Учебное пособие 254

точку M0 , т.е. задать tga0

угла, образованного касательной к

кривой К в точке M0 и положительным направлением оси Ох,

т.е. tg a0

= y0¢ . Таким образом

постоянные C1 и

C2 общего

решения

уравнения (11),

удовлетворяющего

начальным

условиям задачи Коши y(x0 ) = y0 ,

y¢(x0 ) = y0¢ определяются из

системы

y = j(x

,C , C

), ü

0

0

1

2

ý

y0¢ = j ¢(x0 ,C1 ,C2 ).þ

Вводим замену y

¢

= p(x) Þ y

¢¢

¢

= p (x) и подставим в

уравнение p¢ = f (x) -

уравнение

первого порядка. Его

решение

y =

ò {ò

f ( x)dx .

K

II. Уравнение вида y

¢¢

n

¢

не содержит явно у.

=

f (x, y )

Полагая y

¢

= p(x) ,

получим y

¢¢

¢

= p (x) и, подставив в

уравнение, получим уравнение первого порядка

p¢ = f (x, p)

с неизвестной

функциейр.

Решая

его, найдем функцию

p(x) = j(x, C1 ) .

Определение 21.

Линейным

дифференциальным

уравнением второго порядка называется уравнение первой

степени (линейное) относительно неизвестной функции и ее

производных

y¢¢ + p(x) y ¢ + q( x) y = f ( x) ,

(13)

где

p(x), q(x), f (x)

-

непрерывные в

некотором

интервале

[a; b] функции.

Если

f (x) º 0 , то уравнение называется однородным,

y¢¢ + p(x) y ¢ + q( x) y = 0 ,

(14)

если

f (x) ¹ 0 - неоднородным.

Теорема 1

(основное

свойство

частного

решения

линейного

однородного

дифференциального

уравнения

второго порядка). Если функции y1 (x) и y2 (x) - частные

решения уравнения (14), то функция

y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)

также является решением уравнения(14).

Это свойство

проверяется непосредственной подстановкойу в уравнение

(14).

Определение 22.

Два

решения y1

и

y2 называются

линейно независимыми на отрезке [a; b] ,

если их отношение

на этом отрезке не является постоянным,

т.е. если

y1

¹ const .

y2

В

противном

случае

решения

называются

линей

зависимыми.

W ( y1 ; y2 ) = W ( x) =

y1

y2

= y1 y2¢

- y1¢y2

y1¢ y2¢

называется

определителем

Вронского

или

вронскианом

данных функций.

Теорема 2

(об

определителе

Вронского

линейно

зависимых функций). Если функции y1 (x)

и y2 (x) линейно

зависимы на отрезке[a; b] , то определитель Вронского,

составленный из них, равен нулю на этом отрезке.

Доказательство. Пусть y1 и y2 - линейно зависимы,

тогда

y1

= l, y

= l y

2

.

y2

1

Подставляя в определитель Вронского:

W ( y1 ; y2 ) =

y1

y2

=

l y2

y2

= l y2 y2¢

- l y2¢y2 = 0 .

y1¢

y2¢

l y2¢

y2¢

Теорема 3

(об

определителе

Вронского

линейно

независимых функций). Если решения y1 (x)

и y2 (x) линейно

независимы на отрезке[a; b]

решения уравнения(14),

то

определитель Вронского, составленный из них, отличен от

нуля на этом отрезке.

Теорема 4

[о

структуре

общего

решения

уравнения

(14)]. Если y1 (x) и y2 (x) -

два

линейно независимых

решения уравнения (14), то функция

y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)

( C1 , C2 -

произвольные

постоянные) является

общим

решением уравнения (14).

Теорема 5

(о

структуре

общего

решен

неоднородного линейного уравнения второго порядка). Общее

решение уравнения (13) представляет собой сумму любого его

частного

решения

y

(x)

и

общего

решенияy

0

y = y0 +

y

.

Доказательство.

Пусть

y

(x)

-

частное

решение

уравнения (13), а

y0 = C1 y1 (x) + C2 y2 ( x) -

общее решение уравнения (14).

- общее

Докажем,

что

y = y0

+

y

решение

уравнения

(13). Для этого покажем, что y = y0

+

y

является

решением

уравнения (13). Найдем

y¢ = y0¢ +

y

¢, y¢¢ = y0¢¢ +

y

¢¢

и подставим в (13):

y0¢¢ +

y

¢¢ + p(x)[y0¢ +

y

¢] + q(x) [y0 +

y

] = f ( x) .

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые

(y0¢¢ + p( x) y0¢ + q( x) y0 ) + (

y

¢¢ + p(x)

y

¢ + q(x)

y

) = f (x);

14444244443

1444244443

0

f ( x )

f (x) = f ( x),

следовательно, y = y0

+

y

- решение уравнения (13).

Покажем теперь, что оно является общим решением

этого

уравнения,

т.е.

докажем,

что

из

решения y = y0 +

y

можно

выделить

единственное

частное

,

реше

удовлетворяющее

начальным

условиямy( x0 ) = y0 ,

y0¢( x0 ) = y0¢ .

