Учебное пособие 707
.pdf
|
2p |
|
|
|
|
a(1-cost ) |
|
2p |
|
|
|
|
|
||||||
I = ò a(t -sin t )a 1( -cost )dt |
ò |
|
dy = a3 ò (t -sint )(1-cost )2 dt = |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a3 |
ò (t - 2t cost +t cos2 t -sin t +sin 2t -sin t cos2 t )dt = |
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
æ t2 |
|
t |
æ |
|
1 |
|
ö |
1 æ |
2 |
|
1 |
ö |
|
||||
= a |
|
ç |
|
|
-2t sin t -2cost + |
|
çt + |
|
sin 2t ÷- |
|
|
çt |
|
- |
|
cos 2t ÷ |
+ |
||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
è |
|
|
è |
|
|
ø |
4 è |
|
|
ø |
|
|
1 |
|
1 |
|
3 |
ö |
|
2p |
2 |
3 |
|
|
|
|
|||||||
+cos t - |
|
cos 2t + |
|
cos |
|
t ÷ |
|
= 3p |
|
a . |
2 |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Изменить порядок интегрирования в двойных
2 |
x+2 |
2 |
2- y |
|
интегралах: а) ò dx ò f (x, y |
dy) ; б) ò dy |
ò f (x, y dx) ; |
||
-1 |
x2 |
-6 |
y2 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Решение. а) По пределам интегрирования строим область интегрирования: у = х + 2, у = х2, х = 2, х = -1 (рис. 7). Решая совместно уравнения у = х + 2, у = х2, находим координаты точек пересечения прямой и параболы А (-1, 1), В (2,4).
Рис. 7
Поскольку слева область D ограничена линиями x = y - 2
и x = - y , а справа x = |
y , то при изменении порядка интег- |
|||
рирования |
интеграл |
разбивается |
на |
два , интегра |
11
соответственно, по областям DACOA и DABC
2 |
x+2 |
1 |
y |
4 |
y |
|
ò dx ò f (x, y dy) = òdy ò f (x, y dx) + òdy ò f (x, y dx) . |
||||||
-1 |
x2 |
0 |
- y |
1 |
y-2 |
|
б) Область интегрирования D ограничена линиями |
||||||
|
|
y2 |
|
|
|
|
x = 2 - y, x = |
|
-1, y = 2, y = -6 |
(рис. 8). |
|
||
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 8
Решая совместно уравненияx = 2 - y и x = |
y2 |
||
|
-1 , находим |
||
4 |
|||
|
|
координаты точек пересечения прямой и параболы А (0, 2) и В
(8, - |
6). Сверху область D ограничена |
линиями: |
y = 2 x +1 |
при |
-1 £ x £ 0 и y = 2 - x при 0 £ x £ 8 , |
а снизу – |
параболой |
y = -2 x +1 . Следовательно, при изменении порядка интегрирования интеграл разбивается на два
2 2- y 0 2 x+1 8 2-x
ò dy ò f (x, y dx) = òdx ò f (x, y dy) + òdx ò f (x, y dy) .
-6 |
y2 |
-1 |
-2 x+1 |
0 |
-2 x+1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Двойной интеграл в полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле
1°. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным необходимо в подынтегральном выра-
12
жении прямоугольные координаты заменить полярными по формулам: x = r cosj, y = r sinj ,, а дифференциал dS = dxdy заменить на rd rdj .
Причем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования S0 следует преобразовать к полярным координатам по формулам перехода.
Если область интегрирования S ограничена лучами j = a
и j = b (a < b ) |
и кривыми r = r1 (j ), r = r2 (j ) (рис. 9), где |
r1 (j ) и r2 (j ) |
- однозначные функции на отрезке j Î[a, b ] |
и r1 (j ) £ r2 (j ) , то имеет место соотношение
|
b |
r2 (j) |
|
òòF (r,j )rd rdj = òdj ò F (r,j )rd r , |
(1) |
||
S |
a |
r1 (j ) |
|
где F (r,j ) = f (r cosj, r sin j ).
Рис. 9 Внутренний интеграл вычисляется по р, считая (р постоян-
ной, но произвольной переменной, а внешний интеграл находится по j . Пределы внешнего интеграла всегда постоянны, а внутреннего, как правило, зависят от j . Если область интегрирования представляет круговой сектор или разность круговых секторов с центром в начале координат, то пределы интегрирования внутреннего интеграла постоянны.
13
Если область интегрирования ограничена линиями, имеющими различное аналитическое представление, то ее разбивают на части, а двойной интеграл представляют в виде суммы соответствующих интегралов.
