ДО ЗМІСТУПОСІБНИКА
17. Розрахунок стінової панелі методом скінченних елементів
17.1. Короткі відомості про розрахунок стінової панелі
17.2. риклад розрахунку стінової панелі
17.2.1. Скінченно-елемента модель панелі
17.2.2. обудова функцій форми та визначення вузлових сил
17.2.3. обудова матриці жорсткості скінченного елемента
17.2.4. Обчислення елементів тензора напружень та побудова епюр напружень
17.3. Задачі для самостійного розв’язування
2
17. Розрахунок стінової панелі методом скінченних елементів
17.1. Короткі відомості про розрахунок стінової панелі
Стінова панель являє собою прямокутну вертикальну пластину що перебуває у стані плоского напруження Тобто нормальні напруження по нормалі до її поверхні дорівнюють нулю Під дією навантаження що діє в площині пластині в пластині виникають поступальні переміщення її точок а також нормальні й дотичні напруження в її площині
Для розрахунку стінової панелі доцільно скористатися методом скінченних елементів На теперішній час це найбільш розповсюджений метод розрахунку будь-яких розрахункових схем на статичні та динамічні дії який покладено в основу переважної більшості програмних комплексів
Метод полягає в тому |
що розрахункова схема замінюється на |
так звану скінченно-елементну |
||
модель |
тобто представляється як сукупність вузлів |
точок які покривають поверхню або об´єм |
||
схеми |
Точки з´єднуються елементами скінченних розмірів які відіграють роль в´язей і називаються |
|||
скінченними елементами |
і скінченні елементи СЕ |
можуть бути різної форми та розраховуються |
||
заздалегідь, що призводить до побудови матриці жорсткості М |
елементів Матриці встановлюють |
|||
величини вузлових реакцій що діють на вузли |
моделі при |
будь-яких можливих вузлових |
||
переміщеннях На базі зазначених матриць утворюється матриця жорсткості всієї моделі яка є базою для складання системи розв´язувальних алгебраїчних рівнянь щодо вузлових переміщень моделі Отримані з цих рівнянь вузлові переміщення характеризують деформовану схему моделі а також дозволяють отримати напруження у її вузлах
Слід зазначити що метод скінченних елементів є чисто комп´ютерним методом Для розрахунку будемо використовувати розроблену на кафедрі будівельної механіки Київського інженерно-будівельного університету будівництва і архітектури програму StPanel яка включена до програмного комплексу АСИСТЕНТ.
17.2.риклад розрахунку стінової панелі
Розглянемо стінову панель рис 17.1), |
де показано |
глобальну систему координат схему |
|
навантаження. абаритні розміри схеми: L |
м H |
м q |
кН м. |
Рис 17.1 |
Рис 17.2 |
Також задаються такі дані
3
Кількість вузлів M1 |
по осі |
1 |
- |
7 |
Кількість вузлів M2 |
по осі |
2 |
- |
5 |
нтенсивність навантаження q кН м |
- |
12 |
||
Модуль пружності |
МПа |
|
- |
20000 |
Коефіцієнт Пуассона |
|
- |
0.16 |
|
Товщина панелі t мм |
|
- |
180 |
|
МЕТА РО ОТИ побудувати деформовану схему панелі i епюри напружень
СКЛАД РО ОТИ
І етап. ідготовка даних
Побудувати скінчено-елементну модель СЕМ стінової панелі розбивши її на трикутні скінченні елементи СЕ Підготувати інформацію про топологію геометрію и граничні умови СЕМ
Для заданого СЕ побудувати функції форми що виражають переміщення точок СЕ залежно від переміщення його вузлів Визначити вузлові сили від заданого на стінову панель навантаження
Знайти коефіцієнти матриці жорсткості для заданого скінченого елемента СЕ
ІІетап. Робота з програмою
Перевірити матрицю жорсткості СЕ та вузлові сили за допомогою комп’ютерної програми StPanel У разі правильності даних що перевіряються отримати роздруківку з величинами переміщень у вузлах СЕМ та напружень у всіх СЕ
ІІІ етап. Оформлення результатів
3.1Для заданого СЕ обчислити компоненти тензора напружень
3.2Відповідно до роздруківки побудувати деформовану схему панелі та епюри напружень
у перерізах що проходять через центри СЕ
Перевірити виконання умов рівноваги для двох перерізів уздовж осей OX1 та OX2).
