Добавил:

Tamaki_Syo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Физика конденсированных сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2022

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 5026 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

§ 11. Уравнение баланса импульса

251

времени релаксации среднего (полного) импульса электронной системы.

Три уравнения баланса импульса (4.156) содержат в нашем случае пять неизвестных: три компоненты дрейфовой скорости, неравновесную температуру кинетических степеней свободы электронной системы Tk и неравновесный химический потенциал ζ . Если внешнее электрическое поле является достаточно слабым и не приводит к разогреву электронной системы, то температуру и химический потенциал можно считать равновесными параметрами. В этом случае величина 1/τ (4.157) не содержит неизвестные параметры и уравнение баланса импульса (4.156) сразу позволяет найти компоненты дрейфовой скорости, а следовательно, и электропроводность равновесной системы

e2n

σ = m τ0,

где τ0 – время релаксации импульса электронов в условиях равновесия.

Получим выражение для времени релаксации полного импульса равновесной системы. Для этих целей преобразуем формулу (4.157), полагая, что температура и химический потенциал являются равновесными ( Tk = T, ζ = ζ0 , ζ0 – здесь и далее равновесный химический потенциал). Для преобразования этой

формулы воспользуемся свойствами равновесной функции рас-
пределения Ферми – Дирака f 0 и функции Планка Nqλ :

			k
1	f 0	= f 0 eβ (εk −ζ0), f 0		=	−	β f 0	(1		f 0),
	− k	k	k		−	k		−		k
		Nqλ + 1 = Nqλ	eβ Ωqλ	,		β =	1		.	(4.158)
		Nqλ + 1 = Nqλ	eβ Ωqλ	,		β =			.	(4.158)
							kБT

С учетом этих результатов преобразуем квадратную скобку формулы (4.157):

	(Nq λ + 1)fk0+q (1 − fk0) + Nq λfk0 fk0+q =
= Nqλ fk0+q fk0	eβ ( Ωqλ+εk −ζ0) + 1 = −β Nqλfk0 (1 − fk0+q ). (4.159)
При выводе формулы (4.159) мы воспользовались законом
сохранения энергии Ωqλ + ε		= ε	.
	k	k+q

252 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Учитывая этот результат, выражение для времени релаксации среднего импульса электронов запишем в виде

1	=	2π β

τ		3nm
τ		3nm
0

( q)2 |Cq λ|2Nq λf 0 (1−f 0 )δ(ε −ε + Ωq λ).

+ k k+q k k q

k σ, q λ

(4.160) Завершая рассмотрение равновесного случая, вычислим частоту релаксации среднего импульса νep = 1/τ0 системы электронов для случая квазиупругого рассеяния электронов на акустических фононах. В этом случае энергией фонона Ωqλ в законе сохранения энергии можно пренебречь. Переходя в фор-

муле (4.160) от суммирования по k и q к интегрированию по p , q и выполняя суммирование по σ , которое сводится просто к дополнительному умножению результата на два, получаем

2π 1

dp dq ( q)2

kБT

6 3

τ0

3nm (2π)

∂ε

−

∞

∂f 0

dε

δ(εp+ q

ε)δ(εp

ε). (4.161)

При выводе (4.161) мы воспользовались приближением (4.89) и учли, что при взаимодействии электронов с акустическими колебаниями решетки в методе потенциала деформации вклад дает только взаимодействие с продольными акустическими фононами. По этой причине индекс поляризации в формуле (4.161) опущен.

Рассмотрим подробнее входящий в выражение (4.161) интеграл по импульсам


I(q) = dp δ(εp+ q − ε)δ(εp − ε).	(4.162)

Переходя к интегрированию в сферической системе координат, получаем

∞

2 2

−

2m 2m m

2m −

I(q) = 2π sin θdθ

p2 dp δ

p q

cos θ

ε .

(4.163)

§ 11. Уравнение баланса импульса

253

После интегрирования в формуле (4.163) по импульсу с использованием второй из δ -функций остается только интеграл по переменной x = cos θ :

I(q) = 2π m√		1		2q2	+ √		q	x . (4.164)
	2mε		dx δ			2mε

		−1		2m			m

Сделаем в интеграле (4.164) замену переменных, обозначив

y =	2q2 √			q

		+	2mε		x.
	2m			m

В новых переменных интеграл (4.164) будет иметь вид

		2q2 √		q
		2q2 √		q
I(q) =	2πm2	2m + 2mε m dy δ(y).			(4.165)
I(q) =		2m + 2mε m dy δ(y).			(4.165)
	q		√
		2q2		q
		2q2		q
		2m	− 2mε m

