Учебное пособие 1733
.pdfФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
И.Н. Пантелеев
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ: ПРАКТИКУМ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2016
УДК 681.3.06(075)
|
Пантелеев И.Н. Интегральное исчисление: практикум: |
||
учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, |
|||
граф. данные (1920 Кб) / И.Н. Пантелеев. - Воронеж : ФГБОУ |
|||
ВО |
«Воронежский |
государственный |
технический |
университет», 2016. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; Windows XP ; Adobe Acrobat ; 1024x768 ; CD-ROM ; мышь. – Загл. с
экрана.
|
Учебное пособие включает материал, необходимый для |
|||||||||
подготовки к практическим занятиям по курсу |
|
высшей |
||||||||
математики |
|
во |
втором |
|
семестре. Содержит |
краткий |
||||
теоретический |
|
материал |
|
по |
методам |
|
вычисл |
|||
неопределенных, определенных и несобственных интегралов |
||||||||||
и |
приложениям |
определенного |
интеграла |
к |
задача |
|||||
геометрии, механики и физики. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Издание |
соответствует |
требованиям |
Федерального |
||||||
государственного |
образовательного |
стандарта |
|
высшего |
||||||
образования |
|
по |
направлению20.01.03 |
«Техносферная |
||||||
безопасность», направленности «Защита |
в чрезвычайных |
|||||||||
ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», |
||||||||||
«Защита |
окружающей |
среды», дисциплине |
«Высшая |
|||||||
математика». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 2. Ил. 34. Библиогр.: 12 назв. |
|
|
|
|
|||||
|
Рецензенты: |
кафедра |
|
физики, |
теплотехники |
|
и |
теплоэнергетики Воронежского государственного университета инженерных технологий (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, доц. А.В. Буданов); канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин
©Пантелеев И.Н., 2016
©Оформление. ФГБОУ ВО
«Воронежский государственный технический университет», 2016
ВВЕДЕНИЕ
Вплане изучения высшей математики наибольшие
трудности возникают при решении конкретных |
задач |
и |
||||||
примеров, которые требуют знание определенных методов и |
|
|||||||
приемов. Цель |
пособия - |
помочь |
студентам |
научиться |
|
|||
самостоятельно решать задачи по курсу высшей математики, |
|
|||||||
при условии, что изучение теории должно выполняться по |
|
|||||||
рекомендованному |
в |
программе |
учебнику |
и |
конспекту |
|||
лекций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждый параграф начинается с краткого теоретического |
|
|||||||
введения, приводятся основные определения, теоремы без |
|
|||||||
доказательств, главнейшие |
формулы, |
методы |
и способы |
|
||||
решения |
задач. Решение |
|
типовых |
примеров |
и |
задач |
в |
|
параграфе, |
как |
правило, |
расположено по возрастающей |
|
||||
трудности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Характерной особенностью является включение решений |
|
|||||||
задач вычислительного характера, что позволяет развивать |
|
|||||||
необходимые навыки и умение для студентов инженерных |
|
|||||||
специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено |
|
|||||||
методам решения прикладных задач с физическим смыслом. |
|
|||||||
Часть задач была заимствована из сборников: Берман Г.Н. |
|
|||||||
Сборник задач по курсу математического анализа, 1975; |
|
|||||||
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, 1972; |
|
|||||||
Задачи и упражнения по математическому анализу, под |
|
|||||||
редакцией |
Б.П. |
Демидовича, 1968; |
Сборник |
задач |
по |
|
||
математике |
для |
вузов. Под |
редакцией |
А.В.Ефимова, ч.1-2, |
|
1993-1994; Бугров Я.С., Никольский Я.С. Высшая математика. Задачник, 1982.
Пособие включает задания для типового расчета по интегральному исчислению по основным , раздела изучаемым в курсе высшей математики в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 20.01.03 «Техносферная безопасность».
