Учебное пособие 1733
.pdfâ |
í |
|
a 4 |
æ |
4 |
|
11 ö |
|
a 4 |
||||
Il = Il |
+ Il |
= |
|
ç |
|
+ |
|
|
÷ |
= |
|
. |
|
81 |
3 |
12 |
36 |
||||||||||
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
6.6. Найти |
статический момент |
и |
момент |
инерции |
||||
фигуры, |
ограниченной |
линиями y = x 2 |
и |
y = |
x |
|||||
относительно оси абсцисс. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Решение. Плоская фигура, ограниченная заданными |
||||||||
линиями, |
показана |
на |
рис. 3.44. Ширина |
сечения |
на |
|||||
расстоянии |
y |
по |
оси x |
определяется |
разностью |
абсцисс |
||||
x |
2 |
(y)- x (y)= y - y 2 . |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Статический момент определяем по формуле
Рис.3.44
1 |
2 |
æ |
2 |
|
5 |
|
y 4 |
ö |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
mx = ò0 y( |
y - y )dy = |
ç |
|
y |
2 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
- |
|
÷ |
|
|
= . |
|||||
|
|
è |
5 |
|
|
|
4 |
ø |
|
0 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции находим по первой из формул (10)
1 2 |
2 |
æ |
7 |
|
7 |
|
y 5 ö |
|
1 |
3 |
|
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
I x = ò0 y ( |
y - y )dy = |
ç |
|
y |
2 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
- |
|
÷ |
|
|
= . |
|||||
|
|
è |
2 |
|
|
|
5 |
ø |
|
0 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.7. Найти статический момент относительно основания: а) кругового конуса; б) полусферы; в) поверхности
кругового конуса; г) поверхности полусферы.
Решения. а) Расположим оси координат относительно конуса, как показано на рис. 3.45. Из подобия треугольников
151
|
|
H |
|
|
R |
|
æ |
|
x ö |
|
|
OAB и |
MNB имеем |
|
|
= |
|
, y = |
Rç1 |
- |
|
÷ |
. Статический |
|
|
y |
|
||||||||
|
|
H - x |
|
è |
|
H ø |
|
||||
момент |
относительно |
плоскости |
основания находим по |
||||||||
формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.45
|
H |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
H |
æ |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
3 |
ö |
||
myz = p ò0 |
xy |
dx = pR |
ò0 |
ç |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||
|
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
ç x |
H |
|
H |
÷dx = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
||||
|
2 |
æ x 2 |
|
x3 |
|
|
|
x 4 |
|
|
ö |
|
H |
|
|
pR 2 H 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= pR |
|
|
|
- 2 |
|
|
+ |
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
ç |
2 |
3H |
4H |
÷ |
|
|
|
|
12 |
|||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
б) Расположим оси координат относительно полусферы, как показано на рис. 3.46. Из треугольника OMN имеем y 2 = R 2 - x 2 . Статический момент относительно плоскости основания вычисляем по формуле (5)
Рис. 3.46
152
R |
2 |
R |
2 |
2 |
æ |
2 x 2 |
|
x 4 ö |
R |
|
pR 2 |
|||
myz = p ò0 |
xy dx = p ò0 |
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
= |
. |
|||||||
x(R - x )dx = p ç R |
2 |
4 |
÷ |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
4 |
|
в) Поскольку поверхность кругового конуса представляет
поверхность |
вращения |
вокруг осиOx |
(рис. 3.45), то |
|
статический |
момент |
относительно |
плоскости |
основания |
вычисляем по формуле (6) |
|
|
|
H myz = 2p ò0
= 2pR H
xy 1 + y¢2 dx = 2p ò0H
2 |
|
2 |
æ x 2 |
|
x 3 |
|
H |
+ R |
|
ç |
|
- |
|
|
ç |
2 |
3H |
|||
|
|
|
è |
|
|
æ |
- |
x |
ö |
1 |
æ |
R ö |
2 |
xRç1 |
H |
÷ |
+ ç ÷ |
dx = |
||||
|
è |
|
ø |
|
è |
H ø |
|
|
ö H |
|
pRH |
|
|
2 |
2 |
|
|
÷ |
= |
|
|
|
h |
+ R . |
||
÷ |
|
3 |
|
|||||
ø 0 |
|
|
|
|
|
|
|
г) Статический момент поверхности полусферы (рис. 3.46)
относительно плоскости основания вычисляем по формуле (6)
myz = 2p ò0R xy 1 + y¢2 dx .