Интеграл (4.165) отличен от нуля только тогда, когда значение y = 0 включается в область интегрирования. Это накладывает ограничение на область изменения волновых векторов фононов q , взаимодействующих с электронами. Учитывая все сказанное, окончательно для интеграла I(q) получаем простое выражение

	2	πm2		8mε	1/2
I(q) =			, 0 < q <		.	(4.166)
		q		2

Дальнейшие вычисления на основании формулы (4.161) сводятся фактически к интегрированию степенной функции q3 и сведению интеграла по энергии к интегралу Ферми (4.34). Не будем останавливаться на этих простых вычислениях и приведем сразу результат:

2E2

(2mk

T )3/2

(4.167)

τ0

3π2ρs2 4

254 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

При записи этой формулы мы воспользовались определением концентрации равновесных электронов

n =	(2mkБT )3/2		ζ0/kБT	.	(4.168)
	2π2 3	F1/2

Перейдем теперь к рассмотрению неравновесного случая. Будем полагать, что Nq 1 , поэтому Nq +1 Nq . Это условие накладывает некоторые ограничения на температуру системы. Если учесть формулу (4.166) и положить, что средняя кинетическая энергия электронов ε kБT , то неравенство в формуле (4.89) можно записать в виде

Nq	kБT	kБT	1,	(4.169)
	Ωq	s(8mkБT )1/2
или	kБT > 8ms2.
				(4.170)

Численная оценка показывает, что неравенство (4.170) выполняется в полупроводниковых материалах с эффективной массой m 0, 01m0 уже для температур выше 1 K ( m0 – масса свободного электрона).

Если принять, что условие (4.169) выполняется, то выражение для обратного времени релаксации неравновесных электронов (4.157) можно записать в виде

2π 1

dp dq ( q)2

kБT

6 3

3nm (2π)

−

∂ε

−

∞

∂f s

dε

δ(εp+ q

ε)δ(εp

ε).

(4.171)

Сравнение формул (4.161) и (4.171) позволяет сразу записать результат

2E2

(2mk

)3/2

1/2

τ =

3π2ρs2 4

ζ/k

(4.172)

§ 12. Уравнения баланса энергии и числа частиц 255

Таким образом, выражения (4.156), (4.172) представляют собой три уравнения баланса импульса, содержащие пять неизвестных параметров vd, Tk, ζ . Для получения замкнутой системы макроскопических уравнений баланса к этим трем уравнениям нужно добавить еще два: уравнение баланса энергии и уравнение баланса числа частиц.

§ 12. Уравнения баланса энергии и числа частиц

Для получения уравнения баланса кинетической энергии необходимо левую и правую части уравнения (4.147) умножить на

ε и просуммировать по k и σ . В отличие от уравнения балан-

са импульса, где мы ограничились линейным приближением по напряженности внешнего электрического поля или дрейфовой скорости, в уравнении баланса энергии будем удерживать квадратичные члены по этим параметрам.

Вводя обозначение

< Ek >= ε f

k k

kσ

для скорости изменения средней кинетической энергии электронов < Ek > за счет поля, получаем

	∂	< Ek > поле				e	E	k fk .
	∂t	< Ek > поле	=		εk		E	k fk .	(4.173)
			k, σ
				f	линейные по дрейфовой ско-
Выделим в выражении				f	линейные по дрейфовой ско-
			k	k

рости члены:

	α f =	∂f
		k
		∂ ε
	k k	∂ ε
		k

= m ( kα − mvdα)

	α	1			2
k		2m	( k − mvd)			=
	∂	fks − fks		kβ vdβ .			(4.174)

	∂εk

Подставляя выражение (4.174) в формулу (4.173) и учиты-

вая, что нечетные по k члены вклад в сумму в правой части

256 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

(4.173) не дадут, получаем
	∂	< Ek > поле				fks +	1	2k2	fks
	∂t	< Ek > поле	= −e	εk	Eαvdα	fks +	3	m	fks	. (4.175)
			k, σ

Для вычисления суммы по k в правой части (4.175) заменим, как обычно, суммирование интегрированием. Рассмотрим вклад от первого слагаемого в квадратных скобках формулы (4.175):

∂f s

3/2

∞

∂ f s

eEαvdα

3/2

(4.176)

−

εk

−

dεk.