Продифференцируем

функцию y = y0

+ C1 y1

+ C2 y2

и

подставим в

нее

и ее производную начальные условия

y( x0 ) = y0 , y0¢(x0 ) = y0¢ .

Получим

систему

уравнений

с

неизвестными C1 и C2 :

ìC y (x

) + C

y

(x

) = y

-

y

( x

),

í

1

1

0

2

2

0

0

0

îC1 y1¢(x0 ) + C2 y2¢ (x0 ) = y0¢ -

y

¢(x0 ).

не

равный

нулю, то она

имеет

единственное

решение:

C = C0 , C

2

= C 0 .

1

1

2

Таким

образом

мы

получили

частное

решение

уравнения

(13):

y -

y

= C0 y

+ C0 y

2

Þ y =

y

+ C 0 y

1

+ C 0 y

2

,

1

1

2

1

2

удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема

доказана.

Итак, чтобы найти общее решение уравнения (13), надо

найти

общее

решение

соответствующего

однородного

уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного

уравнения.

В общем случае задача отыскания частного решения

является сложной. Рассмотрим общий метод нахождения

частных решений неоднородного уравнения(13), когда

f ( x)

-

любая

функция, если

известно

общее

решение

соответствующего однородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных

Пусть известно общее решение соответствующего

однородного уравнения (14):

y0 = C1 y1 (x) + C2 y2 ( x) .

Найдем

частное

решение

уравнения(13)

данным

методом.

Будем

искать

частное

решение

неоднородного

уравнения (13) в виде

y

= C1 (x) y1 ( x) + C2 (x) y2 ( x) ,

(15)

Таким

образом,

функция (15) является

решением

уравнения

(13),

если

C1 (x)

и C2 ( x)

удовлетворяют

уравнениям системы

ìC ¢(x) y (x) + C ¢

(x) y

2

( x) = 0,

í

1

1

2

(16)

¢

¢

¢

¢

( x) = f ( x),

îC1 (x) y1

(x) + C2

(x) y2

в которой C1¢(x)

и C2¢( x)

- неизвестны, а y1 , y2 , y1¢,

y2¢, f (x) -

W (x) =

y1 ( x)

y2 (x)

,

y1¢( x) y2¢(x)

составленный из

линейно независимых решенийy (x)

и

1

y2 (x) однородного уравнения (14), то он не равен нулю,

а

значит, система

(16) имеет

единственное

решение

относительно C1¢(x)

и C2¢( x) . Решая эту систему, получим

C1¢(x) = -

y2 (x) × f (x)

;C2¢(x) =

y1 (x) × f (x)

.

W (x)

W ( x)

ò

y2

( x) × f ( x)

ò

y1

(x) × f (x)

C1

(x) = -

;C2

(x) =

.

W ( x)

W ( x)

Уравнение вида

k 2 + pk + q = 0

(18)

является частным решением уравнения (17). Если k1,2

= a ± bi

- комплексно сопряженные корни уравнения (16), то функции

y

= eax cos b x, y

2

= ea x sin b x

являются частным

решением

1

уравнения (15).

Теорема 7 [об общем

решении уравнения(17)]. Если

различные (k1

¹ k2 ) , то общее решение уравнения(17) имеет

вид y = C ek1 x

+ C

ek2 x .

1

2

Если

корни уравнения(18)

вещественные и равные

(k1 = k2 ) ,

то

общее решение

уравнения(17) имеет вид

y = C ek1 x

+ C

2

xek1x .

1

комплексные k1,2

= a ± bi , то общее решение (17) имеет вид

y = eax (C cos b x + C sin b x) .

1

2

Определение 26. Уравнение вида

y¢¢ + py¢ + qy =

f ( x) ,

(19)

где р, q - вещественные

числа, называется

линейным

sin b x и cos b x ,

или линейную комбинацию перечисленных

функций.

Для

уравнения (19)

существует

более

простой метод

нахождения

частного

решения

y

, вид которого зависит

от

вида правой части f ( x)

этого уравнения.

Частное

решение

неоднородного

уравнения

может

быть найдено по методу неопределенных коэффициентов:

1)

по виду правой части уравнения(19) и таблице,

приведенной ниже, записывается форма частного решения с

неопределенными коэффициентами;

2)

затем

таким

образом

сформированное

частное

решение подставляется в дифференциальное уравнение (19);

3)

из

полученного

тождества

определяются значения

Правая

Корни

Вид частного решения

y

часть

характеристического

f ( x)

уравнения

k 2 + pk + q = 0

Pn (x)

k1,2

¹ 0

Qn ( x)

k1 = 0, k2 ¹ 0

xQn ( x)

k

= 0

x2Q

n

( x) ,

1,2

Qn ( x) - многочлен

степени п с

неопределенными

коэффициентами.

aea x

k1,2

¹ a

Aeax

k1 = a, k2 ¹ a

Axea x

k1,2

= a

Ax2 eax

ea x P (x)

k ¹ a

ea x Q

n

( x)

n

1,2

k = a, k

2

¹ a

xeax Q

n

(x)

1

k = a

x2 ea x Q

n

( x) ,

1,2