Учебное пособие 254
.pdfФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
124-2017
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика»
для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Воронеж 2017
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев
УДК 517.2 (07) |
|
|
|
|
|
ББК 22.1я7 |
|
|
|
|
|
Дифференциальные уравнения: методические указания |
|
||||
для организации самостоятельной работы по курсу«Высшая |
|
||||
математика» |
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|
|
«Техносферная |
безопасность» (направленности «Защита |
в |
|||
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности |
|
||||
в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы |
|
||||
обучения / ФГБОУ |
ВО |
«Воронежский |
государственный |
||
технический |
университет»; |
сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, |
|
||
2017. 41 с. |
|
|
|
|
|
Методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" по разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность» во 2 семестре. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решение типовых примеров.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле Vmfmm_ DifUr_17.pdf.
Табл. 2. Библиогр.: 8 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
Ó ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|
|
|||||||||||
Определение 1. |
|
Дифференциальным |
уравнением |
||||||||||
называется равенство, содержащее независимые переменные, |
|
|
|||||||||||
искомую функцию и ее производные, т.е. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
¢ |
¢¢ |
|
|
n |
) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
F (x, y, y , y ,K, y |
|
|
|
|
|
|||||||
Определение 2. |
|
Порядок |
|
старшей |
производной, |
||||||||
входящей |
в |
состав |
уравне, называетсяия |
порядком |
|
||||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3. |
|
Решением |
|
дифференциального |
|||||||||
уравнения |
называется |
функция, имеющая |
непрерывные |
|
|||||||||
производные до порядка, равного порядку уравнения, и |
|
|
|||||||||||
обращающая это уравнение в тождество. |
|
|
|
|
|
||||||||
Определение 4. |
|
Процесс |
|
нахождения |
решений |
||||||||
дифференциального |
уравнения |
|
называется |
интегрированием |
|
||||||||
этого уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 5. |
График |
|
решения |
дифференциального |
|
||||||||
уравнения называется интегральной кривой. |
|
|
|
|
|||||||||
Основная задача |
интегрирования |
дифференциального |
|
||||||||||
уравнения |
состоит |
в |
нахождении |
всех |
решений |
этого |
|||||||
уравнения и изучении их свойств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, обыкновенное дифференциальное уравнение п-го |
|
|
|||||||||||
порядка имеет вид |
¢ |
¢¢ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = 0 . |
|
|
(1) |
|
|
|||||
|
F (x, y, y , y ,K, y |
|
|
|
|
|
|||||||
Определение 6. Общим решением дифференциального |
|
||||||||||||
уравнения (1) называется такое его решение |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y = j(x,C1 ,C2 ,K,Cn ) , |
|
|
|
|
|
||||||
которое |
содержит |
столько |
|
независимых |
произвольных |
||||||||
постоянных C1 , C2 ,K, Cn , каков порядок этого уравнения. |
|
|
|||||||||||
Если общее решение найдено в неявном виде |
|
|
|
||||||||||
|
F(x, y, C1 , C2 ,K, Cn ) = 0 , |
|
|
|
|
||||||||
то оно называется общим интегралом. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение 7. |
Всякое |
|
решение |
дифференциального |
|
||||||||
уравнения, |
которое |
получается |
из общего |
решения, при |
|
|
определенных значениях произвольных постоянных, в него
входящих, |
называется |
частным |
|
решением |
это |
|
дифференциального уравнения. |
|
|
|
|
||
Определение 8. |
Задача |
о |
нахождении |
решения |
||
уравнения (1), удовлетворяющего условиям |
|
|
|
|||
y(x0 ) = y0 , y ¢( x0 ) = y0¢,K, yn-1 ( x0 ) = y0n-1 , |
(2) |
|
||||
называется |
задачей |
Коши, условия (2) |
- |
начальными |
условиями, а числа x0 , y0 , y0¢,K, yn-1 - начальными данными решения уравнения (1).
