Учебное пособие 707

5.4. Определить моменты инерции Ix , I y , I0

прямоугольной пластинки, ограниченной линиями х = 0, х = а, у = 0 и у = b, если плотность ее в каждой точке равна квадрату расстояния точки от начала координат.

Решение. Учитывая, что поверхностная плотность

31

a b

I y = òò(x2 + y2 )x2dxdy = òdxò(x4 + y2 x2 )dy =

6. Тройной интеграл

1°. Тройной интеграл является обобщением понятия двойного интеграла на случай функции трех переменныхf(x,y,z) и представляет конечный предел трехмерной интегральной суммы в области V

тарных областей, на которые разбивается пространственная область V.

Для непрерывной в областиV функции f(x,y,z) предел (1) существует и не зависит от способа разбиения области Кна элементарные области объемом Dxi Dy j Dzk , от выбора точки в

каждом элементарном объеме, в которой вычисляется f(x,y,z), и от способа стремления наибольшего диаметра элементарной области к нулю.

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

32

2°. Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех обыкновенных определенных интегралов

Если внутренний интеграл берется по переменной z, то переменные (х, у) при интегрировании его рассматриваются как постоянные величины. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле, как правило, являются переменными и зависят от (х, у). Таким образом, задача сводится к вычислению двойного интеграла, у которого пределы интегрирования внутреннего интеграла в общем случае зависят от переменнойх, а пределы интегрирования внешнего интеграла постоянны.

3°. Пусть в тройном интеграле требуется от переменных х, у, z перейти к переменным u, v, w, связанным соотношениями

Функции (3) осуществляют взаимно-однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение областиG пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Если якобиан этого отображения

не обращается в нуль наG и функция f(x,y,z) непрерывна в области V, то справедлива формула

33

òòò f (x, y, z )dxdydz =

G

Производить замену переменных по формулам (3) следует в том случае, если область интегрирования G в интеграле (4) значительно проще области V.

Если при вычислении тройного интеграла целесообразнее перейти от переменных х, у, z к цилиндрическим координатам r,j, z (рис. 22), связанным с декартовыми координатами соотношениями

x = r cosj, y = r sin j, z = z

(0 £ r < +¥, 0 £ j £ 2p , - ¥ < z < +¥) ,

то формула преобразования имеет вид

òòò f (x, y, z )dxdydz = òòò f (r cosj, r sin j, z )rd rdjdz . (5)

V G

Рис. 22

34

В случае перехода от декартовых координатх, у, z к сферическим координатам r,j,q (рис. 23), связанным с x,y,z

формула преобразования тройного интеграла имеет вид

òòò f (x, y, z )dxdydz =

Рис. 23

1 x y

6.1. Вычислить следующие интегралы: а) òdxòdyò xyzdz ;

Решение. а) Вычисление тройного интеграла начинается с

35

вычисления внутреннего интеграла. Полагая х и у постоянными, интегрируем по z, тогда получим

Таким образом, тройной интеграл свелся к двойному. Вычисляем теперь двойной интеграл

б) Данный интеграл следует вычислять в цилиндрической системе координат. Однако, целесообразнее сначала найти внутренний интеграл по z, а затем перейти к полярной системе координат

Область интегрирования последнего интеграла показана на рис. 24. Переходя к полярным координатам x = r cosj ,

y = r sinj , будем иметь

36

Рис. 24 в) Представим область интегрирования на рис. 25. Не-

трудно заметить, что она займет первый октант единичного шара. Переходя к сферической системе координат, подынтегральная функция будет равна

x2 + y2 + z2 = (r sin q cosj )2 + (r sin q sin j )2 + (r cosq )2 = r

Таким образом, пользуясь формулой (6) и расставляя пределы интегрирования, будем иметь

pp

I = òòòr × r2 sinqd rdjdq = òsinqdq òdjòr3d r =

Рис. 25

37

Рис. 26 Расставим пределы интегрирования

38

смещен по оси z на R. Таким образом, область интегрирования ограничена сверху сферической, а снизу конической поверхностью (рис. 27). Искомый интеграл в сферической системе координат примет вид

I = òòòdxdydz = òòòr2 sinqd rdqdj .

V G

Рис. 27 Подставляя в уравнение сферы сферические координаты,

39

в) Проекция конуса на плоскость Оху есть круг х2 + у2 = h2 (рис. 28). Расставляя пределы интегрирования в тройном интеграле, будем иметь

Рис. 28

7. Вычисление величин посредством тройного интеграла

1°. Объем тела, занимающего область V, в декартовой си-

40