2°. Пусть в двойном интеграле òò f (x, y )dxdy требуется от
S
переменных х, у перейти к переменным u, v, связанным соотношениями
x = x (u, v); y = y (u,v ) . |
(2) |
Функции (2) осуществляют взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение областиG плоскости O1uv на область S плоскости Оху. Если якобиан этого отображения
|
¶x |
|
¶x |
|
I = |
¶u |
|
¶v |
¹ 0 |
|
¶y |
|
¶y |
¶u ¶v
не обращается в нуль наG и функция f (x, y ) непрерывна в области S, то справедлива формула
òò f (x, y)dxdy = òò(x (u, v ), y (u, v )) |
|
I |
|
dudv . |
(3) |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||
S |
G |
|
Производить замену переменных по формулам(2) целесообразно в том случае, если область интегрирования G интеграла (3) значительно проще области S.
2.1. Переходя к полярным координатам,
a |
a2 -x2 |
|
|
|
|
a |
a2 - y2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
а) òdx ò |
x |
2 |
+ y |
2 |
dy ; б) òdy ò |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
a |
2 |
- x |
2 |
- y |
2 |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
ay- y2 |
|
|
|
|
14
Решение. а) Область интегрирования представляет первую
четверть |
|
круга. |
Переходя |
|
к |
|
|
полярным |
координатам |
|||||||||||
x = r cosj, y = r sinj , получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a a2 -x2 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
òdx |
ò |
x2 |
+ y2 dy = òdjò |
r2 cos2 j + r2 sin2 j rd r = |
||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p |
|
|
|
a |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
a |
3 |
|
|
p a |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
= ò |
|
|
|
dj = |
|
j |
|
= |
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
3 |
|
0 |
|
6. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
Область |
|
|
|
интегрирования |
расположена |
в первой |
|||||||||||||
четверти |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
ограничена |
двумя |
: окруж |
x2 + y2 = a2 , x2 + y2 = ay (рис. 10).
Рис. 10 Переходя к полярным координатам и учитывая, что урав-
нение внутренней окружности будет r = a sin j , получим
15
|
|
a2 - y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
rd r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
òdy ò |
|
|
|
|
|
= |
ò dj ò |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
2 |
- x |
2 |
- y |
2 |
a |
2 |
- r |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
ay- y2 |
|
|
|
|
|
0 |
asinj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= - |
|
òdj |
ò (a2 - r2 )- |
|
d (a2 - r2 )= -ò |
(a2 - r2 ) |
|
|
|
|
dj = |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
asinj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
asinj |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= aòcosjdj = a sin j |
|
|
|
= a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Вычислить двойной интеграл: |
òò |
x2 + y2 - 9dxdy , где |
|||||||||||||||||||||||||||||||
область |
|
|
S |
|
|
|
|
|
ограничена |
|
|
|
S |
двумя |
окружно |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x2 + y2 = 9 и x2 + y2 = 25 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Область интегрирования ограничена двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами r1 = 3 и r2 = 5. Переходя в интеграле к полярной системе координат будем иметь
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
5 |
|
|
|
|
òò |
x2 + y2 -9dxdy = ò djò r2 - 9rd r = |
||||||||||||
S |
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
1 |
2p |
2 |
3 |
|
|
5 |
64 |
2p |
|
128 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
ò |
(r2 - 9) |
|
|
|
dj = |
ò dj = |
|
. |
||||
2 |
|||||||||||||
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
3 |
0 |
|
p |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности
1°. Площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, ограниченная областью D, находится по формуле
S = òòdxdy . |
(1) |
D |
|
16
Если |
область D |
определена |
неравенствами a £ x £ b , |
|||||||||||||||||||||
j (x) £ y £y (x) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y (x) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
S = òdx ò |
dy |
|
|
(2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a j(x ) |
|
|
|
||||||||||||
2°. Площадь плоской фигуры в криволинейных координа- |
||||||||||||||||||||||||
тах находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S òò |
|
I |
|
|
|
|
dudv , |
|
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
|
¶x |
|
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
¶u |
|
|
|
¶v |
|
|
¹ 0 , в области G. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
¶u |
|
|
|
¶v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
частности, если |
область G |
задана |
в |
полярных |
|||||||||||||||||||
координатах |
и |
|
|
|
определена |
неравенствамиa £ j £ b , |
||||||||||||||||||
f (j ) £ r £y (j ), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
y (j) |
|
|
|
||||
|
S = òòrdjd r = òdj ò |
rd r . |
|
(4) |
||||||||||||||||||||
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a f (j ) |
|
|
|
|||||||
3°. |
Если |
гладкая |
|
|
|
|
поверхность |
задана |
уравнением |
|||||||||||||||
z = z (x, y ), то площадь поверхности находится по формуле |
||||||||||||||||||||||||
|
S òò |
æ ¶z ö2 |
|
|
æ ¶z ö2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1+ ç |
|
|
÷ |
|
+ ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
dxdy , |
|
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
D |
è |
|
¶x ø |
|
|
è ¶y ø |
|
|
|
|
где D - проекция данной поверхности на плоскость Оху. |
|
||
Аналогично, если |
поверхность |
задана |
уравнением |
x = x (y, z ) , то |
|
|
|
17
S = òò |
æ |
¶x ö2 |
æ ¶x ö |
2 |
|
|||
1+ ç |
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
dydz |
(6) |
|
|
|
|||||||
D |
è |
¶y ø |
è |
¶z ø |
|
|
где D - проекция поверхности на плоскость Oyz; если поверхность
S = òò |
æ |
¶y ö2 |
æ ¶y ö2 |
|
||||
1+ ç |
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
dxdz |
(7) |
|
|
|
|||||||
D |
è |
¶x ø |
è |
¶z ø |
|
|
здесь D - проекция поверхности на плоскость Oxz.