3
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|||
1.1. |
Первообразная |
функция |
и |
неопределенный |
интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица |
||||
основных интегралов и простейшие примеры |
|
|||
1°. |
Пусть дана функцияf ( x ) , требуется |
найти такую |
||
функцию F ( x ) , производная которой равнаf ( x ) , то есть |
||||
F'(x) = f ( x ) . |
|
|
|
|
Определени е 1. |
Функция |
F ( x ) |
называется |
|
первообраз ной от функции f ( x ) на отрезке [ а;b], если во |
||||
всех точках этого отрезка выполняется равенство |
|
|||
|
F'(x) = f ( x ) . |
|
|
|
Всякая непрерывная |
функцияf ( x ) |
имеет |
бесчисленное |
множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым, то есть, если F ( x ) есть первообразная от функции f ( x ) , то F(x) + С есть также первообразная от f ( x ) , ибо (F(x) + C)' = F'(x)= = f ( x ) . Здесь С — произвольная постоянная.
Определени е 2. Если функция F ( x ) является первообразной для f ( x ) , то выражение F(x) + C называется
неопределенным |
интегралом от |
функции f ( x ) и |
|
обозначается ò f (x )dx. |
|
||
Таким образом, по определению |
|
||
если F'(x) = f (x). |
ò f (x)dx = F(x) +C , |
||
|
|
||
Функцию |
f ( x ) |
называют |
подынтегральной |
функцией; f (x)dx — |
по дынтегральным выражением; |
||
С — постоянной интегрировани я. |
данной функцииf ( x ) |
||
Нахождение |
первообразной для |
называется интегрированием функции f ( x) . Отсюда видно,
что |
интегрирование |
есть |
действие |
|
дифференцированию. Правильность |
интегрирования |
всегда |
||
можно |
проверить, выполнив обратное действие, |
т. е. |
найдя |
4
производную |
функции, |
получившейся |
в |
результате |
|
интегрирования. |
|
|
|
|
|
Производная |
должна |
быть |
равна |
|
подынтегральной |
функции.
2°. Свойства неопределенного интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть, если F'(x) = f (x), то
(ò f (x)dx)¢ = (F (x) + C)¢ = f (x) .
2.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
d(ò f (x)dx) = f (x)dx .
3.Неопределенный интеграл от дифференциала или производной некоторой функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования
òdF (x) = F (x) + C или òF ¢(x)dx = F (x) + C .
4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов
ò( f1(x) + f2 (x) - f3 (x))dx = ò f1(x)dx + ò f2 (x)dx - ò f3 (x)dx .
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть, если а – const, то
òaf (x)dx = aò f (x)dx .
3°. Таблица основных интегралов. Таблица интегралов вытекает непосредственно из определения неопределенного интеграла и таблицы производных:
1. ò xa dx = |
xa +1 |
|
+ C; a ¹ -1. |
|
a +1 |
||||
|
|
2.ò dxx = ln x + C;
3.òsin xdx =-cos x+C;
5
4. òcos xdx = sin x + C;
5. ò cosdx2 x = tg x + C; 6. òsindx2 x = -ctg x + C;
7. òax dx = ax + C; ln a
8. òex dx = ex + C;
9. ò |
|
|
dx |
|
|
= |
1 |
|
arctg |
|
|
x |
|
+ C; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
ò |
|
dx |
|
|
|
|
= arcsin |
x |
+ C; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. |
ò |
|
dx |
|
|
= |
1 |
ln |
|
|
|
|
x -a |
|
+C; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
x +a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
-a |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ò |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + a |
|
+ C; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12. |
|
|
= |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a2 - x2 |
|
2a |
|
x - a |
||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
ò |
|
dx |
|
|
|
|
= ln |
|
x + |
|
|
x2 + a |
|
+ C; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ò |
|
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ C; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
= ln |
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15. |
|
|
|
dx |
|
|
= ln |
|
tg |
|
æ x |
+ |
p |
ö |
|
+ C ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||
|
ò co s x |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
16.òsh xdx = ch x + C;
17.òch xdx = sh x + C;
18.ò chdx2 x = th x + C;
19.ò shdx2 x = -cth x + C.