17.2.1. Скінченно-елементна модель стінової панелі
Розрахункова схема панелі представляється у вигляді СЕ-моделі нанесенням сітки |
яка має M1 |
||||||||
вузлів вздовж осі 1 та M |
вузлів уздовж осі |
2 У прямокутниках що отримано |
проводяться |
||||||
діагоналі У результаті маємо сукупність трикутних областей |
рис |
17.2), нанесених на поверхню |
|||||||
пластини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо |
топологію |
СЕ-моделі Трикутники розглядаються |
як |
скінченні елементи |
що |
||||
з’єднуються лише у вузлах |
Отже вузли – це основні елементи СЕ-моделі |
а трикутники – своєрідні |
|||||||
в’язі між ними |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нумерація вузлів моделі представлена на рис |
17. |
Тут також показано нумерацію скінчених |
|||||||
елементів Усього вузлів – |
35, скінчених елементів – |
е |
так звана |
глобальна нумерація |
Для |
||||
кожного трикутного СЕ вводиться своя власна локальна |
нумерація вузлів яка залежить від виду СЕ |
||||||||
З рис 17. |
видно, що всі скінченні елементи можна розбити залежно від їхньої нумерації на не |
||||||||
парні рис 17. |
та парні рис 17.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
У цих співвідношеннях N1, N2 , N3, N4 , N5 , N6 – деякі функції |
координат |
локальної системи |
|||
заданого скінченого елемента або його функції форми |
|
|
|||
Розглянемо ці перетворення для горизонтального переміщення |
u1 x1, x2 . |
Запишемо значення |
|||
переміщення почергово для кожного вузла СЕ |
|
|
|
||
u1 |
0, h 1 h |
3 V1; |
|
|
|
u1 |
l, 0 |
1 l 2 V3 ; |
|
(3) |
|
u1 |
0, 0 1 V5 . |
|
|
|
|
Розв’язавши систему рівнянь |
щодо невідомих коефіцієнтів 1, |
3 , 5 маємо |
|||
1 V5 ,
21l V3 V5 ,
31h V5 V1 .
Підставивши отримані коефіцієнти у перше співвідношення з |
|
|
та звівши подібні при вузлових |
||||||||||||||||||||||
переміщеннях V1,V3,V5 маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x , x ) x2 |
V x1 |
V 1 x1 x2 |
V . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
1 |
2 |
|
l |
|
1 |
|
|
h |
|
3 |
|
|
l |
h |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
Коефіцієнти при вузлових переміщеннях є функціями форми |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
N x2 , |
N |
3 |
x1 , |
|
|
N |
5 |
1 x1 |
x2 . |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||
1 |
|
|
h |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Виконав аналогічні перетворення для вертикального переміщення u2 x1, x2 отримаємо |
|
||||||||||||||||||||||||
N2 |
x2 , |
|
N4 |
x1 |
, |
|
|
N6 |
1 x1 |
x2 |
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічні дії для парного СЕ |
рис 17. |
|
дадуть наступні функції форми |
|
|
||||||||||||||||||||
N N |
2 |
x2 , |
|
N |
3 |
N |
4 |
1 x1 , |
N |
5 |
N |
6 |
x1 x2 . |
|
|
||||||||||
1 |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
h |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задля подальших обчислень доцільно побудувати графіки функцій форми |
на верхній грані |
||||||||||||||||||||||||
непарних СЕ де прикладене розподілене навантаження |
при |
|
2 |
|
тобто |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 x2 |
0, |
|
N4 x1 |
, N6 |
