20

До епюри вузлових моментів слід додати епюри згинальних моментів побудовані в навантажених стержнях як у простих балках рис 13.13,б в Дійсна епюра згинальних моментів M рис 13.13,г одержана накладенням епюр в однопрогонових балках на епюру вузлових

моментів Подальший розрахунок повністю збігається з розрахунком рами в канонічній формі

див п 13.2).

13.4. Розрахунок симетричної рами на симетричне навантаження

Виконаємо розрахунок статично невизначуваної рами на симетричне навантаження рис 13.14,а).

изначення кількості основних невідомих і призначення основної системи

Рама має шість проміжних жорстких вузлів отже

Для визначення кількості незалежних поступальних переміщень вузлів утворюємо шарнірну схему рами шляхом введення в усі жорсткі вузли наскрізних шарнірів рис 13.14,б Аналізуючи геометричну структуру шарнірної схеми доходимо висновку що для забезпечення її геометричної

k = k + k = 8

Основна система утворена накладенням плаваючих затиснень і додаткових опорних стержнів які усувають переміщення вузлів наведено на рис 13.14,е.

21

Рис 13.14

означення основних невідомих

Оскільки на симетричну раму діє симетричне навантаження її напружено-деформований стан буде також симетричним На цій підставі можна вважати що вузли розташовані на осі симетрії не

Зазначені основні невідомі показано на основній системі методу переміщень рис 13.14,е).

22

Система канонічних рівнянь

Система канонічних рівнянь методу переміщень має вигляд

обудова епюр згинальних моментів і обчислення коефіці нтів системи канонічних рівнянь

Коефіцієнти при невідомих це реакції накладених з’єднань від дії основних невідомих які дорівнюють одиниці а вільні члени реакції від зовнішнього навантаження Визначатимемо

згинальних моментів M1 побудована на рис 13.15,б Аналізуємо рівновагу вузлів на які накладено плаваючі затиснення почергово вирізаючи їх з основної системи В місцях розрізів до стержнів прикладаються згинальні моменти які вибираються з епюри згинальних моментів M1 .

Для визначення реакції r31 вирізаємо і аналізуємо рівновагу стояка - Поперечні сили в стержнях визначаємо за епюрою M1 .

23

Рис 13.15

згинальні моменти які вибираються з епюри згинальних моментів M2 .

25

Для визначення реакції R3P вирізаємо і аналізуємо рівновагу стояка - Поперечні сили в стержнях

визначаємо за епюрою M p .

Розв’язування системи канонічних рівнянь

Підставивши знайдені коефіцієнти до системи канонічних рівнянь маємо

Розв’язавши систему рівнянь знаходимо величини основних невідомих

еревірка правильності розв’язку

Для перевірки підставимо величини основних невідомим до сумарного рівняння

28,8iZ1 29,2iZ2 7,2iZ3 28 0.

28,8 1,8893 29,2 0,9542 7,2 7,5382 28 54,4118 27.8626 54.2750 2882,2745 82,2750 0,0005 0.

обудова дійсної епюри згинальних моментів

Дійсна епюра згинальних моментів M будується способом накладення епюр

M M1Z1 M2Z2 M3Z3 M .

Одиничні епюри згинальних моментів помножені на величини відповідних основних невідомих і вантажна епюра MP наведені на рис 13.16.

26

Рис 13.16

Дійсна епюра згинальних моментів M представлена на рис 13.17,а.

Рис 13.17

рівноваги Так само зрівноваженим є вузол рис 13.17,в Дійсно

M3 10,458 7,595 2,863 0.

Кінематична перевірка

Для виконання кінематичної перевірки вибираємо в заданій рамі основну систему методу сил Ступінь статичної невизначуваності рами

n 3k 3 3 2 7 .

Сім зайвих в’язей відкидаємо шляхом введення в схему одного шарніра і двох розрізів До отриманої в такий спосіб основної системи методу сил прикладаємо дві основні невідомі X1=1 i

X2 з таким розрахунком щоби епюра згинальних моментів Mk розповсюджувалась на всі стержні рис 13.17,г).

Визначимо жорсткості стержнів на згин за формулою

EI i l .

Отже

EI6 7 EI7 8 3i 5 15i;

EI3 4 EI4 5 2i 5 10i;

EI1 3 EI2 5 i 3 3i;

EI3 6 EI4 7 EI5 8 i 4 4i.

орсткості елементів рами на згин показано на її схемі рис 13.17,г). Отже за формулою Мора

101i 1 5 1,908 2 31i 12 2,863 3 23 2 2 41i 1 4 0,9355 2

розподілене навантаження q = 2,4 кН м В місцях розрізів прикладаємо згинальні моменти які беруться з епюри M а також додатньо спрямовані кінцеві поперечні сили рис 13.18).