6
Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора переменной интегрирования, то все табличные интегралы
имеют место для любой переменной. |
|
|
|
|
|
||
Процесс |
нахождения |
первообразной |
сводится |
||||
преобразованию |
подынтегральной |
функции |
к |
табличному |
|||
виду. |
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие |
интегралы |
могут |
быть |
найдены |
путем |
||
разложения подынтегральной функции на слагаемые. В состав |
|
||||||
каждого интеграла входит постоянная интегрирования, но все |
|
||||||
они могут быть объединены в одну, поэтому обычно при |
|||||||
интегрировании |
алгебраической |
суммы |
функций |
пишут |
только одну постоянную интегрирования.
4°. Существуют целые классы интегралов, которые в зависимости от постоянных сомножителей или показателей степеней могут быть найдены по обобщенным формулам интегрирования. Приведем некоторые из них.
1. |
ò |
æ |
P¢ |
|
P¢¢¢ |
ö |
æ |
P¢ |
|
P¢¢ |
ö |
|
P(x) sin axdx = sin ax ç |
|
- |
|
+...÷ |
- cos ax ç |
|
- |
|
+...÷ |
+ C, |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
è |
a a4 |
ø |
è |
a a3 |
ø |
|
где Р(х) — целый относительно х многочлен.
2. |
æ P |
|
P¢ |
ö |
æ |
P¢ |
|
P¢¢¢ |
ö |
|
||||
ò P(x) cos axdx = sin ax ç |
|
- |
|
|
+...÷ |
+ cos ax ç |
|
|
- |
|
|
+...÷ |
+ C; |
|
a |
a |
3 |
|
2 |
a |
4 |
||||||||
|
è |
|
|
ø |
è a |
|
|
|
ø |
|
3. òP( x)e |
ax |
dx = e |
ax æ |
P |
|
P¢ |
|
P¢¢ |
ö |
+ C; |
||||||||
|
ç |
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
|
-÷ |
|||||||
|
a |
a |
2 |
a |
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|||||
4. ò xm lnn xdx = |
|
1 |
|
xm +1 ln n x - |
|
n |
|
òxm ln n -1 xdx , |
||||||||||
|
|
|
|
m +1 |
||||||||||||||
|
|
|
m +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n — любое вещественное число и n ¹ -1; m =1, 2,3,...
5. |
òe |
ax |
cosbxdx = |
|
|
b sin bx + a cos bx |
e |
ax |
|
+C ; |
||||||||
|
|
|
a |
2 |
+ b |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
òe |
ax |
sinbxdx = |
a sin bx - b cos bx |
e |
ax |
+C ; |
|||||||||||
|
|
|
a |
2 |
+ b |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + a ))+ C; |
||
7. |
ò |
x2 + adx = |
1 |
(x x2 + a + a ln (x + |
||||||||||||||
2 |
7
8. ò |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ö |
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
|
- x |
|
|
dx = |
|
|
|
|
ç x |
|
|
a |
|
- x |
|
|
|
+ a |
|
|
arcsin |
|
|
÷ + C; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ø |
|
|
|
|
||||||||||
9. Если обозначить In |
|
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n = 1, 2, 3,...) , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x2 + a2 )n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In+1 = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2n -1 1 |
In ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2na2 |
|
|
(x2 + a2 )n |
|
|
|
2n |
|
a2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
òsinn xdx = - |
1 |
cos x sin n -1 x + |
n -1 |
|
òsin n -2 xdx; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. |
òcosn xdx = |
1 |
sin x cosn-1 x + |
n -1 |
|
òcosn-2 xdx; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin 2nxdx = 2åsin (2k -1)x + C, (n =1, 2,...); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
2k -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
sin (2n +1)xdx = x + 2åsin 2kx + C , (n = 1, 2,...); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
ç1- |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||
ò cos |
2 k +1 |
|
x |
|
2k cos |
2 k |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k -1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
2k øò cos |
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ç1 |
- |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
ò sin |
2k +1 |
|
x |
|
2k sin |
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
òsin |
2k -1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
è |
|
|
|
|
|
|
2k ø |
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
ò xne- x dx = -xne-x + nòxn-1e- xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ò |
|
ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
bc - ad |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
17. |
|
|
dx |
= |
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
cx + d |
|
+ C; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cx + d |
c |
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
18. |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
ln |
|
x + b |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(x + a)(x + b) |
|
a -b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.1. Найти интегралы: а) |
ò |
æ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç x |
|
|
|
+ 2x |
+ |
|
|
|
|
÷dx; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||
б) òe |
x |
æ |
|
|
|
|
e- x ö |
|
|
|
|
|
|
в) |
òctg |
2 |
xdx; |
|
|
|
|
г) |
ò |
|
|
|
x4 |
|
dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç1 |
- |
|
|
|
|
|
|
÷dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
д) |
|
æ |
|
1 |
|
1 |
ö |
е) |
|
|
dx |
|
. |
|
ç |
|
|
- |
|
÷dx; |
|
|
