Учебное пособие 254

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид

(x - 2)e x , где параметр правой части =1 и совпадает с корнем характеристического уравнения k1 = 1 , то частное решение ищется в виде yчн = xQ1 (x)e x = ( Ax 2 + Bx)e x .

Найдя первую производную y¢ = (Ax2 + (2A + B)x + B)e x и вторую производную y¢¢ = (Ax2 + (4 A + B)x + (2A + 2B))e x и подставляя это выражение в заданное уравнение, имеем

(Ax2 +(4A+B)x +2A+2B)ex -5(Ax2 +(2A+B)x +B)ex +4(Ax2 +Bx)ex = = (x - 2)e x ,

(- 6 Ax + (4 A - 3B))e x = (x - 2)e x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях xe x ,

e x получим

- 6 A = 1, 2A - 3B = -2 ,

откуда A = -1/ 6, B = 5 / 9. Следовательно,

yчн = (- x 2 / 6 + 5x / 9)e x .

Общее решение дифференциального уравнения равно

y = C1e x + C2e4 x + (-x 2 / 6 + 5x / 9)e x .

Пример 7. Найти общее решение уравнения y¢¢ + 4 y = xe x .

Решение: Найдем общее решение однородного уравнения, предварительно записав его характеристическое уравнение

k 2 + 4 = 0, k1,2 = ±2i . Общее решение соответствующего

однородного уравнения

yоо = C1 cos 2x + C2 sin 2x .

Правая часть данного неоднородного уравнения xe x имеет

вид P1 (x)e x . Так как коэффициент a + ib = 1 в показателе степени не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде yчн = (Ax + B)e x . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

(Ax + 2A + B)e x + 4( Ax + B)e x = xe x .

29

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получим

5A = 1, 2 A + 5B = 0,

откуда A = 1/ 5, B = -2 / 25 . Следовательно, частное решение

равно yчн = (x / 5 - 2 / 25)e x .

Общее решение равно

y= C1 cos 2x + C2 sin 2x + (x / 5 - 2 / 25)e x .

2.Правая часть неоднородного уравнения имеет вид

f (x) = lax (Pn (x)cos bx + Qm (x)sin bx),

где Рп(х) и Qm(x) - многочлены степени п и т соответственно, a и

b- действительные числа.

Вэтом случае частное решение следует искать в виде y = xl lax (M s (x)cos bx + N s (x)sin bx), где l - число, равное

кратности a + bi как корня характеристического уравнения k 2 + pk + g = 0 , M s (x) и N s (x) - многочлены степени s с

неопределенными коэффициентами, s - наивысшая степень многочленов Рп(х) и Qm(x), т. е. s = max(n, m).

Следует отметить, что указанные формы частных решений сохраняются и в том случае, когда правая часть дифференциального

уравнения имеет вид Pn (x)eax cos bx или Qm (x)eax sin bx .

Если же правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:

f ( x) = M cos bx + N sin bx ,

где M и N – постоянные числа, а ib не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения следует искать в виде

yчн = A cos bx + B sin bx .

Если ib является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения следует искать в виде

yчн = x( A cos bx + B sin bx) .

Пример 8. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y ¢¢ + 2 y ¢ + 5y = 2 cos x.

30

Решение: Общее решение будет иметь вид y = yoo + yчн . Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения yoo = e-x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)..

Поскольку параметр правой части данного неоднородного уравнения a + ib = i не является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме

yчн = A cos x + B sin x ,

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Находя производные и подставляя их в заданное уравнение,

будем иметь

- Acosx - Bsin x + 2(-Asin x + B cosx) + 5(Acosx + Bsin x) = 2cosx .

Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x , получим:

Пример 9. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения y ¢¢ + 4 y = cos 2x.

Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения yoo = C1 cos 2x + C2 sin 2x. .

Поскольку параметр правой части a + ib = 2i совпадает с

корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме

yчн = x( A cos x + B sin x),

31

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя производные

в исходное уравнение, и приравнивая коэффициенты при cos 2 x и sin 2x , получим два уравнения для определения А и В:

4B = 1, - 4 A = 0 . Откуда A = 0, B = 1 / 4. Следовательно,

частное решение yчн = 1 x sin x . Общее решение будет иметь вид

4

y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + 1 x sin x . 4

Пример 10. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. y(0) = 1, y ¢(0) = 2. .

y ¢¢ + y ¢- 2 y = cos x - 3sin x.

Решение: Найдем общее решение дифференциального уравнения y = yoo + yчн .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

yoo = C1e x + C2 e-2 x .

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид f ( x) = eax (M cos bx + N sin bx) .

Так как число a + ib = i не является корнем

характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме

yчн = ( Acos x + B sin x),

Находя производные и подставляя в исходное уравнение, получим

(B - 3A) cos x + (-A - 3B) sin x = cos x - 3sin x.

