Учебное пособие 707

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

208-2016

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу «Высшая математика» для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»

(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)

очной формы обучения

Воронеж 2016

(рис. 2) целесообразно выполнять по формуле(3), поскольку любая прямая, параллельная оси ,х пересекает границу области только два раза.

Рис. 1

Рис. 2

3°. Если верхняя или нижняя граница области описывается

4

несколькими функциями (рис. 3), то область интегрирования следует разбить прямой х = с на две области S1 и S2. Двойной интеграл по области S в этом случае разбивается на сумму интегралов

òò f (x, y)dxdy = òò f (x, y )dxdy + òò f (x, y )dxdy =

= òdx ò f (x, y dy) + òdx ò f (x, y dy) .

Рис. 3 Если левая или правая граница области описывается -не

сколькими функциями (рис. 4), то область интегрирования S разбивается на две областиS1 и S2, а двойной интеграл вычисляется по формуле

òò f (x, y)dxdy = òò f (x, y )dxdy + òò f (x, y )dxdy =

= òdy ò f (x, y dx) + òdy ò f (x, y dx) .

5

Рис. 4

В случае более сложного контура область S разбивается на конечное число частей рассмотренных типов.

Решение. а) Поскольку пределы интегрирования постоянные величины, то первое интегрирование может быть по любой переменной. Запишем интеграл в виде

Вычислим внутренний интеграл по у, считая, что х постоянная величина

Далее вычисляем внешний интеграл по х

6

б) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от х, то вычисляем сначала внутренний интеграл поу, считая х постоянной величиной

Далее находим внешний интеграл

в) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от у,

то интегрируем сначала по х, считая у постоянной величиной, а затем интегрируем по у

г) Вычислим сначала внутренний интеграл

7

б) òò(x + y )dxdy, где D = {y = 0, y = x2 , x = 2};

D

в) òò xydxdy, где D = {y = -x, y = x2 , y =1};

D

г) òò xdxdy, где область D ограничена осью Ox и одной

D

аркой циклоиды x = a (t - sin t ), y = a (1- cos t ).

Решение. а) Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем сначала по у, а затем по х

= ò x cos xdx - ò x sin xdx = x sin x - òsin xdx + x cos x - òcos xdx =

0 0 0 0

= (x sin x + cos x + x cos x -sin x )p0 = -1- p -1 = -(2 + p ).

б) Представим область интегрирования на рис5. Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем

8

дим точки пересечения прямой и параболыА (-1, 1), О (0, 0). Координаты точки В(1,1). Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем

г) Для одной арки циклоиды параметр t изменяется от 0 до 2p , а переменная х от 0 до 2p a . Представляя функцию у в виде функции от х у =f(x), запишем искомый интеграл, разделяя переменные

Находя дифференциалы dx = a (1- cos t )dt, dy = a sin tdt и переходя во внешнем интеграле к переменной t, получим

10