1 x1 . |
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рафіки побудовано на рис 17.5. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Співвідношення |
|
2 |
у матричній формі можна |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
записати як |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
N |
V |
|
|
(7) |
||
Рис 17.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут позначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
u |
u |
2 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
N1 |
0 |
|
|
N3 |
|
0 |
|
N5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
N2 |
|
0 |
|
|
N4 |
|
0 |
N6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7
|
|
Рис 17.7 |
|
При числовому інтегруванні використовується формула Сімпсона-Корноухова |
|||
Q4 |
l0 |
N4пq2п 4N4 q2 N4кq2к |
|
|
6 |
|
|
Q6 |
l0 |
N6пq2п 4N6 q2 N6кq2к |
|
|
6 |
|
|
Тут l0 – довжина ділянки інтегрування |
N4п , N4с , N4к , N6п , N6с , N6к - значення функцій форми |
||
на початку посередині і на кінці ділянки рис 17.5); |
q2п , q2с , q2к - відповідні величини |
||
розподіленого навантаження У даному прикладі q = |
кН м2. Надалі наведене обчислення |
||
за обома способами. |
|
|
|
|
|
|
|
СЕ |
|
|
СЕ |
Скінчений елемент а отже й балка, не |
ислове інтегрування |
|
|
|||
навантажені |
|
Q6 |
0,6 2 12 |
1 0,5 4 |
1 0,25 |
0 3,6. |
Q Q 0. |
6 |
|||||
6 |
4 |
|
|
|
|
|
8
Визначення опорних реакцій |
Q4 |
0,6 2 12 1 0,5 4 1 0,75 1 1 10,8. |
|||||
Опорні реакції дорівнюють нулю Отже |
|
|
6 |
|
|
|
|
Визначення опорних реакцій |
|
||||||
V3 V2 0 . Таким чином маємо |
|
||||||
M |
2 |
0 |
V3 ql |
2 12 1,2 / 4 3,6; |
|||
А37=В37=0. |
|||||||
M3 |
0 |
V2 3ql |
2 3 2 1,2 / 4 10,8. |
||||
|
|||||||
|
|
Отже |
A39 |
кН B39 |
кН |
||
СЕ |
|
|
|
СЕ |
|
||
ислове інтегрування |
|
ислове інтегрування |
|
|||||||||
Q6 |
1,2 2 12 1 1 4 1 0,5 0 14,4. |
Q6 |
|
1,2 12 |
1 2 4 1,67 0,5 0 12,8. |
|||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Q4 |
0,6 2 12 1 1 4 1 0,5 0 14,4. |
Q4 |
|
1, 2 12 |
0 4 1,67 0,5 1,33 1 11, 2. |
|||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Визначення опорних реакцій |
|
Визначення опорних реакцій |
|
|||||||||
M2 |
0 |
V3 ql 12 1,2 14,4; |
|
M2 |
0 |
V3 5,333 12 1,2 |
6 12,8; |
|||||
M3 |
0 |
V2 ql 12 1,2 14,4. |
|
M3 |
0 |
V2 |
4,667 12 1,2 / 6 11,2. |
|||||
|
|
Отже |
A41 |
кН B41 |
кН |
|
|
Отже |
A43 |
кН B43 |
кН |
|
|
|
|
|
СЕ |
|
|
|
|
|
|
СЕ |
|
ислове інтегрування |
|
|
|
Скінчений елемент а отже й балка, не |
|||
Q6 |
0,6 12 |
1,33 1 4 |
1,17 |
0,75 |
1,33 0,5 6,4. |
навантажені. |
|
6 |
Q Q 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
9
Q4 |
0,6 12 |
0 4 1,167 0,25 1 0,5 2,0. |
Визначення опорних реакцій |
|||||
|
|
6 |
|
|
|
|
Опорні реакції дорівнюють нулю Отже |
|
Визначення опорних реакцій |
|
|||||||
|
V3 V2 0 . Таким чином маємо |
|||||||
M |
2 |
0 |
V3 |
10,667 12 1,2 |
24 6,4; |
|||
А47=В47=0. |
||||||||
M |
3 |
0 |
V2 |
3,333 12 1,2 / 24 2,0. |
||||
|
||||||||
|
|
Отже |
A45 |
кН B45 |
кН |
|
||
Вузлові сили опорні реакції прикладаємо до відповідних вузлів СЕМ як зовнішні сили
|
Рис 17.8 |
|
Таким чином вузлові сили дорівнюють |
|
|
Q29=0; |
Q30=-3,6; |