Производную y¢ находим из дифференцирования выражения
y 2 = R 2 |
- x 2 : 2 yy¢ = -2x , |
y¢ = - |
x |
. Радикал под |
|
|||||
знаком интеграла примет вид |
R 2 - x 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
1 + y |
¢2 |
|
|
x 2 |
|
R |
|
|
|
|
|
= |
1 + |
R 2 - x 2 = |
R2 - x 2 . |
|
|
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
myz |
= 2p |
R x R 2 - x 2 |
R |
dx = 2pR R 2 |
= pR 3 . |
||||
|
|
|
|
ò0 |
|
R 2 - x 2 |
2 |
|
|
|
6.8. |
Найти. |
Заданная |
цилиндрическая |
поверхность |
||||||
показана на рис. 3.47. |
|
|
|
|
|
|
Статические моменты находим по формулам(7), учитывая, что
153
|
z = y, x 2 + y 2 = R 2 , y¢ = - |
x |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
R 2 - x 2 |
|||
|
|
dl = |
1 + y¢2 dx = |
Rdx . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
R2 - x 2 |
|
||
myz |
= |
R |
|
R |
Rdx |
= |
R |
R |
xdx = 0 . |
xzdl = |
xy |
|
|
||||||
|
|
ò-R |
|
ò-R |
R2 - x 2 |
|
ò-R |
||
mzx = |
R |
yzdl = |
R |
y 2 |
Rdx |
= R |
R |
|
R 2 - x 2 dx . |
|
ò-R |
ò-R |
R 2 - x 2 |
ò-R |
|
Рис. 3.47
Интегрируя по частям, будем иметь
|
|
|
R æ |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
R |
|
|
|
dx |
|
|
ö |
|
|
|||
mzx |
= |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
+ R ò-R |
|
|
|
|
|
|
÷ |
= |
||||||
2 |
ç x R - x |
|
|
R |
2 |
- x |
2 |
÷ |
||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
||||
= |
R æ |
|
R |
2 |
- x |
2 |
+ R |
2 |
arcsin |
|
x ö R |
= |
p |
R |
3 |
. |
||||||||
2 |
ç x |
|
|
|
|
|
÷ |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ø -R |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
R |
|
2 |
|
|
|
1 R |
|
2 |
|
Rdx |
|
|
|
|
|
|||
|
|
mxy |
= |
|
z |
|
dl |
= |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
2 ò-R |
|
|
R 2 - x2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ò-R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя вычисления предыдущего интеграла, получим
mxy = p R 3
4
154
6.9. Найти |
|
|
x 2 |
y 2 |
|
|
момент |
инерции |
эллипса+ |
|
= 1 |
||
b 2 |
||||||
|
|
|
a 2 |
|
относительно его осей.
