Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1733

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

1	ò					xdx						=	1	ò		xdx
3		x	2	+ 2	2	x +	4	-	4	+	5		3		æ	2 ö2			11
															ç x +		÷	+
					3		9		9		3
																			9
														è		3 ø

и сделаем замену x +																		2		= t, dx = dt, x = t -																														2	,		тогда получим
и сделаем замену x +																				= t, dx = dt, x = t -																															,		тогда получим
															2		3																																3
					1					t -					2						1											tdt										2												dt
							ò			t -					3											ò																			ò
															3
																			dt =																					-																							=
					3					2					11				dt =					3						2						11				-			9										æ					ö2					=
									t		+																		t			+																t 2 + ç								11			÷
											+				9																	+				9																				11
															9																					9
																																																					è			3		ø
									=			1											11				-			2						3														3t				+ C =
												1		ln				t2 +					11							2						3					arctg									3t
														ln				t2 +												9						11					arctg								11
											6										9									9						11													11
						=		1												4		x +						15				-				2								arctg								3x + 2					+ C.
								1		ln			x2 +							4								15								2																3x + 2
										ln			x2 +																							3				11
							6										3											9								3				11													11
	в) Выделим под корнем полный квадрат
							ò														xdx																		=			ò									xdx
							ò					5			-		æ 1				+ 2					x		+ x					2			ö			=			ò			5				æ				1					ö			2
												5					æ 1									x							2			ö									5				æ				1		+ x			ö
												4					ç								2											÷									4				- ç				2		+ x			÷
												4					è 4								2											ø									4				è				2					ø
и сделаем замену x +																		1		= t, dx = dt, x = t -																														1	,		тогда получим
и сделаем замену x +																				= t, dx = dt, x = t -																															,		тогда получим
		1 ö															2																																2
æ		1 ö																																																										1
	çt -	÷ dt								tdt											1								dt															1					æ 5							2 ö	-			1			æ	5			ö
è		2 ø								tdt											1								dt															1					æ 5							2 ö		2					æ	5		2	ö
				=															-																			= -											ç				- t			÷						d ç			- t		÷	-
ò 5				=		ò				5									-		2 ò							5										= -						2 ò					ç				- t			÷						d ç		4	- t		÷	-
ò 5		-t	2			ò				5		-t				2					2 ò							5			-t					2								2 ò					è 4							ø							è	4			ø
4		-t								4		-t																4			-t
4										4																		4
				-		1	arcsin										2t				= -				æ			5		- t					2 ö1/ 2							-			1		arcsin									2t				+ C =
																									ç											÷
						2											5								ç			4								÷									2											5
						2											5								è			4								ø									2											5
											= - 1 - x - x2																			-				1			arcsin									2x +1								+ C.
											= - 1 - x - x2																			-							arcsin																	+ C.
																																	2																5

г) Выделим под корнем полный квадрат

(x + 3)

dx = ò

(x + 3)dx

+ 2x

+1-1

(x +1)

-1

и сделаем замену x +1 = t,

dx = dt, x = t -1,

тогда получим

t + 2

dt =

ò(t2 -1)-

(t2 -1)+ 2ò

= (t2 -1)

-1

+2ln

t +

t2 -1

+ C =

x2 + 2x + 2ln

x +1 +

x2 + 2x

+ C.

д) Выделим под корнем полный квадрат

ò x2 + 2x +1-3 dx = ò (x +1)2 -3 dx

и сделаем замену x +1 = t,

dx = dt,

тогда получим ò

t 2 -3 dt.

При

нахождении

данного

интеграла

воспользуемся

обобщенной формулой (7.п.10.1).

ò t 2 - 3 dt =

(t t2 - 3 - 3ln (t + t2 - 3))+ C =

((x +1)

x2 + 2x - 2 - 3ln (x +1+

x2 + 2x - 2 ))+ C.