|
|
|||
ò |
|
|
|
ò sin2 |
x cos2 |
|
|||||||
|
è |
3 |
x |
|
4 x3 |
ø |
|
x |
Решение. а) Представим интеграл как сумму интегралов и воспользуемся табличными интегралами
ò x3dx + ò2xdx + ò |
dx |
= |
x4 |
|
|
+ 2 |
x2 |
+ ln |
|
x |
|
+ C = |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ö¢ |
|
|
|||||||||||||
Проверка: |
æ |
1 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ç |
|
|
x |
|
+ x |
|
|
+ ln |
x |
|
+ C ÷ = x |
|
+ |
|||||||||
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водная равна подынтегральной функции. б) Внесем первый множитель в интеграл в виде разности двух интегралов
1 x4 + x2 + ln x +C; 4
2x + 1 , т. е. произ- x
скобки и представим
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x-2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
òe |
dx - ò |
|
|
|
= e |
|
- òx |
|
|
|
|
|
dx |
= e |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
+C = e |
|
+ |
|
+C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
2x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) Сделаем следующие преобразования |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
cos2 x |
dx = ò |
1 -sin2 x |
|
dx |
= ò |
|
|
|
dx |
|
|
- òdx = -ctg x - x + C . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
г) Вычтем и прибавим в числителе единицу |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
x |
|
4 |
-1 |
+1 |
dx = ò |
æ |
x |
4 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
ö |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
+ |
|
÷dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1+ x |
|
|
1 |
+ x |
ø |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò( |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
-1 dx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
- x + arctg x +C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
д) |
|
|
|
Заменим |
|
|
|
|
|
корни |
|
|
|
|
|
|
отрицательными |
степенями |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
представим интеграл в виде разности двух интегралов |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ò x- |
|
dx - òx- |
|
dx = |
x |
|
- 4x |
|
+C = |
|
3 x 2 - 4 4 x +C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
4 |
3 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е) Считаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
числителе |
|
|
множителем |
стоит |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрическая единица 1 = sin2 x + cos2 x , тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
sin2 |
x + cos |
2 x |
dx = ò |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
+ |
ò |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= tg x - ctg x +C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
x cos |
2 |
|
x |
|
cos |
2 |
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
9
1.2. Найти интегралы: a) ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
; |
|
|
б) ò |
|
dx |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
- 9 |
|
|
|
25 - x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) ò |
ò2 |
x |
|
x |
dx; д) ò |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
; г) |
|
e |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 -1 |
|
x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. а) Представим 9 |
|
|
как |
32 |
|
|
|
|
|
и |
|
воспользуемся |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
табличным интегралом (11), где а = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ò |
|
dx |
= |
|
|
|
1 |
|
|
ln |
|
|
|
x -3 |
|
|
+ C = |
1 |
ln |
|
|
|
x -3 |
|
+ C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 -32 |
|
2 ×3 |
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Приведем подынтегральную функцию к виду |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
52 - x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и воспользуемся табличным интегралом (10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= arcsin |
x |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
52 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в) Воспользуемся табличным интегралом (12) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ò |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
x + x2 -1 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) Объединим множители в подынтегральной функции и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
воспользуемся табличным интегралом (7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ò(2e )x dx = |
(2e )x |
|
|
|
+ C = |
2x ex |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (2e ) |
|
|
|
|
|
|
ln 2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
д) Преобразуем следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
2 |
|
2 |
+)x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.2. Непосредственное интегрирование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
простейших |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случаях, применяя |
|
|
|
|
|
следующие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
преобразования дифференциала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10