

è

ø

функция

на

промежутке

интегрирования

отрицательна

x (x - a) £ 0

при x Î[0, a] . Следовательно,

найденный

результат надо взять с противоположным знаком. Таким

образом, вся площадь будет равна S =

8

a a .

2.2. Найти

15

площадь,

ограниченную:

а)

эллипсом

x = a cos t, y = b sin t ;

б)

одной

аркой

циклоиды

x = a (t - sin t ), y = a (1- cos t )

и

(

осьюx;

в)

астроидой

x = acos3 t

y = sin3 t ; г) кривой x = 2

t2

)

(

4

-t 2

)

.

-1 , y = t

а при x = a, t = 0 . Таким образом

2

p

1

p

0

2

æ

ö

2

S = -4ò

p

absin

t dt = 2abò02 (1-cos 2t )dt = 2ab çt -

sin 2t ÷

= pab.

2

4

è

ø

0

б) При x = 0,t = 0 ; при y = 0,t = 2p . По формуле (6) имеем

S = ò02p a2 (1- cos t )2 dt = a2 ò02p (1- 2 cost + cos2 t )dt =

2

æ

3

1

ö

2p

2

= a

ç

t

- 2sin t +

sin 2t ÷

= 3pa

.

2

4

è

ø

0

При

x = 0, t =

p

;

при

y = 0,t = 0 . Отсюда по формуле (6)

вся

2

площадь будет равна

p

0 3a2 sin3 t cos2 t sin tdt =

3

)

S = -4

a2

2

1-cos 2t -cos2

2t +cos3 2t

dt =

p

(

ò

2

ò0

2

3

éæ

1

ö

p

1

p

1

p

ù

2

2

2

ò02 (1-sin

2t )d sin 2t ú

=

a

êçt -

sin 2t

÷

-

ò02 (1-cos 4t )dt +

=

2

êè

2

ø

0

2

2

ú

ë

û

3

2

æp

p ö

3

2

=

a

ç

-

÷

=

pa

.

2

2

4

8

è

ø