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные определения и понятия
Определение 9. |
Дифференциальным |
уравнением |
первого порядка называется уравнение вида |
|
|
|
¢ |
(3) |
F (x, y, y ) = 0 , |
||
где х - независимая переменная, у - искомая функция, у′ — ее |
||
производная. |
можно разрешить относительно у′, |
|
Если уравнение (3) |
||
то оно принимает вид |
|
|
y¢ = ( x, y) |
(4) |
и называется уравнением первого порядка, зрешенным относительно производной.
Общее решение уравнения (3) имеет вид
y= j( x,C ) или F(x, y,C) = 0 ,
ачастное решение
y = j( x, C0 ) |
или F(x, y,C0 ) = 0 , |
||
где C0 определяется |
из |
начальных условий задачи Коши: |
|
y( x0 ) = y0 . |
|
|
решениеy = j( x,C ) |
Геометрически |
|
общее |
|
представляет собой |
семейство |
интегральных кривых на |
плоскости хОу, зависящее от одной произвольной постоянной
2
С, а частное решение y = j( x, C0 ) |
- одну интегральную |
кривую этого семейства, проходящую |
через заданную точку |
(x0 , y0 ) (рис. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
|
|
|
|
образом |
геометрически |
|
задача |
Ко |
|||||
формулируется |
так: из |
семейства |
интегральных |
кривых |
|
|||||||||
уравнения (4) найти одну интегральную кривую, проходящую |
|
|||||||||||||
через точку M0 (x0 , y0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема |
Коши (существования |
и |
единственности |
|
||||||||||
решения задачи |
Коши). Если функция f (x, y) |
и |
ее |
частная |
|
|||||||||
производная |
|
¶f |
|
|
определены |
и |
непрерывны |
в |
|
некоторой |
|
|||
|
¶y |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
области плоскости хОу |
и, следовательно, |
ограничены |
в |
ней, |
|
|||||||||
то, какова бы ни была внутренняя точка (x0 , y0 ) |
этой области, |
|
||||||||||||
в некоторой окрестности этой точки существует единственное |
|
|||||||||||||
решение задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y¢ = f ( x, y),ü |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(x0 ) = y0 . |
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение 10. |
Решение, в |
каждой |
точке |
которого |
|
|||||||||
нарушается |
|
единственность |
или |
существование |
решения |
|
||||||||
задачи |
Коши, |
называется |
особым (геометрически: |
|
||||||||||
совокупность точек плоскости, через которые либо проходит |
|
|||||||||||||
более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной |
|
интегральной кривой, называется особыми точками данного уравнения).
3
Не |
существует |
общего |
метода |
интегрирования |
||
дифференциального уравнения первого порядка. Обычно |
|
|||||
рассматривают |
лишь |
некоторые |
отдельные |
типы |
таких |
|
уравнений, для каждого из которых дается |
свой особый |
|||||
способ решения. |
|
|
|
|
|
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 11. Дифференциальное уравнение вида
|
X ( x)dx + Y ( y)dy = 0 |
|
|
|
(5) |
||
называется уравнением с разделенными переменными. |
|
||||||
Считая y = j( x) |
известной, |
это |
уравнение |
можно |
|||
рассматривать |
как |
сумму |
|
двух |
дифференциалов, |
||
неопределенные |
интегралы |
от |
|
них |
будут |
отличатьс |
|
постоянным числом. То есть общий интеграл уравнения(5) |
|||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
ò X ( x)dx + òY ( y)dy = C . |
|
|
||||
Определение 12. Уравнение вида |
|
|
|
||||
X1 (x)Y1 ( y)dx + X 2 (x)Y2 ( y)dy = 0 |
|
(6) |
|||||
называется уравнением с разделяющимися переменными. |
|
||||||
Уравнение |
с |
разделяющимися |
переменными |
может |
быть приведено к уравнению(5) путем деления обеих частей уравнения на произведение Y1 ( y) × X 2 (x) :
X1 (x) dx + Y2 ( y) dy = 0 .
X 2 (x) |
Y1 ( y) |
Замечание. Уравнение y¢ = f1 ( x) f2 ( y) уравнению (16.5) следующим образом:
dy |
= f (x) × f |
|
( y), |
dy |
= f |
(x)dx, |
|
dy |
= |
|
|
2 |
|
ò f2 ( y) |
ò |
||||||
dx |
1 |
|
f2 ( y) |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение f2 ( y) = 0 |
может быть особым. |
приводится к
f1 (x)dx +C .