π2 3

∂ε

k, σ

Производя в интеграле по энергии в правой части (4.176) интегрирование по частям и пользуясь определением концентрации n , получаем

				∂f s	= eE			3
−eE	α	α		k		α	α		n.	(4.177)
−eE		vd	εk	∂ε			vd	2	n.	(4.177)
				k
		k, σ

Аналогично, выполняя дважды интегрирование по частям, можно найти вклад и второго слагаемого в квадратной скобке выражения (4.175) в скорость изменения средней энергии электронов за счет поля

1				2k2 ∂2f s			5
−		eEαvdα	εk		k	= −eEα vdα		n.	(4.178)
−	3	eEαvdα	εk	m	∂ε2	= −eEα vdα	2	n.	(4.178)

					k
		k, σ

Суммируя результаты (4.177), (4.178), получаем окончательное выражение для скорости изменения кинетической энергии за счет действия внешнего поля:

	∂	< Ek	>	= −eEα vdα n,		(4.179)

	∂t
			поле
		(2mk	T )3/2		ζ/kБTk .
n =			Б k	F1/2		(4.180)
		2π2 3

§ 12. Уравнения баланса энергии и числа частиц 257

Если внешнее электрическое поле не приводит к процессам ударной ионизации электронов донорных примесей и нет других оснований считать, что электрическое поле может привести к изменению концентрации электронов в кристалле, то при включении электрического поля должно выполняться условие

(2mk	Б	T )3/2		ζ0/kБT =	(2mk	Б	T )3/2		ζ/kБTk , (4.181)
			F1/2				k	F1/2
2π2		3			2π2 3

которое можно рассматривать как уравнение баланса числа частиц.

Получим теперь выражение, которое определяет скорость изменения кинетической энергии электронов за счет взаимодействия с решеткой. Для этого умножим уравнение (4.88) на

ε и просуммируем по		и σ . Как и при выводе уравнения ба-
ε и просуммируем по	k	и σ . Как и при выводе уравнения ба-
k

ланса импульса, вклады от первой и второй квадратных скобок в правой части (4.88) можно объединить, сдвигая при суммировании вклада от второй квадратной скобки начало отсчета в

		q , заменив
k -пространстве на произвольный вектор		q , заменив	k − q → k .
Тогда с учетом закона сохранения
ε	= ε + Ωq
k+q	k

имеем

∂ < E ∂t k

ст

−Nq

2π


\|Cq \|2 Ωq	(Nq + 1) fk+q (1 − fk ) −

kσq
(1 − fk+q ) δ(εk − εk+q + Ωq ).		(4.182)

Как будет ясно из дальнейшего анализа, правая часть выражения (4.182) пропорциональна отклонению неравновесной температуры δTk = Tk − T от равновесной. Поскольку отклонение температуры связано с разогревом электронной системы внешним электрическим полем, величина δTk по меньшей мере пропорциональна квадрату напряженности внешнего электрического поля. По этой причине в квадратных скобках форму-

лы (4.182) можно заменить функции распределения fk их сим-

метричными частями f s . Учет второго члена в правой части

258 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

разложения (4.154) приводит к явному превышению точности (напомним, что в уравнении баланса энергии мы удерживаем члены, квадратичные по внешнему полю).

С учетом формул, аналогичных формулам (4.158), выражение в квадратных скобках в правой части (4.182) можно записать в следующем виде:

	s	s	s	s	) =
I(k, q ) = (Nq	+ 1) fk+q	(1 − fk ) − Nq fk		(1 − fk+q	) =
= fks (1 − fks+q ) Nq e(β−βk ) Ωq − 1 .					(4.183)

Пользуясь малостью параметра (β − βk) Ωq , разложим в ряд экспоненту, содержащую этот параметр. Тогда для выра-

жения I(k, q ) получаем

1		1 −	T	.
I(k, q ) = fks (1 − fks+q ) Nq Ωq					(4.184)
	kБT		Tk

Подставляя этот результат в формулу (4.182) и полагая, что рассеяние электронов на фононах происходит квазиупруго, для скорости изменения средней энергии электронов за счет столк-

новений с решеткой получаем
	∂	< Ek > ст =	2π
	∂t	< Ek > ст =		β kσq \|Cq \|2 ( Ωq )2 Nq			fks (1 − fks+q ) ×
			×δ(εk − εk+q ) 1 −		T	.	(4.185)

					Tk

Производя простые вычисления, аналогичные вычислениям времени релаксации импульса при рассеянии на продольных акустических фононах, которые подробно рассмотрены выше,