Q31=-10,8-14,4=-25,2; Q32=-14,4-12,8=-27,2; |
Q33=-11,2-6,4=-17,6; |
Q34=-2,0; |
Q35=0. |
17.2.3. обудова матриці жорсткості скінченного елемента
Матриця жорсткості будь-якого скінченого елемента обчислюється за формулою
|
|
|
K |
|
|
B T |
E B S t . |
|
|
(8) |
||||
Тут S 1 l h |
1 |
1, 2 м 0,8 м 0,48 м2 |
– площа бічної поверхні СЕ, t = |
м – товщина |
||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
панелі, [E] – матриця пружних сталих елементами якої є коефіцієнти Ляме |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
. |
(9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Коефіцієнти Ляме визначаються за формулами |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
20000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
МПа |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
E |
|
|
|
|
|
|
|
МПа |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Отже матриця пружних сталих набуває вигляду |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
20525 |
3284 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
E |
3284 |
20525 |
|
0 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
8620,7 |
|
|||
Матриця геометричних характеристик B визначається через функції форми зі співвідношення
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
B |
N . |
|
|
|
|
|
(10) |
||
Тут |
– матриця диференціювання: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
N – матриця функцій форми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N |
N1 |
0 |
N3 |
0 |
N5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
N2 |
0 |
N4 |
0 |
N6 |
|
|
|
|
У результаті співвідношення |
матриця геометричних характеристик набуває вигляду |
||||||||||||
|
|
N1 |
0 |
|
N3 |
0 |
|
N5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
x1 |
|
x1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B 0 |
|
N2 |
0 |
|
N4 |
0 |
N6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
N1 |
|
N2 |
|
N3 |
N4 |
|
N5 |
N6 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
x1 |
|
x2 |
x1 |
|
x2 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
. |
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
l |
h |
l |
|
|
|
|
Після підстановки числових значень |
l= |
м та h= |
м) остаточно маємо |
|
|||||||||
|
0 |
|
0 |
|
0,833 |
0 |
|
0,833 0 |
|
|
|
||
|
B 0 |
|
1,25 |
0 |
|
0 |
|
0 |
1,25 |
. |
|
||
|
1,25 |
0 |
|
0 |
|
0,833 |
1,25 |
0,833 |
|
|
|||
Виконав процедуру |
одержимо матрицю жорсткості скінченого елемента |
|
|||||||||||
|
1163,79 |
0 |
|
0 |
|
775,86 |
1163,79 |
775,86 |
|
||||
|
0 |
2770,93 |
295,56 |
0 |
|
|
295,56 |
|
2770,93 |
|
|||
K |
0 |
295,56 |
1231,52 |
0 |
|
|
1231,52 |
295,56 |
. |
||||
|
775,86 |
0 |
|
0 |
|
517,24 |
775,86 |
|
517,24 |
|
|||
|
1163,79 |
295,56 |
1231,52 |
775,86 |
|
2395,32 |
|
1071,42 |
|
||||
|
775,86 |
2770,93 |
295,56 |
517,24 |
1071,42 |
3288,17 |
|
||||||
кщо розглядається парний скінчений елемент то елементи геометричної матриці (12) матимуть протилежні знаки:
11
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
|
B 0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
1 . |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