3.1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) y = x, y = 4 x и x = 1 ; б) y = ln x, x - y =1, x = 0 и y = -2 .
Решение. а) Построим параболы и прямую (рис. 11.).
Рис. 11
Согласно формуле (2) имеем
1 |
4 x |
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
S = òdx ò |
dy = 3ò |
xdx = 2x |
2 |
|
|
= 2 . |
|
0 |
x |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
б) Построим область, ограниченную линиями (рис. 12).
18
Рис. 12
Поскольку область ограничена линиями, имеющими различный аналитический вид, то при вычислении площади ее следует разбить на две части прямойу =- 1. Вся площадь равна сумме интегралов
0 |
ey |
-1 |
ey |
0 |
-1 |
S = ò dy ò dx + ò dy ò dx = ò (e y - (1+ y ))dy + ò e ydy =
-1 |
1+ y |
-2 |
0 |
-1 |
-2 |
0
=æey - y - 1 -
ç 2 -2 2 e2
è ø -1
3.2.Вычислить площадь, ограниченную линиями:y2 ö÷ +ey -1 = 1 .
а) r = a (1- cosj ), r = a и расположенную вне круга.
б) (x2 + y2 )3 = x4 + y4 ;
Решение. а) Представим кардиоиду и круг на рис. 13.
Рис. 13
19
В силу симметрии относительно полярной оси достаточно найти половину искомой площади. Для этого воспользуемся формулой (4)
1 |
|
|
|
p |
a(1-cosj) |
|
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = òdj |
ò |
rd r = |
ò(a2 (1- cosj)2 -a2 )dj = |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
0 |
a |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 p |
|
|
|
|
a |
2 |
æ |
|
|
|
1 |
p |
ö |
|
|
= |
|
ò(-2cosj + cos2 j)dj = |
|
ç |
-2sinj |
p0 |
+ |
ò(1+cos 2j )dj ÷ |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
2 |
è |
|
|
2 |
0 |
ø |
|
|
a4 |
æ |
1 |
|
|
ö |
|
p |
a2 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
çj + |
|
|
sin 2j |
÷ |
|
= |
|
p. |
||
4 |
2 |
4 |
||||||||||
|
è |
|
|
ø |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом S = |
1 |
pa2 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
б) Так как переменные x и y |
четных степенях, то фигура |
симметрична относительно координатных осей. Запишем
уравнение линии в |
полярной |
системе |
координатx = r cosj , |
|||||||||||||||||||
y = r sin j : r6 |
= r4 (cos4 j + sin4 j ) |
|
или r2 |
= cos4 j + sin4 j . |
||||||||||||||||||
Для нахождения площади воспользуемся формулой (4) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
(cos4 j +sin4 j)2 |
|
1 |
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S = ò dj |
|
ò |
rd r = |
ò (cos4 j + sin4 j )dj = |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
2p |
( |
(1+ cos 2j )2 |
+ 1(- cos 2j )2 |
) |
dj = |
1 |
|
2p 1+ cos2 2j |
) |
= |
||||||||||
|
ò |
|
|
|||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ò ( |
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
1 æ |
|
|
1 |
2p |
|
|
ö |
1 |
æ |
1 |
ö |
3p |
|
|
|
||||||
= |
|
ç 2p + |
|
(1+ cos 4j )dj ÷ |
= |
|
|
ç2p + |
|
|
|
2p ÷ = |
|
. |
|
|
||||||
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
è |
|
|
ò0 |
|
|
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
3.3. Вычислить площади, ограниченные линиями:
20