Рис 13.18

З рівнянь рівноваги стержня - маємо

Дійсна епюра поперечних сил Q побудована на рис

29

.

рис 19

изначення поздовжніх сил

Поздовжні сили в стержнях рами визначаються з умов рівноваги вузлів рами

30

Епюра поздовжніх сил N побудована на рис 13.19, .

13. . Розрахунок симетричної рами в розгорнутій формі

Виконаємо розрахунок статично невизначуваної рами на симетричне навантаження методом переміщень в розгорнутій формі рис 13.20,а Погонні жорсткості стержнів

изначення кількості основних невідомих і призначення основної системи

Рама має чотири проміжних жорстких вузли отже

k 4 4 , 5, 7 , 8 .

Для визначення кількості незалежних поступальних переміщень вузлів утворюємо шарнірну

k = k + k = 7.

Основна система утворена введенням плаваючих затиснень в проміжні жорсткі вузли а також додаткових стержнів 1, 2 і 3 представлена на рис 13.20,в.

Урахування симетрії дозволяє скоротити кількість основних невідомих Дійсно оскільки рама і навантаження симетричні то й симетричними будуть деформації рами На цій підставі можна вважати що

32

Складання розв’язувальних рівнянь

Розв’язувальні рівняння складаємо з умов рівності нулю реакцій в накладених з’єднаннях розглядаючи рівновагу елементів з одного боку від осі симетрії

Реактивний момент пружного затиснення вузла виражається через кінцеві моменти в стержнях з умови рівноваги вузла

У свою чергу кінцеві моменти виражаються через переміщення вузлів за допомогою формул методу переміщень для зігнутих стержнів які наведено в табл 13. Оскільки стержні - і -4 мають на обох кінцях затиснення скористаємось з формул першого рядка табл 13.2:

Кінцевий момент M4-7 виражаємо через основні невідомі використовуючи формулу з першого рядка а кінцеві моменти M4-1 i M4-3 з другого рядка табл

Для стержня - що має на одному кінці затиснення а на протилежному шарнір кінцеву поперечну силу виражаємо через основні невідомі за формулою з другого а для затисненого на обох кінцях стержня -7 з першого рядка

табл 13.2.

У результаті маємо систему трьох рівнянь

Розв’язавши систему рівнянь отримаємо

Для перевірки правильності розв’язання підставимо розв’язки до сумарного рівняння

11i 7 12,96i 4 5,808i 0,3

11 1,3177 12,96 0,6764 8,808 0,6845 0,3 14,7947 14,7952 0 .

Обчислення кінцевих моментів

Підставляючи отримані розв’язки до формул методу переміщень обчислюємо кінцеві моменти

35

обудова дійсної епюри згинальних моментів

Додавши до епюри вузлових моментів Mвузл епюри Mб побудовані в навантажених стержнях як в простих балках рис 13.21,б отримаємо дійсну епюру згинальних моментів M в заданій рамі рис 13.21,в).

Статична перевірка дійсної епюри згинальних моментів

Статична перевірка полягає в аналізі рівноваги вузлів Виокремлені зі схеми вузли рами до яких прикладені згинальні моменти наведені на рис 13.21,г Рівновага вузла очевидна Для вузла можна записати

Кінематична перевірка

Для кінематичної перевірки необхідно вибирати для заданої рами основну систему методу сил Ступінь статичної невизначуваності рами

n 3k 3 3 6 3 .

Одна з можливих основних систем може бути отримана шляхом розрізу ригеля - по осі

Рис 13.22

36

изначення поперечних сил

Поперечні сили в стержнях рами простіше за все визначити по відповідності до епюри згинальних моментів M Зважаючи на те що при симетричному навантаженні поперечні сили мають кососиметричний характер будемо обчислювати їх лише для половини рами

Для стержня - де епюра M має криволінійний характер обчислимо поперечні сили по формулам методу переміщень для поперечних сил табл 13. рядок

Дійсна епюра Q побудована на рис 13.23,а.

Рис 13.23

изначення поздовжніх сил

Поздовжні сили визначимо з умов рівноваги вузлів рами Почергово вирізаються вузли рами до яких прикладаються зосереджені зовнішні сили якщо такі сили існують поперечні сили які

37

вибираються з епюри Q а також невідомі та вже відомі поздовжні сили З рівнянь проекцій визначаються невідомі поздовжні сили

На рис 13.23,б до виокремленого вузла прикладено поперечні сили спрямовані відповідно до своїх знаків а також невідомі поздовжні сили спрямовані в додатних напрямах тобто від вузла З умов рівноваги вузла маємо

також дві невідомі поздовжні сили N4-1 i N4-3 Складаємо рівняння рівноваги вузла