4
Дифференциальные уравнения, однородные относительно переменных
Определение 13. |
Функция f (x, y) |
называется |
||||
однородной |
функцией п-го |
измерения |
относительно |
|||
переменных х и у, если при любом k справедливо тождество |
||||||
f (kx, ky) = k n f (x, y) . |
|
|
|
|
|
|
Определение 14. |
Функция f (x, y) |
называется |
||||
однородной |
функцией |
нулевого |
измерения, если |
при |
умножении аргументов х и у |
на |
произвольный параметрk |
||||||||||||||||||||
значение функции не изменится: |
f (kx, ky) = f (x, y) . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
Определение 15. |
|
|
|
|
|
|
Уравнением, |
однородным |
||||||||||||
относительно переменных, называется уравнение вида |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ y ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y¢ = f ç |
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
x ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
При решении однородного уравнения вводится замена |
||||||||||||||||||||
u = |
, т.е. |
y = ux , |
тогда |
|
|
y¢ = ux + u . |
|
Подставляя |
это |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
для у′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
выражение |
в |
однородное |
уравнение, получим: |
|||||||||||||||||||
¢ |
|
|
|
или |
¢ |
|
|
|
|
|
- u |
- |
|
это уравнение |
с |
|||||||
u x + u = f (u) |
|
u x = f (u) |
|
|||||||||||||||||||
разделяющимися переменными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
du |
x = f (u) -u; |
|
|
du |
|
= |
dx |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f (u) -u |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
Интегрируя, найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ò |
du |
|
= |
ò |
dx |
+ C . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (u) - u |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя после интегрирования вместо u отношение y , получим интеграл однородного уравнения.
x
|
Замечание. Уравнение |
|
|
|
|
M ( x, y)dy + N (x, y)dx = 0 |
(8) |
||
будет |
однородным |
в |
случае, если |
M ( x, y), N (x, y) - |
однородные функции одного и того же измерения.
5
|
|
|
Линейные дифференциальные уравнения |
|
|||||||
|
|
|
Определение 16. Уравнение вида |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y¢ + p(x) y = f ( x) , |
|
|
(9) |
|||
где p(x) и |
f ( x) |
- |
непрерывные |
функции, называется |
|||||||
линейным дифференциальным уравнением первого порядка. |
|||||||||||
|
|
|
Если |
f (x) º 0 , то уравнение (9) называется линейным |
|||||||
однородным |
уравнением. |
Если f (x) ¹ 0 , то |
уравнение (9) |
||||||||
называется |
линейным |
неоднородным |
дифференциальным |
||||||||
уравнением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Для нахождения общего решения уравнения(9) можно |
||||||||
пользоваться |
следующим |
способом. Будем |
искать |
решение |
|||||||
y(x) уравнения (9) в виде |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y( x) = u(x) × v( x) , |
|
|
(10) |
|||
где u(x) и v(x) - неизвестные функции, одна из которых, |
|||||||||||
например v(x) , может быть выбрана произвольно. |
|||||||||||
Подставляя y(x) |
в форме (10) в уравнение (9), учитывая, что |
||||||||||
y |
¢ |
|
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
= u ( x) × v(x) + u(x) × v ( x) , получим |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
u¢× v + u × v¢ + p( x) × u × v = g( x) . |
|
|
|||||
|
|
|
После элементарных преобразований получим |
|
|||||||
|
|
|
|
u¢× v + u × (v ¢ + p(x) × v) = g(x) . |
|
|
|||||
|
|
|
Выберем |
в |
качествеv(x) любое |
частное |
решение |
||||
v( x) ¹ 0 уравнения |
|
v¢ + p(x) × v = 0 , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
u¢× v = g( x) . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Итак, |
решение |
уравнения (9) |
сводится к |
решению |
системы дифференциальных уравнений(сначала решается первое уравнение, затем второе)
ìv¢ + p( x) × v = 0,
í
îu¢ × v = g(x).
6
Зная u(x) и v(x) , найдем решение y(x) по формуле (10) из уравнения (9).