Решение. Поскольку эллипс симметричен относительно координатных осей, то достаточно найти момент инерции части эллипса, расположенной в первом квадрате, и умножить
результат |
|
на 4. |
|
Согласно |
формулам (10) |
|
будем |
иметь |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
a b 2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I y |
= 4 |
ò0 |
|
a |
|
- x x dx . |
Делаем |
|
|
замену x |
= a sin t , |
тогда |
||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dx = a cos tdt |
и |
|
|
|
|
4b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I y |
= |
|
p |
2 a cos ta2 sin2 ta cos tdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
p 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a3b |
p 2 |
(1- cos 4t )dt |
|
|
a3b |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= a |
bò0 |
|
sin |
|
2tdt = |
|
ò0 |
|
= |
|
|
|
|
p . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Аналогично находим момент инерции относительно оси x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b a |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I x |
= 4 |
ò0 |
b |
b |
|
- y |
y dy . |
Делаем |
|
замену y |
= b sin t , |
тогда |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
dy = b costdt |
|
|
|
|
|
|
|
4a |
b |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
ab |
3 |
|
|
|||||||||
|
и |
I x |
= |
|
|
|
b cos tb |
|
sin |
|
tb costdt |
= |
|
|
|
|
|
p . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b ò0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.10. Найти момент инерции: а) цилиндра; б) конуса относительно его оси, высота которого H, а радиус основания
R .
Решение. |
) а Разобьём |
цилиндр |
на |
элементарные |
|||||
цилиндрические трубки параллельно оси цилиндра (рис. 3.48). |
|||||||||
Объём |
такой |
элементарной |
трубкиV = 2pyHdy , |
где |
|||||
y - радиус трубки толщиной dy и высотой H . |
|
|
|
||||||
Момент инерции элементарной трубки относительно оси |
|||||||||
равен dI x |
= 2pHy 3 dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммируя, |
получим |
момент |
|
|
|
инерции |
цилиндра |
||
относительно его оси |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
I x |
= ò0R dlx = 2pH ò0R y 3dy = |
pHR 4 . |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
155
|
|
Рис. 3.48 |
|
|
|
|
|
|||
б) |
Разобьём конус на |
элементарные |
цилиндрические |
|||||||
трубки |
параллельно |
оси |
|
конуса(рис. 3.49). Объём |
||||||
элементарной трубки |
равенdV = 2pyhdy , |
где |
y - радиус |
|||||||
трубки толщиной dy и высотой h . Из подобия треугольников |
||||||||||
|
|
|
|
æ |
|
y ö |
|
|
||
OAB и |
MNB находим, |
что h = |
H ç1 - |
|
|
÷ . |
Момент инерции |
|||
|
|
|||||||||
элементарно трубки |
|
|
è |
|
R ø |
|
|
|||
|
|
y ö |
|
|
|
|
|
|||
|
|
æ |
|
3 |
|
|
|
|
||
|
dlx |
= 2pH ç1 |
- |
|
÷y |
|
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
è |
|
R ø |
|
|
|
|
|
Рис. 3.49
Суммируя, получим момент инерции конуса относительно его оси
|
|
|
R |
|
|
R æ |
3 |
|
y 4 ö |
æ |
y 4 |
y5 ö |
|
R |
1 |
|
4 |
|
|||||
I |
x |
= |
dI |
x |
= 2pH |
ò0 |
ç y |
|
- |
|
÷dy = 2pH ç |
|
- |
|
÷ |
|
= |
|
|
pHR |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ò0 |
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
R |
ø |
è |
4 |
|
5R ø |
|
0 |
10 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.11. Найти момент инерции боковой поверхности: а) цилиндра, высота которого H , а радиус основанияR ,
156
относительно его оси; б) шара радиуса R относительно его диаметра.
Решение. )а Масса элементарной полости боковой поверхности цилиндра (рис. 3.50) на расстоянии R от оси вращения есть d 2pRdx .
Рис. 3.50
Момент инерции элементарной плоскости относительно
оси Ox равен dlx = R 2d 2pRdx .
Суммируя, получим момент инерции цилиндрической поверхности, высота которой H
H H
I x = ò0 dI x = 2pdR3 ò0 dx = 2pdR3 H = mR 2 ,
где m = 2pdRH - масса боковой поверхности цилиндра.
б) Рассечём поверхность шара двумя параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на расстоянии dx , и параллельными плоскостями Oyz (рис. 3.51).
