Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1733

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

в) r = a sin 3 j ; г) логарифмической спирали r = aemj

находящейся внутри круга r = а.

Решение. а)Длина дуги первого витка ( 0 £ j £ 2p спирали Архимеда определяется по формуле (3) и равна

(m > 0) ,

)

L = ò (aj 2)+ a2 dj = a ò 1 +j2 dj

Интегрируя по частям 1 +j 2

= u,

dj = dv,

j = v,

du =

j dj

, получим

1+j2

dj + ln(j +

)

2p ö

- ò

1 +j

L = açj

÷ ,

откуда

0 0

0 ø

L =

(j 1+j2 + ln (j + 1+j2 ))

20p = ap 1+ 4p 2 +

ln (2p + 1+ 4p 2 ).

б)

Вследствие

симметрии

кардиоиды

относительно

полярной оси

достаточно вычислить половину ее длины. По

формуле (3) имеем

a2 (1+ cosj )2 + a2 sin2 j dj = 2

L = 2 ò

2aò 1+ cosj dj =

= 4aòcos

dj = 8a sin

= 8a .

131

в) Изменяя φ

от0 до Зπ, получим

кривую (рис. 3.33).

Находим,

что r¢ = a sin2

cos

Отсюда

по

формуле (3)

имеем

L = ò

a2 sin6

+ a2 sin4

cos2

dj = a ò sin2

a 3p

2j ö

a æ

ç1- cos

÷dj =

çj -

sin

j ÷

ap .

3 ø

2 è

3 ø

Рис. 3.33

г) При φ = 0 из уравнения логарифмической спирали находим, что r = а. Следовательно, φ изменяется от - ¥ до 0.

Представим логарифмическую спираль и круг r = a. Находим производную r¢ = amemj . Длина дуги логарифмической спирали, находящейся внутри круга, по формуле (3) равна

0 0

L = ò a2emj + m2a2e2mj dj = a 1+ m2 ò emj dj =

-¥ -¥

= a 1+ m2 lim 1		0	emj d (mj )=	a	1+ m2 lim emj	0
		0
		òb

b ®-¥
b ®-¥	m			m	b ®-¥	b
	m			m

=	a	1+ m2 .
	m

132

4.4. Найти длину дуги пространственной кривой: а)

одного витка винтовой линии x = a cos t, y = a sin t,

z = ct ;

6) y =

ln x , z =

от x = 1 до x = 2 .

Решение.

a) При изменении t от 0 до 2π получим

один

виток.

Находим

производные x& = -a sin t,

y& = a cos t,

z& = c .

Длина дуги по формуле (4) будет равна

L = ò a2 sin2 t + a2 cos2 t + c2 dt =

a2 + c2 ò dt = 2p

a2 + c2 .

б)

Запишем

уравнение

пространственной

кривой

Пусть x =

t, тогда

y =

ln t, z =

t 2

параметрическом

виде.

;

при

x=1,

t=1;

при

x=2,

t=2.

Найдем

производные

x& =1,

y& =

z& = t

и воспользуемся формулой (4). Тогда

4t4

+ 4t2 +1

2 æ

L = ò 1+

= ò

dt = òçt +

÷dt =

1 è

(t 2 + ln t )

2 =

(3 + ln 2).

3.5. Площадь поверхности вращения

Если поверхность образована вращением дуги АВ плоской кривой у = f(x) вокруг оси Ох (рис. 3.34), то площадь поверхности, образованная вращением дуги, определяется по формуле

b	b	1+ (y¢ )2 dx .
S = 2p ò ydl = 2p ò y		1+ (y¢ )2 dx .	(1)
a	a	осиОу площадь
При вращении дуги	вокруг	осиОу площадь	поверхности

вращения определяется по формуле

133

d	d
	¢ 2	(2)
S = 2p ò xdl = 2p ò x 1 + (x )dy .		(2)
c	c

Рис. 3.34

Если дуга задана параметрическими уравнениями х = x(t),

у = y(t), α < t < β , то площадь поверхности вращения вокруг оси Ох равна

b
S = 2p ò y(t) (x&(t )2)+ (y&(t )2)dt .	(3)
a
Если дуга кривой задана в полярной системе координат
r = r (j ), a £ j £ b , то
b
S = 2p ò r sin j r2 + (r¢ )2 dj .	(4)
a

Если дуга кривой вращается вокруг произвольной , осито площадь поверхности вращения определяется по формуле

b
S = 2p òRdl ,	(5)
a

где R — расстояние от произвольной точки кривой до оси вращения; dl — дифференциал дуги; а, b — пределы интегрирования, соответствующие концам дуги. Здесь R и dl следует выразить через переменную интегрирования.