Уравнение Бернулли
|
|
|
Определение 17. Уравнение вида |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y¢ + p(x) y = f ( x) yn , |
|
|
|
||
где p(x), f (x) - непрерывные |
функции отх, а |
n ¹ 0, |
n ¹ 1 , |
||||||
называется уравнением Бернулли. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Это уравнение приводится к линейному следующим |
||||||
образом |
y-n y ¢ + p( x) y-n+1 = f (x) . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вводится |
замена z = y-n+1 . |
Тогда |
z¢ + (-n +1) y-n y ¢ , |
||||||
|
z ¢ |
|
+ p(x)z |
= f (x) . Таким |
образом, |
получили линейное |
|||
|
-n +1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение относительно функции z: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z¢ + (-n + 1) p(x)z = (-n +1) f (x) . |
|
|
|||
|
|
|
Получив его общий интеграл и подставив вместоz |
||||||
выражение y-n +1 , получим |
общий |
|
интеграл |
уравнения |
|||||
Бернулли. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Замечание. Решение уравнения Бернулли можно искать |
||||||
и в видеy = u( x) × v(x) , как |
это |
описано |
при |
решении |
|||||
уравнения (9). |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3. Дифференциальные уравнения второго порядка |
||||||
|
|
|
Определение 18. Уравнение вида |
|
¢ |
¢¢ |
|||
|
|
|
F (x, y, y , y ) = 0 |
называется дифференциальным уравнением второго порядка или, если это возможно в виде, разрешенном относительно
старшей производной, |
|
|
||
y |
¢¢ |
= |
¢ |
(11) |
|
f (x, y, y ) . |
Задача Коши для уравнения второго порядка имеет вид
7
|
ì y ¢¢ = f (x, y, y ¢), |
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
||||
|
í |
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
||
|
î y( x0 ) = y0 , y ( x0 ) |
= y0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема |
Коши (существования |
и |
единственности |
||||||||||
задачи |
Коши). |
Если |
функция |
¢ |
¢ |
и |
ее |
частные |
|||||
f (x, y, y ) |
|||||||||||||
производные |
f y¢(x, y, y ¢) |
и |
f y¢¢ ( x, y, y¢) |
определены |
и |
||||||||
непрерывны |
,и следовательно, |
|
ограничены |
в |
|
некоторой |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
области пространства переменных (x, y, y ) , тогда в любой |
|||||||||||||
окрестности |
точки (x0 , y0 , y0¢) |
|
этой |
области |
|
существует |
|||||||
единственное |
решение |
|
|
|
¢¢ |
|
|
¢ |
|
||||
|
уравненияy = |
f (x, y, y ) , |
|
||||||||||
удовлетворяющее условиям y = y0 , y¢ = y0¢ |
при x = x0 . |
|
|
||||||||||
Геометрически это означает, что через заданную точку |
|||||||||||||
(x0 , y0 ) |
плоскости проходит |
единственная |
|
интегральная |
|||||||||
кривая с заданным угловым коэффициентом y0¢ |
касательной в |
|
|||||||||||
точке (x0 , y0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 19. |
Функция y = j(x,C1 , C2 ) , |
зависящая |
|
||||||||||
от х и |
двух произвольных |
|
постоянныхC |
и C |
2 |
и при |
|||||||
|
|
уравнение y |
¢¢ |
|
|
¢ |
1 |
|
|
|
|
||
подстановке в |
|
|
обращающая |
его |
в |
||||||||
|
= f (x, y, y ) |
||||||||||||
тождество, называется общим решением этого уравнения. |
|
||||||||||||
Геометрически |
общее |
|
решение уравнения |
второго |
|||||||||
порядка |
представляет |
|
собой |
бесконечную |
|
совокупность |
интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров C1 и C2 .
Определение 20. Любая функция, получающаяся из общего решения уравнения (11) при определенных значениях постоянных C1 и C2 , т.е. y = j(x,C10 ,C20 ) , называется его
частным решением.
Геометрическое истолкование задачи Коши.
ì y ¢¢ = f (x, y, y ¢)
í
î y( x0 ) = y0 , y ¢( x0 ) = y0¢.
8