е) Сделаем замену 2x

= t,

2x ln 2dx = dt,

тогда получим

d (t - 2)

ln 2

t 2 - 4t + 2

ln 2

t 2 - 4t + 4 - 2

ln 2

(t - 2)2 - 2

t - 2 - 2

+ C =

- 2 - 2

+ C.

t - 2 + 2

2 x

- 2 + 2

2 2 ln 2

5.2. Найти интегралы: а)

;

+1)

+ 2x

+ 2

б) ò

; в) ò

; г)

x 2x - x

-1)

1- x + 2x

- 4x + 3

Решение. а) Сделаем подстановку

x +1 =

, dx = -

тогда получим

= -ò

tdt

= -ò

(x +1)

(x +

t +1

t 2

= -ln

t + t2 +1

+ C = -ln

1+ x2 + 2x + 2

+ C.

x +1

б) Делаем замену x =

, dx = -

получим

t 2

= -ò

tdt

= -ò

x 2x - x

2 - 1

2t -1

d (2t -1)

1 (2t -1)

= -

+ C = -(2t -1) 2 + C = - ç

1÷

+ C.

(2t -

è x

в) Делаем замену x -1 =

, dx = -

, тогда получим

t 2

= -ò

t 2dt

= -ò

tdt

(x -1)

(x -

-1

æ1

-1

1- 2t

-1÷

è t

1- z2

Сделаем еще замену 1- 2t = z

, t =

, dt = -zdz, будем

иметь

(1- z2 )zdz

(1- z

)dz =

3 ö

ç z -

÷ + C

1 x

x -3

1- 2t

- 2t )2

+ C

+ C.

3 (x -1)

г) Сделаем замену x =

dx = -

тогда получим

t 2

-ò

t2 dt

= -ò

tdt

= -ò

tdt

t2 -t + 2

ö2

çt -

Сделаем

еще

заменуt -

= z, t = z +

, dt = dz,

будем

иметь

ç z +

÷ dz

1 æ

= -

ç z

d ç z

2 ò

= - z2 +

+ C = - t2 - t + 2 -

z + z2 +

+ t2 - t + 2

+ C = -

1 - x + 2x2

1 - x + 2x2 +1

+ C.

t -

5.3. Найти интеграл: а) ò

2 + 4x

dx;

(2x +1)dx

+ 2x + 2

б)

(3x

+ 4x + 4)

+ 6x

-1

Решение. а) Воспользуемся формулой (1), тогда получим

x2 + 4x

dx = (A0 x + A1 ) x

+ 2x + 2 + A2

x2 + 2x + 2

Продифференцируем правую и левую часть

x2 + 4x

= A x2 + 2x + 2 + (A0 x + A1 )(x +1) +

x2 + 2x + 2

Приведем к общему знаменателю и приравняем правую и левую части

x2 + 4x = A0 (x2 + 2x + 2)+ (A0 x + A1 )(x +1)+ A2.

Приравниваем неопределенные коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных

										x2	1 = A + A ,
											0	0
										x 4 = 2A0 + A0 + A1 ,
										x0	0 = 2A + A + A .
											0	1	2
	Решая							данную			систему
A =		1	, A =			5	,
A =			, A =				,
0	2				1	2
	2			7		2
A = -				7	. Таким образом, интеграл примет вид
A = -					. Таким образом, интеграл примет вид
2			2
			2
	ò			x	2 + 4x			dx =	1	(x + 5) x2 + 2x + 2 -				7	ò
	ò			2	+ 2x + 2			dx =		(x + 5) x2 + 2x + 2 -					ò
			x		+ 2x + 2			2					2

,уравненийполучим

d (x +1) =

(x +1)2 +1

(x + 5) x2 + 2x + 2 -

+ C.

x +1+ x2 + 2x + 2

б) Воспользуемся подстановкой

x =

at + b

dx =

a - b

dt,

тогда интеграл примет вид

(t +1)2

t +1

(2x +1)dx

I = ò

(3x

+ 4x + 4)

+ 6x -1

= ò

(2at +2b +t +1)(a -b)dt

(3(at +b)

+4(at +b)(t +1)+

) (at +b )

4 t(+1)

+6(at +b )(t +1)- t(+1)

Приравнивая в квадратных трехчленах коэффициенты при t к нулю, запишем систему уравнений относительно a, b

ï	(	)	+8	= 0,
ì6ab + 4	a + b		+8	= 0,
í	(a + b )- 2 = 0,
ï2ab + 6	(a + b )- 2 = 0,
î
откуда a = -1, b = 2.