5.1.Найти площадь поверхности, образованной

вращением: а) цепной линии y = ach x вокруг оси Ох от a

134

х = 0 до х = а; б) эллипса	x2	+	y2	=1 вокруг оси Ох и оси Оу;
	a2		b2

в) петли кривой 9ay2 = x(3a - x)2 - вокруг оси Ох и оси Оу, Решение. а) Поверхность, образованная вращением дуги

цепной линии вокруг оси Ох показана на рис. 3.35. Находим

	y¢ = sh	x	æ		¢ ö2		x
производную			и значение 1 + ç y	x	÷	= ch	a	. Тогда по
		a
			è		ø

формуле (1) имеем

2 x

æ a

S = 2p òach

dx = paòçch

+1÷dx =paç

+ x ÷

= pa

sh2

1÷.

Рис. 3.35

б) Пусть эллипс вращается вокруг оси Ох, причем а>b,

тогда y

= b

- a2 x ,

= - a2 x .

Воспользуемся

формулой

(1) и найдем подынтегральную функцию

y 1+ (y

+ (yy

) =

- a2 x

+ a4 x

= b

a2 - a2 - b2

x2 = b

a2 - e 2 x2

135

где

a2 - b2 = c2 ,

= e

эксцентриситет

эллипса. Таким

образом,

S = 2p ò a2 -e 2 x2 dx = 4p b

ò a2 - e 2 x2 dx.

-a

Интегрируя по частям:

a2 -e 2 x2

= u,

dx = dv;

-e 2 xdx

= du, x = v , имеем

a2 - e 2 x2

ö a

S =

- e

arcsin

ø 0

= 2p b (a

a2 -e 2 x2

+ a2 arcsin e )= 2pb(b + arcsin e ).

вокруг Oy,оси

Если

эллипс

вращается

то

пользуемся

формулой (2): x

= a

= -

x 1+ (x¢ )2 = x2 + (xx¢ 2) = a2 -

b2 +

a2 -b2

y2 =

b2 +

y2 .

c 2

S = 2p

b -òb

+ b 2 y

dy .

Интегрируя по частям:

b2 + c2

y2 = u,

dy = dv;

ydy

du =

v = y,

получим

b2 +

136

1 y b2 + c

y 2 + b

ö b

S = 2p a ç

lnç c y + b2 + c

y2 ÷

b ç

ç a

ø -b

= 2p

+ c

b2 + c2

+ c ö

÷ .

+ c

- c ø

Так как b2 + c2 = a2 ,

c = e a , то окончательно имеем

a + e a

1+ e

S = 2p

ç a +

÷ = 2p

ç a +

÷.

2ea a -ea

2ea 1 -e

в) Петля данной кривой описывается текущей точкой при

изменении х то 0	до 3а (рис. 3.36). Дифференцируем
уравнение	кривой 18ayy¢ = (3a - x)2 - 2x(3a - x),
yy¢ = (3a - x)(a - x).	Для нахождения площади поверхности,
6a

образованной вращением петли вокруг оси Ох, преобразуем формулу (1).

Рис. 3.36

137

+ (yy¢

(3a - x)2 (a - x)2

dx =

S = 2p ò

)dx = 2p ò

(3a - x) +

36a

ò(3a - x) a2 + 2ax + x2 dx = p

ò3a2 + 2ax + x2 dx =

3ax

+ ax

= 3pa

3a è

5.2. Найти площадь поверхности, образованной вращением: а) астроиды х = а cos3t, у = аsin3t вокруг оси Ох; б) одной арки циклоиды x = a(t - sint), y = a(1- cost) вокруг ее

оси симметрии.
Решение.	а)	Вследствие	симметрии	астроиды

относительно координатных осей, достаточно найти площадь поверхности, описанной дугой астроиды, лежащей в первом

квадранте ( 0 £ t £	p	).	Воспользуемся			формулой (3). Вся
квадранте ( 0 £ t £		).	Воспользуемся			формулой (3). Вся
2
площадь вращения будет равна
p
4			(3a cos2 t sin t )2 + 3a( sin 2 t cos t)2 dt =
S = 2 ×2p òa sin 3 t			(3a cos2 t sin t )2 + 3a( sin 2 t cos t)2 dt =
0
p 2				12			12
=12p a2 ò sin4 t cos tdt =					p a2 sin5 t	p0 2 =		p a2.