Приравняем коэффициенты при cos x и sin x , получим уравнения для определения A и В:

32

Отсюда С1=1, С2=0. Искомое частное решение будет иметь вид y = e x + sin x .

Пример 11. Найти общее решение уравнения y¢¢ + y = 1 . cos x

Решение: Найдем общее решение yoo соответствующего однородного уравнения y¢¢ + y = 0 , составляя характеристическое уравнение k 2 +1 = 0, k1 = i, k2 = -i . Следовательно,

yoo = c1 cos x + c2 sin x . Частное решение yчн исходного уравнения ищется в виде yчн = c1 (x)cos x + c2 (x)sin x . Для нахождения c1 (x)и с2(х) составляем систему уравнения:

Вычисляем главный определитель системы и дополнительные определители:

Следуя методу Крамера, находим

c1¢(x )= D1 = -tgx, c1 (x )= ò -(tgx)dx = ln cos x ,

D

33

дифференциального уравнения y¢ = y + x2 , удовлетворяющего начальному условию y(0) = -2 .

Решение. Представим решение данного уравнения в виде ряда

коэффициенты при одинаковых степеняхx слева и справа

34

Задачи для самостоятельного решения

Найти решения дифференциальных , уравнени удовлетворяющие заданным условиям:

1.y¢ = 3 х 2 , y(0) = 1;

2.у¢ = 3х , у(1) = 2;

3.y¢ = e 2 х , y(0) = 0;

10. y¢ = y 3 , y(0) = 1.

Решить данные уравнения. Найти также решения, удовлетворяющие начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные условия):

35

16.(x +1)3 dy - ( y - 2)2 dx = 0;

17.sec 2 x sec ydx + ctgx sin ydy = 0;

18.( xy + x ) y¢ - y = 0;

19.y = y¢cos2 x ln y, y(p ) = 1;

20.x(1 + y 2 )dx + y(1 + x 2 )dy = 0;

21.yxe x2 dx + (1 + y)dy = 0;

22.x(1 + y 2 )dx + e x dy = 0, y(0) = 0;

23.3 y 2 dx - 1 dy = 0;

28.x 2 (1 + y)dx + (x3 -1)( y -1)dy = 0;

29.2xdx + 3ydy = 4x2 ydy - 2xy 2 dx;

30.y¢ = y 2 cos x;

31.(1 + x 2 )dy - 2xydx = 0, y(0) = 1;

32.y¢ = y +1 , y(1) = 0;

x

33.(1 + e x ) yy¢ = e x , y(0) = 1;

34.y¢ctgx + y = 2, y(0) = -1;

35.y¢ = 33 y 2 , y(2) = 0;

36.xy¢ + y = y 2 , y(1) = 0,5;

37.2x 2 yy¢ + y 2 = 2;

36

38.y¢ - xy 2 = 2xy;

39.e-x (1 + dy ) = 1;

dx

40.y¢ = 10x+ y ;

41.xydx + (x +1)dy = 0;

42.y 2 +1dx = xydy;

43.(x 2 -1) y¢ + 2xy 2 = 0, y(0) = 1;

44.(1 + x) ydx + (1 - y)xdy = 0;

45.x 2 y 2 y +1 = y;

46.y dy + x = t.

dx

Уравнения вида y' = f (ax + by) приводятся к уравнениям с

47.y¢ = cos( y - x);

48.y¢ - y = 2x - 3;

49.(x + 2 y) y¢ = 1, y(0) = -1;

50.y¢ = 4x + 2 y -1.

Решить уравнения:

37

58.xy¢ = y - xe y / x ;

59.xy¢ - y = (x + y) ln x + y ;

x

60. xy¢ = y cos ln y ; x

61.( y + xy )dx = xdy;

62.xy¢ = x 2 - y 2 + y;

63.(2x - 4 y + 6)dx + (x + y - 3)dy = 0;

64.(2x + y +1)dx - (4x + 2 y - 3)dy = 0;

65.(x - y -1) + ( y - x + 2) y¢ = 0;

66.(x + 2 y)dx - xdy = 0;

67.(x - y)dx + (x + y)dy = 0;

68.( y 2 - 2xy)dx + x 2 dy = 0;

69.2x3 y¢ = y(2x 2 - y 2 );

70.y 2 + x 2 y¢ = xyy¢.

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

71.y¢ - yctgx = sin x;

72.y'-y = e x ;

73.x 2 dy - 2xy = -3, y(-1) = 1; dx

74.y¢ + y = x 2 ; x

75.y¢ - ytgx = cos x;

76.y¢ + 2xy = x;

77.y¢ - 4 y = e2 x ;

38