Интеграл в этом случае будет

I = ò

(

t - 5

)

tdt

+ 8) 15 - 6t

+ 8) 5 - 2t

+8) 5 - 2t

Первый

интеграл

находим

помощью

подстановки

5 - 2t 2

= u2 , t 2 =

(

5 -u

)

, tdt = -

udu, тогда

tdt

= -

u +

+ C =

(t2 + 8)

5 - 2t2

21- u2

6 7

u - 21

= -

(u + 21)2

+ C = -

( x2 + 6x -1 + (x +1) 7 )2

+ C =

6 7

- 21

6 7

4(3x2 + 4x + 4)2

= -

x2 + 6x -1 + (x +1)

+ C.

3 7

2(3x2 + 4x + 4)

Второй

интеграл

решаем

посредством

подстановки

-2 + 5t -2

= v2 ,

= -

vdv, t 2

, тогда

v2 + 2

dv =

v -

+8)

5 -

+ 21

8 3

+ 21

v -

arctg

v + C =

x2 + 6x -1

arctg

8(x2 + 6x -1)

+ C.

8(2 - x)

(2 - x)

Окончательно получим

8(x2 + 6x -1)

I =

x2 + 6x -1

arctg

8(2 - x)

(2 - x)

	1			x2	+ 6x -1 + (x +1)			7	+ C.
	-		ln
		3 7			2 (3x2 + 4x + 4)
1.6. Интегрирование рациональных дробей
1°.	Если		подынтегральная					функция		представляет
							Pm (x)
неправильную рациональную						дробь	Qn (x ) т. е. m > n, то
следует	выделить			целую		часть делением				числителя на

знаменатель «уголком». В этом случае дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, у

которой степень числителя ниже степени знаменателя.
2°.	Интегрирование правильной			рациональной		дроби
Pm (x)	где m < n	производится	разложением		ее на сумму
Qn (x ),
простых	всегда	интегрируемых		.дробейДля		этого
необходимо:			Qn (x)
1. Разложить		знаменатель		на	простейшие

множители, причем могут встретиться следующие случаи: а) корни знаменателя действительны и различны;

б) корни знаменателя действительные и некоторые из них кратные;

в) среди корней знаменателя есть комплексные; г) среди корней знаменателя есть комплексные кратные. В общем случае разложение имеет вид

Qn (x )= a0 (x - a )m × ...	×(x -b )n (x 2 + px + q )k × ... ×(x 2 + cx + d )l ,
где m, n, k,l =1, 2,3,	... ; a0 , a, b, p, q, c, d — постоянные,

причем p2 - 4q < 0, c2 - 4d < 0.

2. Написать схему разложения данной дроби на сумму простых дробей

Pm (x)

Qn (x )=

+ ... +

... +

x - a

(x - a)2

(x - a )m

x -b

(x -b )n

M1 x + N1

+ ... +

M k x + Nk

C1x + D1

+ ... +

Cl x + Dl

(x2 + px + q )k

(x2 + cx + d )l

x2 + px + q

x2 + cx + d

где A1 , A2 , ...

, Am , B1 , ... , Bn , M 1 ,

... , M k , N1 , ...

, N k , C1, ... , Cl ,

D1 , ... , Dl

—

некоторые

неопределенные

постоянные. Для

каждого

множителя

разложении

n (

)

знаменателяQ x

выписывается столько простых дробей, какова его кратность

(m, n, k,l ). Знаменателями простых дробей являются целые

степени каждого множителя, начиная с первого и кончая той степенью, которую множитель имеет в разложении.

3.Освободиться от знаменателей, умножая обе части равенства на Qn (x).

4.Составить систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхх в обеих частях тождества (метод неопределенных коэффициентов). Число уравнений должно быть равно числу неопределенных коэффициентов.