0			5			5

б) При y = 0, cost = 1, t = 0 и t = 2π. Циклоида при t = 2π имеет координату х = 2πа. Следовательно, ось симметрии проходит через точку с координатами(πа, 0). Воспользуемся формулой (5): R = pa - a(t - sin t)=

= a(p - t + sin t ), dl = (x& )2 + y&( 2 dt)	= a2 (1- cos t )2 + a2 sin 2 tdt =
= a 2 1 - cos tdt = 2a sin t dt .	Поверхность	вращения
2

образуется вращением половины арки циклоиды вокруг оси симметрии, т. е. переменная t изменяется от 0 до π.

Таким образом,

138

S = 4p a2 ò(p -t +sin t )sin

dt = 4pa2[2p òsin

- òt sin

dt +

+4òsin

d sin

] = 8pa

-p cos

+ t cos

- 2sin

sin

0 =

= 8p a	2	æ		2	ö		8	p a	2	(3p - 4).
		çp - 2	+		÷	=
		çp - 2	+	3	÷	=	3
		è		3	ø		3

5.3. Найти	площадь	поверхности,	образованной
вращением: а) лемнискаты r2 = 2а2cos2φ вокруг полярной оси;
б) кардиоиды r = a(1 + cosφ) вокруг полярной оси и вокруг
касательной в ее вершине (2π, 0).
Решение.	а) Вследствие	симметрии		лемнискаты

относительно полярной оси достаточно найти половину поверхности вращения. Тогда по формуле (4) имеем

p 4							sin2 2j
S = 2 ×2p ò		2a cos 2j sin j	2a2 cos 2j + 2a2				sin2 2j			dj =
S = 2 ×2p ò		2a cos 2j sin j	2a2 cos 2j + 2a2							dj =
0							cos 2j
	p			p		æ			ö
	p
	4							2
	4			4
= 8pa2	ò	sinj dj = -8p a2	cosj		= 8p a2	ç1-			÷.
= 8pa2		sinj dj = -8p a2	cosj	0	= 8p a2	ç1-			÷.
				0		ç		2	÷
	0					è		2	ø

б) Воспользуемся формулой (4). Пределы интегрирования 0 £ j £ p . Площадь поверхности равна

S = 2p òa(1+ cosj)sin j a2 (1+ cosj)2 + a2 sin 2 jdj =

0
p			j						p	j
= 4pa 2 ò(1+ cosj)sin j cos				dj = -16pa2 òcos4
			2							2
0							0
= -	32	pa2 cos5			j	p	=	32	pa2.


5			2			0	5

d cos j = 2

139

3.6. Вычисление статических моментов и моментов инерции

1°. Статическим моментом материальной точки массыm

относительно оси l				называется произведение ее массы на
расстояние d от оси ml					= md .
Статическим моментом системыn материальных точек
называется сумма произведений масс этих точек m1, m2 ,K, mn
						n
на расстояния			их	от	осиml = åmi di ,			причем расстояния
						i =0			осиl, берутся
точек, лежащих			по	разные		стороны		от	осиl, берутся	с
разными знаками.									линиюy = f(x),
Если	массы		непрерывно			заполняют			линиюy = f(x),
a £ x £ b,	то	статические				моменты			относительно	осей
выражаются интегралами
			b		b
	mx	= òd (x )ydl = òd (x )y					1 + (y¢ )2 dx;
			a		a				(1)
			b		b				(1)
			b		b
	my	= òd (x )xdl = òd (x )x					1 + (y¢ )2 dx;
			a		a
где d (x) - плотность, dl – дифференциал дуги.

Статические моменты относительно координатных осей дуги кривой, уравнение которой дано в полярных координатах

r = r (φ), выражаются формулами

	j2
	mx = ò r sinj	r2 + r¢2 dj,
	j1	(2)
	j2	(2)
	j2
	my = ò r cosj	r2 + r¢2 dj,
	j1

здесь плотность полагается равной единице.

Статические моменты плоской фигуры, ограниченной кривой у = f(x), осью Ох и прямыми х = а, х = b, выражаются интегралами

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.9 Mб3Учебное пособие 1729.pdf
#
30.04.2022311.71 Кб2Учебное пособие 173.pdf
#
30.04.20221.9 Mб3Учебное пособие 1730.pdf
#
30.04.20221.92 Mб8Учебное пособие 1731.pdf
#
30.04.20221.92 Mб2Учебное пособие 1732.pdf
#
30.04.20221.92 Mб4Учебное пособие 1733.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Учебное пособие 1734.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Учебное пособие 1735.pdf
#
30.04.20221.93 Mб8Учебное пособие 1736.pdf
#
30.04.20221.93 Mб12Учебное пособие 1737.pdf
#
30.04.20221.93 Mб6Учебное пособие 1738.pdf