h |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
h |
|
|
|
|
l |
|
h |
l |
|
17.2.4. Обчислення елементів тензора напружень та побудова епюр напружень
У результаті роботи з програмою StPanel яка входить до складу програмного комплексу АСИСТЕНТ і перевіряє правильність обчислених вузлових сил та матрицю жорсткості заданого скінченого елемента виводиться наступна роздруківка
РОЗРА УНОК СТ НОВО ПАНЕЛ МЕТОДОМ СК Н ЕННИ ЕЛЕМЕНТ В
Студент Петренко |
|
|
|
Академгрупа П |
-51 |
|
|
Номер схеми 26 L |
м |
H |
м |
t |
мм |
q |
кН м |
v =0.16 |
E |
МПа |
|
ВУЗЛОВ СИЛИ кН
Q(29)= +0.00000 Q(30)= -3.60000 Q(31)= -25.2000 Q(32)= -27.2000 Q(33)= -17.6000 Q(34)= -2.00000 Q(35)= +0.00000
МАТРИ |
ОРСТКОСТ СК Н ЕННО О ЕЛЕМЕНТА МН м |
+1163.79 +0.00000 +0.00000 -775.862 -1163.79 +775.862
+0.00000 +2770.93 -295.566 +0.00000 +295.566 -2770.93
+0.00000 -295.566 +1231.52 +0.00000 -1231.52 +295.566 -775.862 +0.00000 +0.00000 +517.241 +775.862 -517.241 -1163.79 +295.566 -1231.52 +775.862 +2395.32 -1071.42 +775.862 -2770.93 +295.566 -517.241 -1071.42 +3288.17
ПЕРЕМ |
ЕНН ВУЗЛ В мм |
|
N вуз |
U1 |
U2 |
1 |
+0.00000 |
+0.00000 |
2 |
+0.00353 |
-0.04298 |
3 |
+0.01619 |
-0.06626 |
4 |
+0.03172 |
-0.07368 |
5 |
+0.04645 |
-0.06504 |
6 |
+0.05770 |
-0.04248 |
7 |
+0.06647 |
+0.00000 |
8 |
+0.01828 |
-0.01140 |
9 |
+0.02088 |
-0.04403 |
10 |
+0.02502 |
-0.06753 |
11 |
+0.03164 |
-0.07517 |
12 |
+0.03803 |
-0.06635 |
13 |
+0.04219 |
-0.04412 |
14 |
+0.04434 |
-0.01219 |
15 |
+0.03077 |
-0.01858 |
16 |
+0.03166 |
-0.04577 |
17 |
+0.03146 |
-0.06888 |
18 |
+0.03177 |
-0.07684 |
19 |
+0.03204 |
-0.06768 |
20 |
+0.03169 |
-0.04574 |
21 |
+0.03144 |
-0.01971 |
22 |
+0.04246 |
-0.02164 |
12
23 |
+0.04146 |
-0.04719 |
24 |
+0.03735 |
-0.07108 |
25 |
+0.03174 |
-0.07938 |
26 |
+0.02628 |
-0.06950 |
27 |
+0.02223 |
-0.04700 |
28 |
+0.02067 |
-0.02322 |
29 |
+0.05703 |
-0.02208 |
30 |
+0.05489 |
-0.04752 |
31 |
+0.04546 |
-0.07377 |
32 |
+0.03127 |
-0.08264 |
33 |
+0.01791 |
-0.07182 |
34 |
+0.00999 |
-0.04762 |
35 |
+0.00755 |
-0.02403 |
НАПРУ |
ЕНН |
У СК Н ЕННИ |
ЕЛЕМЕНТА кПа |
|
|
С |
S11 |
S22 |
S12 |
1 |
-2.32254 |
-285.482 |
-37.3905 |
|
2 |
+56.0857 |
-17.3707 |
-121.776 |
|
3 |
+66.4744 |
-15.7085 |
+18.2052 |
|
4 |
+211.443 |
+2.22769 |
-72.1579 |
|
5 |
+108.080 |
-14.3103 |
+40.2012 |
|
6 |
+259.378 |
+4.01062 |
-54.0338 |
|
7 |
+103.179 |
-20.9811 |
+62.5942 |
|
8 |
+246.537 |
+6.61473 |
-28.5781 |
|
9 |
+65.7486 |
-22.3115 |
+69.0700 |
|
10 |
+185.799 |
-11.4193 |
-5.03294 |
|
11 |
+29.9113 |
-36.3615 |
+62.2611 |
|
12 |
+99.9576 |
-288.907 |
+66.6384 |
|
13 |
-14.1892 |
-181.741 |
-60.7429 |
|
14 |
+37.3512 |
-37.5211 |
-118.220 |
|
15 |
-10.5824 |
-45.1905 |
-49.8138 |
|
16 |
+65.2477 |
-23.3757 |
-99.3674 |
|
17 |
-0.39308 |
-33.8782 |
+12.2275 |
|
18 |
+106.416 |
-24.7068 |
-53.6064 |
|
19 |
-2.23411 |
-42.0909 |
+67.1341 |
|
20 |
+103.866 |
-16.6901 |
-1.25846 |
|
21 |
-11.4479 |
-35.1404 |
+92.9635 |
|
22 |
+64.4774 |
-30.2565 |
+46.4665 |
|
23 |
-10.8029 |
-42.3013 |
+73.7766 |
|
24 |
+5.79222 |
-187.106 |
+90.4408 |
|
25 |
-29.5666 |
-81.3972 |
-57.5945 |
|
26 |
+9.46664 |
-33.8921 |
-89.7735 |
|
27 |
-74.1051 |
-47.5836 |
-66.0481 |