получаем
	∂		8E2(k		T )3 m4		T
		< Ek > ст =	0		Б k	F1 ζ/kБTk 1 −		.(4.186)
	∂t			π3 7ρ			Tk

Cобирая результаты (4.179) и (4.186), запишем уравнение

баланса энергии электронной подсистемы
α		8E2	(k	T )3 m4		1		T
	n =	0		Б k					. (4.187)
−eEα vd					F1 ζ/kБTk		−
			π3 7ρ					Tk

§ 13. Решение системы уравнений баланса

259

Уравнения (4.156), (4.181) и (4.187) образуют замкнутую систему пяти уравнений для определения компонент дрейфовой скорости, температуры кинетических степеней свободы электронов проводимости и химического потенциала.

§ 13. Решение системы уравнений баланса энергии, импульса и числа частиц. Приложения гидродинамического подхода

В рассматриваемом случае изотропного закона дисперсии и изотропного рассеяния уравнение баланса импульса является в действительности скалярным уравнением, поскольку дрейфовая скорость электронов параллельна вектору напряженности электрического поля. Выражая vd из уравнения (4.156) и под-

ставляя этот результат в формулу (4.187), получаем
	τ		25/2 E2 (kБT )3/2 m5/2	F1 ζ/kБTk			T
Q0 τ0			0 π ρ 4			1 − Tk
Q0 τ0		=	0 π ρ 4	F1/2	ζ/kБTk	1 − Tk		. (4.188)

Для записи этой формулы мы использовали величину Q0 , имеющую смысл мощности, поглощаемой системой электронов проводимости, в расчете на один электрон

		e2	τ
Q0	=		0	E2.	(4.189)

		m

В выражении (4.188) неравновесный химический потенциал входит только в качестве аргумента интегралов Ферми. Если ограничиться случаем невырожденного электронного газа и воспользоваться приближенным равенством

		(4.190)
Fp ζ/kБTk	= Γ(p + 1)eζ/kБTk ,	(4.190)

то легко заметить, что в правой части уравнения (4.188) зависимость от химического потенциала ζ пропадает. В левой части уравнения (4.188) стоит отношение τ /τ0 , которое, согласно формулам (4.167), (4.172), можно записать в виде

τ	T	1/2
		,	(4.191)

τ0	Tk

260 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

поскольку в выражениях τ0 и τ зависимость от химического потенциала исчезнет в случае невырожденного электронного газа. Таким образом, в случае невырожденного электронного газа уравнение (4.188) содержит только один неизвестный параметр – температуру кинетических степеней свободы электронов проводимости Tk – и поэтому легко может быть решено. Подставляя в уравнение (4.188) результаты (4.189), (4.190) и вводя обозначения

T		Q	0	4 ρ π Γ(5/2)
k	= x, Γ =						,	(4.192)
T		25/2 E02			m5/2	(kБT )3/2

получаем квадратное уравнение для отыскания неизвестной кинетической температуры

x2 − x − Γ = 0,

(4.193)

которое имеет единственное решение, имеющее физический смысл:

Tk =	T	+ T 1/4 + Γ.	(4.194)
	2

Оценим величину отклонения неравновесной температуры от равновесной, полагая, что Γ 1 . Разложим корень в формуле (4.194) в ряд и ограничимся линейным членом по Γ . В этом случае, вводя относительное изменение температуры δTk/T = = (Tk − T )/T , получаем


	δT
	k	Γ.		(4.195)
	T
Для типичных значений параметров полупроводниковых
материалов ( m = 0, 07m0 , m0			– масса свободного электрона,
ρ = 5, 8 г/см3 , s = 5 105 см/с ,			E0 = 1, 610−18 Дж ,	T = 4K ),

оценка величины Γ по формулам (4.192), (4.189), (4.167) дает

δTk /T 1, 32 .

Зная температуру кинетических степеней свободы электронов проводимости, можно определить и неравновесный химический потенциал ζ . Используя уравнение (4.181) для случая классической статистики Максвелла – Больцмана, получаем

T	3/2	ζ		ζ


k	= exp	0	−		,
T		kБT		kБTk

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 5026 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
30.03.20221.94 Mб65[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org).pdf
#
30.03.20224.11 Mб75Лекции по термодинамике неравновесных систем. Пармон.pdf
#
30.03.202228.89 Mб940НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СЛОЖНЫХ.pdf
#
30.03.20221.21 Mб50Равновес и неравновес термодинамика.pdf
#
30.03.20223.97 Mб68Физика конденсированных сред.pdf