Масса |
элементарной |
плоскости боковой |
поверхности |
шара на |
расстоянии y от |
диаметра, расположенного |
по оси |
Ox , есть d 2pydl . |
|
|
157
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Момент инерции элементарной полоски относительно |
||||||||||||||||||
диаметра равен dI x = y 2d 2pydl . Суммируя, |
получим |
|
момент |
||||||||||||||||||
инерции поверхности шара относительно его диаметра |
|||||||||||||||||||||
|
I x = ò-RR dI x = 2pd ò-RR y 3 dl . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Учитывая, |
что |
x 2 + y 2 |
= R 2 , |
|
|
y = |
R 2 - x 2 , |
|||||||||||
y |
¢ |
|
|
x |
|
|
¢2 |
|
Rdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= - |
r 2 - x 2 , |
dl = 1 + y |
|
dx = R 2 - x 2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
æ |
|
x |
3 |
ö |
|
R |
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I |
x |
= |
2pdR |
ò-R |
(R 2 |
- x 2 )dx = 2pdRçR 2 x |
- |
|
÷ |
|
|
= |
pdR 4 = |
mR 2 , |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
÷ |
|
|
3 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
-R |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m = 4pdR2 - масса поверхности шара.
3.7. Координаты центра тяжести
Точка C , являющаяся центром параллельных сил тяжести частиц, называется центром данного тела.
1°. Для материальной дугиAB плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести определяются по формулам
158
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
my |
|
òd (M )xdl |
|
m |
|
|
òd (M ) ydl |
|
||||
x = |
= |
a |
|
; y = |
x |
= |
a |
|
; |
(1) |
|||
c |
m |
|
b |
|
c |
|
m |
|
b |
|
|
|
|
|
|
òd (M )xdl |
|
|
|
òd (M )xdl |
|
||||||
где т — масса |
|
a |
АВ; |
mx, my - |
|
|
a |
|
|
|
|||
дуги |
|
статические |
моменты |
||||||||||
этой дуги относительно осей х, y; δ(М) —линейная плотность |
|||||||||||||
распределения |
массы |
в точкеМ(х, |
у); dl |
— дифференциал |
дуги.
Декартовы координаты центра тяжести дуги кривойL,
уравнение |
которой задано в |
полярной |
системе |
координат, |
|||||
d = d (j) , определяются по формулам |
|
|
|
|
|
||||
|
x = |
1 |
j2 r cosj dL; |
y = |
1 |
j2 |
r sin j dL; |
(2) |
|
|
|
|
|||||||
|
c |
L jò |
c |
L jò |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
|
где dL = |
r2 + r¢2 dj - дифференциал дуги; |
dL = òdL - длина |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j1 |
|
дуги. Здесь плотность дуги принята равной единице.
2°. Координаты центра тяжести криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ох, определяются по формулам
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||
|
|
my |
|
òd (M )xydx |
|
|
|
|
m |
|
|
òd (M ) y2dx |
|
|||||
|
x = |
= |
a |
|
; |
y |
c |
= |
x |
= |
a |
|
; |
|
(3) |
|||
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|||||||||||
|
c |
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
òd (M ) ydx |
|
|
|
|
|
òd (M ) ydx |
|
||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
где m — масса плоской |
|
фигуры; mx, mу — статические |
||||||||||||||||
моменты этой фигуры относительно осей х, у. |
|
|||||||||||||||||
3°. Если плоская фигура |
ограничена |
линиями у1 = f1(x); |
||||||||||||||||
у2 =f2(x); x=a; x=b, то координаты центра тяжести |
|
|||||||||||||||||
определяются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òd (M )x( f2 (x) - f1 (x))dx |
|
|
|
òd (M )( f2 2 (x) - f12 (x))dx |
|
||||||||||||
xc = |
a |
|
|
, |
yc |
= |
a |
|
|
|
|
|
. |
(4) |
||||
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
òd (M )x( f2 (x) - f1 (x))dx |
|
|
|
òd (M )x( f2 (x) - f1 (x))dx |
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
159