|
28 |
-12.4585 |
-56.9159 |
-102.556 |
|
29 |
-105.067 |
-71.7333 |
+3.81905 |
|
30 |
-5.25177 |
-64.2450 |
-57.5047 |
|
31 |
-103.785 |
-80.0105 |
+70.6592 |
|
32 |
-2.85084 |
-45.9454 |
+3.77538 |
|
33 |
-76.6626 |
-57.7553 |
+99.6031 |
|
34 |
-11.1471 |
-33.2602 |
+55.7513 |
|
35 |
-31.9620 |
-36.5906 |
+68.9917 |
|
36 |
-18.5419 |
-90.6701 |
+70.8776 |
|
37 |
-38.4874 |
-17.1055 |
-25.6583 |
|
38 |
-18.3376 |
-11.2157 |
-38.8429 |
|
39 |
-162.670 |
-34.3089 |
-43.9454 |
|
40 |
-81.3491 |
-80.3586 |
-84.3159 |
|
41 |
-253.735 |
-107.940 |
+23.6058 |
|
42 |
-109.427 |
-98.9859 |
-64.7085 |
|
43 |
-241.821 |
-120.168 |
+72.6512 |
|
44 |
-102.891 |
-74.4210 |
-19.1998 |
|
45 |
-145.049 |
-81.1663 |
+83.7145 |
|
13
46 |
-71.7188 |
-26.8563 |
+29.6860 |
47 |
-44.2449 |
-22.4605 |
+37.5169 |
48 |
-30.1093 |
-25.0112 |
+29.4966 |
НАПРУ ЕНН |
В ЕНТРА |
СК Н ЕННИ ЕЛЕМЕНТ В кПа |
|
СЕ |
S11 |
S22 |
S12 |
1/2 |
+26.8816 |
-151.426 |
-79.5837 |
3/4 |
+138.958 |
-6.74043 |
-26.9763 |
5/6 |
+183.729 |
-5.14988 |
-6.91631 |
7/8 |
+174.858 |
-7.18320 |
+17.0080 |
9/10 |
+125.774 |
-16.8654 |
+32.0185 |
11/12 |
+64.9345 |
-162.634 |
+64.4497 |
13/14 |
+11.5809 |
-109.631 |
-89.4815 |
15/16 |
+27.3326 |
-34.2831 |
-74.5906 |
17/18 |
+53.0118 |
-29.2925 |
-20.6894 |
19/20 |
+50.8160 |
-29.3905 |
+32.9378 |
21/22 |
+26.5147 |
-32.6984 |
+69.7150 |
23/24 |
-2.50535 |
-114.703 |
+82.1087 |
25/26 |
-10.0500 |
-57.6447 |
-73.6840 |
27/28 |
-44.2818 |
-52.2498 |
-84.3022 |
29/30 |
-55.1595 |
-67.9892 |
-26.8428 |
31/32 |
-53.3183 |
-62.9780 |
+37.2173 |
33/34 |
-43.9049 |
-45.5077 |
+77.6772 |
35/36 |
-25.2520 |
-63.6304 |
+69.9346 |
37/38 |
-28.4125 |
-14.1606 |
-32.2506 |
39/40 |
-122.009 |
-57.3338 |
-64.1307 |
41/42 |
-181.581 |
-103.463 |
-20.5513 |
43/44 |
-172.356 |
-97.2950 |
+26.7256 |
45/46 |
-108.384 |
-54.0113 |
+56.7002 |
47/48 |
-37.1771 |
-23.7359 |
+33.5067 |
17.2.4. Обчислення елементів тензора напружень та побудова епюр напружень
Компоненти тензора напружень будь-кого скінченого елемента i виражаються через переміщення його вузлів зі співвідношення
|
i E |
B i V i . |
(13) |
|
Тут |
i – вектор |
компонентів |
тензора |
|
напружень |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
i |
22 |
; |
|
|
|
12 |
|
|
[E] – матриця пружних сталих ; [B]i – геометрична матриця елемента (12); {V}i – вектор вузлових переміщень CЕ
V V |
V |
V |
V |
V |
V |
T . |
(14) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
Компоненти вектора {V} являють собою ПЕРЕМ |
ЕНН |
ВУЗЛ В СЕМ Вони визначені |
|||||
програмою при розв’язанні системи рівнянь рівноваги СЕМ панелі і виведено в роздруківку
Розглянемо |
наприклад |
скінченний елемент |
Компоненти V1 |
та V2 |
являють собою |
||||
переміщення U1 та U2 вузла |
СЕМ і відповідно до роздруківки дорівнюють V1=0.03166, |
||||||||
V2= –0.04577 |
Аналогічно |
визначаються |
інші |
компоненти |
Так |
компоненти |
V3,V4 є |
||
переміщеннями U1 та U2 вузла |
СЕМ |
а компоненти V5 ,V6 |
- вузла |
Отже |
вектор |
||||
вузлових переміщень скінченого елемента |
має вигляд |
|
|
|
|
||||
15
Рис |
Епюра |
11 |
кПа |
|
|
|
Рис |
Епюра |
22 |
кПа |
|
|
|
Рис |
Епюра |
12 |
кПа |
|
|
|