5.Решить систему и подставить найденные значения

неопределенных	коэффициентов A1, B1, M1, N1, C1, D1, ... в
схему разложения.
Неопределенные		коэффициенты	можно	найти, если

положить х в разложении равным действительным значениям корней знаменателя Qn (x) или подходяще выбранным

числам. При решении некоторых примеров этот метод определения коэффициентов целесообразно комбинировать с методом неопределенных коэффициентов.

3°. Метод Острогра дского. Если многочлен Qn (x)

имеет кратные корни, то справедлива формула

m (

) dx =

(

)

+ ò

(

) dx,

Qn (x )

Q1 (x ) Q2 (x )

где Q1 (x)

— наибольший общий делитель многочлена Qn (x)

его

производной Q

(x );

(x ) определяется

делением

n (

)

(

)

(

)

;

2 (

—

многочлены

/ Q

неопределенными коэффициентами, у которых степени на

единицу меньше, соответственно, степеней Q1 (x)

и Q2 (x ).

Дифференцируя формулу Остроградского, представим ее

в виде

(

)

æ P

(

)

ö¢

(

÷ +

(

)

(

)

ç Q

(

Для

)

определения

неопределенных

коэффициентов

)

2 (

можно

использовать

метод

неопределенных

коэффициентов.

6.1. Найти интегралы: а) ò

dx; б) ò

xdx

;

x2 + a2

(x -1)(x - 2)2

в) ò

; г) ò

; д) ò

2x +1

dx; е) ò

+ a)(x + b)

+ 4x

-1)(x

+1)

- x

- 6

Решение.

а)

Выделим

целую

часть

подынтегральной

функции

= x

- a

тогда

x2 + a2

+ a2

dx = ò

ò x

dx - òa

ç x

- a

÷dx =

dx + a

+ a

- a

x + a

arctg

+ C.

б)

Учитывая

кратность

корней, подынтегральную

функцию представим в виде суммы простых дробей

(x -1)(x - 2)2

(x - 2)2

x -1 x - 2

Приводя

общему

знаменателю

правой,

част

приравниваем числители

x = A (x - 2)2 + B (x -1)(x - 2)+ C (x -1)

или

x = Ax2 - 4 Ax + 4 A + Bx2 - 3Bx + 2B + Cx - C.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим

x2 0 = A + B,

x 1 = -4 A -3B + C, x0 0 = 4A + 2B -C.

Из решения этой системы имеем: A =1; B = -1; C = 2. Таким образом

xdx

= ò

- ò

+ 2ò

(x -1)(x - 2)2

x -1

x - 2

(x - 2)2

x -1

= ln

x -1

- ln

x - 2

+ C = ln

+ C.

x - 2

в) Так как (x + a)- (x + b) = a - b,

то

(x + a)- (x + b)

1 æ

1 ö

÷.

(x + a)(x + b)

a - b

(x + a )(x + b )

a -b

è x + b x + a ø

Отсюда

dx ö

ò (x + a)(x + b)

-b è ò x + b

ò x + a ø

(ln

x + b

- ln

x + a

)+ C =

x + b

+ C.

a -b

x + a

г) Раскладываем

подынтегральную

функцию

на

множители и, учитывая кратность корней, представим ее в виде суммы простых дробей

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.9 Mб3Учебное пособие 1729.pdf
#
30.04.2022311.71 Кб2Учебное пособие 173.pdf
#
30.04.20221.9 Mб3Учебное пособие 1730.pdf
#
30.04.20221.92 Mб8Учебное пособие 1731.pdf
#
30.04.20221.92 Mб2Учебное пособие 1732.pdf
#
30.04.20221.92 Mб4Учебное пособие 1733.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Учебное пособие 1734.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Учебное пособие 1735.pdf
#
30.04.20221.93 Mб8Учебное пособие 1736.pdf
#
30.04.20221.93 Mб12Учебное пособие 1737.pdf
#
30.04.20221.93 Mб6Учебное пособие 1738.pdf